立体几何需注重结论与模型的学习

1、卢建武多年的实际情况表明：高中的学生初学立体几何时，总感觉比较困难，甚至不知如何学起，这当然与刚接触新生事物需有一个适应的过程有关，这是客观规律，但若几个月之后，还只是停留在记住了书上的公理、定理、推论上，而在应用方面没有大的突破，那就不是单纯的适应不适应的问题了，而是会不会学习的问题了.笔者认为：除了要记住课本上本身的公理、定理、推论并能基本运用外，适当地记住些常见的结论和模型，对我们解题很有帮助. 现将一些常见的结论和模型罗列如下，希对广大的初学立体几何者和这部分内容学得相对较弱者有所裨益.一、结论：1、在四面体中，设顶点在底面上的射影为.若或与底面所成的角相等，则为底面的外心(外接圆的圆

2、心也即的三边的垂直平分线的交点)；若，则为底面的垂心，同时也有(即四面体中若有两组对棱相互垂直，则任何顶点在与之相对面上的射影都是该面三角形的垂心，且第三组对棱也相互垂直)；特殊地，若两两垂直，也有一样的结论；若在的内部，且到的三边的距离相等或侧面与底面所成的二面角相等，则为底面的内心(的内切圆的圆心也即三条内角平分线的交点)；在运用这个结论时需注意：若没有在的内部这一限制，则还可能是的旁心(的旁切圆的圆心也即的两条外角平分线和一条内角平分线的交点).2、设在平面内，点，若(或到的两边的距离相等)，则点在平面内的射影在的平分线所在的直线上.如图，连，分别作于，于，连，则由三垂线定理知. 在和中

3、，由，为公共斜边知它们全等，所以，从而，又，所以在的平分线所在的直线上.3、若两个平面垂直，则其中一个面内的任意一条直线在另一个平面上的射影必在两个平面的交线上. 这个结论有助于我们去寻找一条直线与一个平面所成的角，倘有这条直线在一个与这个平面垂直的平面内，则它与两个平面的交线所成的角就是直线和平面所成的角.4、直线和平面所成的角是直线和平面内所有直线所成角中最小的角. 证明如下：如图，与平面斜交于，于，则为在内的射影，为直线与平面所成的角，为内过的任意一条直线，作于，连，则由三垂线定理知，在与中，而(当且仅当重合时取等号)，所以，即，结论得证.5、长方体中，设体对角线与从同一顶点出发的三条棱

4、所成的角分别为，则；若与从同一顶点出发的三个面所成的角分别为，则.二、模型1、设二面角的大小为，且. 这是一个包含有二面角的平面角、两条异面直线的公垂线(距离)、其上任意两点间的距离、所成的角等诸多条件的模型. 如图：作，连，则由题意知：四边形为矩形，为二面角的平面角，因为，由线面垂直的判定定理知平面，所以，故所成的角为.由余弦定理得，所以，且异面直线所成角的余弦为这个模型告诉我们：若两条异面直线分别在一个二面角的两个面内且都和二面角的棱垂直，则可以很方便地求出它们上面任意两定点间的距离，这任意两点的连线与二面角的棱所成的角；若反过来考虑，还可在知道两条异面直线上两点间距离的条件下，求出二面角

5、的平面角(利用公式)；另外，在这个模型中，还存在线面的垂直和面面的垂直(平面，平面平面).实战演练：在平面直角坐标系内有两点，它们的坐标分别为，现将坐标系沿轴折成的二面角，求折后两点间的距离.由模型易得为二面角的平面角，平面，所以，由模型公式得.2、设二面角的大小为，作平面于，作于，连，则由三垂线定理知，所以是二面角的平面角. 在立体几何中，二面角通常采用本模型的形式叙述，即用两个共边的三角形表述，在这种情形下，一般最适合用三垂线定理作出二面角的平面角，并由二面角的作法，附带地出现了线面的垂直(平面)，从而可方便地作出点到平面的距离，只需作于，则由平面知，从而平面，于是就是到平面的距离.立体几

6、何的综合题通常有两到三小问，其中又通常有求二面角和点面距离各一问，所以这个模型在解决立体几何的综合性问题时的作用很大，笔者认为学生记住它是必要的，而且要能够熟练运用它.实战演练：如图，在长方体中，点在棱上运动. 证明：； 当为中点时，求点到平面的距离；等于何值时，二面角的大小为？只需考虑三垂线定理：在平面上的射影为与垂直即得证；在平时的教学当中，发现有相当多的学生只要碰到相类似的问题，马上就用体积相等来求距离，这固然是求距离的一种方法，但总感觉效果不好，主要是在计算上稍嫌麻烦(笔者倾向于实在无计可施时可考虑这种方法). 实际上考虑到为中点，可以将到平面的距离转化为到平面距离的一半，再继续转化为

7、到平面距离的一半，然后可考虑上述模型：作于，连，则，从而平面，故只需作于，则平面，就是到平面的距离，由已知条件不难求出，于是到平面的距离是.作于，连，则由三垂线定理知，所以是二面角的平面角，从而，所以，所以，于是，从而.小问的模型解法，相比体积法就要简洁得多，也说明掌握立体几何中一定的模型，对我们解题很有帮助.3、墙角是我们日常生活中经常碰到的一种模型，它的几何抽象是从同一点出发的三条两两垂直的射线，它在本质上是长方体的一个角的延伸，因而它具有长方体的某些性质特征. 关于长方体还有一个性质，在平常的学习当中也应加强应用：连接长方体上下底面两条异面对角线的四个顶点可以得到一个四面体，这个四面体的

8、特殊之处在于它的三组对棱对应相等，因而在平时的练习当中，若接触到这样一个特殊的四面体，可以将它补成一个长方体，从而利用长方体的性质来考虑问题.实战演练：三棱锥中，两两垂直，底面内有一点. 若到三个侧面的距离分别为，则_；若与所成的角分别为，则与所的角为_.考虑到两两垂直，所以自向平面、平面、平面引的垂线段应分别与、平行，如图，分别设为，其中分别为垂足，于是构造出了一个以为对角线的长方体，故；与所成的角即是长方体的对角线与长方体的从同一顶点出发的三条棱所成的角，由结论5知三个角的余弦的平方和为，从而知与所的角为.三棱锥的两条棱，其余各棱长均为. 求此三棱锥内切球半径. 三棱锥即四面体，注意到这个四面体的对棱，因而它们可以分别作为一个长方体的三组相对面的面对角线，于是该四面体是长方体的六条面对角线组成的四面体，如图所示：设四面体所在的长方体的长、宽、高分别为，则由，得，所以四面体的体积(长方体体积的)，又四面体的表面积为(每个面都是腰长为，底边长为的等腰三角形)，所以该四面体的内切球的半径为.以上只是