直线与椭圆的综合运用教案

1、直线和椭圆的综合运用适用学科数学适用年级高二适用区域江苏课时时长（分钟）60分钟知识点椭圆的综合问题教学目标1.理解直线与椭圆的各种位置关系，能利用方程根的判别式来研究直线与椭圆的各种位置关系；掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式；2.初步掌握与椭圆有关的弦长、中点、垂直等问题的一些重要解题技巧；进一步树立数形结合、函数方程、等价转化、分类讨论等重要数学思想教学重点利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题.教学难点利用“数”与“形”的结合，利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦长等综合问题. 一、知识讲解考点/易错点1 直线与椭圆的位置关系提问学生：回忆

2、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系引出点与椭圆的位置关系设点，椭圆标准方程为若点椭圆上，则；若点在椭圆内，则；若点在椭圆外，则；（1）通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系：相离：直线与椭圆没有交点；相切：直线与椭圆有唯一交点；相交：直线与椭圆两个交点；（2）判断直线与椭圆的位置关系设直线椭圆，联立直线与椭圆方程消去得记该一元二次方程的判别式为，则当时，直线与椭圆相交，有两个交点；当时，直线与椭圆相切，此时有一个交点；当时，直线与椭圆相离，没有交点.（3）弦长公式的推导设为椭圆上的两点，叫做椭圆的弦长.回忆两点间的距离公式，通过距离公式化简整理，得出弦长公式.（其中为直

3、线的斜率）. 二、例题精析【例题1】【题干】已知椭圆的离心率为，右顶点到左焦点的距离为（1）求椭圆的方程.（2）若直线与椭圆：相交，相切，相离，求实数的取值范围；（3）设直线与椭圆相交于不同的两点，令，求.【答案】（1）（2）相交：，相切： ，相离： （3）【解析】（1）依据题意，则解方程组得所以椭圆方程为（2）联立消掉得若直线与椭圆相交，则，解得若直线与椭圆相切，则，解得若直线与椭圆相离，则，解得（3）联立消掉得因为直线与椭圆有两个交点，则，解得设，由韦达定理，则，由弦长公式，则所以【例题2】【题干】已知椭圆，（1）求斜率为的平行弦中点的轨迹方程；（2）过的直线与椭圆相交于两点，且关于点对称

4、，求直线的方程；（3）过点的直线与椭圆相交，求直线被椭圆截得的弦中点的轨迹方程.【答案】（1），（2），（3）【解析】(1) 设平行弦中点坐标为，弦与椭圆对应的两个交点为，两式相减得化简整理得又因为，代入上式，得.所以平行弦中点的轨迹方程为 (在椭圆内的部分).（2）设，则两式相减得曲线的范围化简整理得又因为关于点对称，则所以故直线的方程为：（3）由点的位置结合椭圆方程可知直线的斜率必然存在，设弦中点坐标为，则设直线与椭圆的两交点分别为，则又两式相减得化简整理得由联立化简得， .所以弦中点的轨迹为：. 三、课堂运用【基础】1.椭圆上有一动点,为椭圆的右焦点，若，则椭圆的方程为（ ）AB或 或【

5、答案】.【解析】依据题意易得，解得所以椭圆方程为：2.已知直线过椭圆的左焦点且与椭圆相交于两点，椭圆的右焦点为，则的周长为（ ）【答案】【解析】如图,因为在椭圆上，由椭圆的定义，则所以的周长所以选3. 椭圆的焦点分别为,点在椭圆上，若,则,.【答案】4；.【解析】由椭圆的定义，则,又因为，故为直角三角形，所以.4.已知,动点满足,则点的轨迹方程为.【答案】【解析】因为,所以点的轨迹为椭圆，则，故椭圆方程为.5.若直线与椭圆有且只有一个交点，求实数的值.【答案】【解析】联立消得因为直线与椭圆只有一个交点，则解得.【巩固】1. 已知两定点，动点满足，则点的轨迹是（ ）圆 椭圆 双曲线 抛物线【答案

6、】【解析】设，则，整理得，所以是椭圆，选.2.直线与椭圆相交于两点，若，求的值.【答案】1【解析】联立消去得恒成立，则设，由韦达定理，则，由弦长公式解得.【拔高】与曲线C:相交,若直线被曲线C所截得的线段长不大于,则直线的倾斜角的取值范围是 ( )【答案】【解析】因为截得的线段长不大于，故直线不可能与轴重合，可设直线方程为联立消去得，设直线与椭圆相交于两点，则，整理得，解得所以，又，解得.选2. 已知椭圆，是过点且相互垂直的两条直线，问实数为何值时，与椭圆都有公共点.【答案】【解析】由题知点在轴上运动，分两种情形讨论（1） 当中有一条与轴平行时，则必有一条是轴，此时；（2） 当中都不与轴平行时

7、，设，则.与椭圆有公共点，即有实数根，整理得解得.与椭圆有公共点，同理可得当时，；又时，；而必有一个小于等于1，此时与椭圆不可能都有公共点.综上所述时，.课程小结本讲主要学习了下面的内容：直线与椭圆的位置关系课后作业【基础】1.椭圆的中心在原点，焦距为，一条准线为，则该椭圆的方程为（ ）【答案】【解析】依题可设椭圆方程为，则，所以，椭圆方程为，故选与椭圆相交，则实数的取值范围为（ ）【答案】【解析】把直线方程代入椭圆得，因为相交，所以，解得.故选与椭圆相交于两点，则弦（ ）【答案】【解析】：联立方程消去得，设则.选方程，椭圆，则直线与椭圆的位置关系为（ ）相交 相离 相切 无法判断【答案】【解

8、析】已知直线过定点，定点代入椭圆则，过直线过椭圆内部的点，所以直线与椭圆相交，选【巩固】1.已知直线，椭圆，试问：当取何值时，直线与椭圆：相交；相切；相离.【答案】；【解析】将代入椭圆消去得，当，即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相切；当，即时，直线与椭圆相离.2.是椭圆C：的短轴端点，点是椭圆上异于的任意一点，直线，与轴交点的横坐标分别为，求证：是定值.【答案】答案见解析【解析】证明：如图，设，则直线的方程为：直线的方程为：由解得由解得，则又因为在椭圆上，则由解得代入式，得.所以是定值.3.过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在的直线方程.【答案】【解析】法一：设直线与椭圆

9、的交点为A()，B（）,则-得，整理得所以，故直线方程为.法二：设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理得：又设直线与椭圆的交点为A()，B（），则是方程的两个根，于是，又为AB的中点，所以，解得，故所求直线方程为.【拔高】的离心率为，右顶点到左焦点的距离为（1） 求椭圆的方程.（2） 设直线与椭圆相交于两点，令，求.【答案】（）（）【解析】（1），右顶点到左焦点的距离为，则，联立解得，椭圆方程为.（2） 联立消去得，因为直线与椭圆有两个交点，所以解得设，则代入数据得所以，点为椭圆上的一动点，则到直线的距离的最大值和最小值分别为（ ）【答案】【解析】设点，则当时，；当时，选3.是椭圆不在坐标轴上的

10、点，是它的两个焦点，是的内心，的延长线交于，则.【答案】【解析】法一：如图,过作轴的垂线，垂足为,过作轴的垂线，垂足为，在中则代入数据得所以，又,则所以.法二：解法二：因为是的内心，所以平分,平分,由角平分线定理，则,又由等比定理，则.4.为椭圆上一点，为椭圆的上顶点，为坐标原点，若,则椭圆离心率的取值范围为.【答案】【解析】依据题意，则，如图则点的轨迹是以为直径，为圆心的圆（1）又因为点在椭圆上，则（2）联立（1）（2）消掉得，且，解得是椭圆上的一点（非顶点），过点作圆的两条切线，切点分别为，直线分别与轴，轴交于两点.（1）证明：四点共圆.（其中为坐标原点）（2）求的最小值.【答案】（）答案见解析（）【解析】如图.(1)证明：因为都与圆相切，是切点，则,即,所以四点共圆.（2）四点共圆，直径为，设，则圆心为，圆的方程为-整理得，直线的方程为因为直线与轴交点分别为，则， ，又在椭圆上，则，所以.6. 已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）.（1）求椭圆C的方程；（2）E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并