数论 位值进制与完全平方数 教师版

1、第五讲 位值、进制与完全平方数知识点拨一、位值原理位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表示2个一，写在百位上，就表示2个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。位值原理的表达形式：以六位数为例：a100000+b10000+c1000+d100+e10+f。二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二

2、进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字0和1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。n进制：n进制的运算法则是“逢n进一，借一当n”，n进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。十进制二进制十六进制八进制三、完全平方数一、完全平方数常

3、用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数，则p能被整除。2.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，5

4、6，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：例题精讲板块一 位值原理【例 1】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是45，试求这样的两位数中最大的是多少？

5、【解析】 设原来的两位数为，交换后的新的两位数为，根据题意，原两位数最大时，十位数字至多为9，即，原来的两位数中最大的是94【例 2】 如果一个自然数的各个数码之积加上各个数码之和，正好等于这个自然数，我们就称这个自然数为“巧数”。例如，99就是一个巧数，因为99(99)99。可以证明，所有的巧数都是两位数。请你写出所有的巧数。【解析】 设这个巧数为，则有ab+a+b=10a+b，a(b+1)=10a，所以b+1=10，b=9。满足条件的巧数有：19、29、39、49、59、69、79、89、99。【例 3】 在两位自然数的十位与个位中间插入09中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位

6、数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的9倍。求出所有这样的三位数。【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的10倍，所以原两位数的个位数只能是0或5。如果个位数是0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的10倍，所以个位数是5。设原两位数是，则b=5，变成的三位数为ab5，由题意有100a10b5（10a5）9，化简得ab4。变成的三位数只能是405，315，225，135。【例 4】 (第五届希望杯培训试题)有3个不同的数字，用它们组成6个不同的三位数，如果这6个三位数的和是1554，那么这3个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为，因为，它们的和

7、是：，所以，由于这三个数字互不相同且均不为0，所以这三个数中较小的两个数至少为1，2，而，所以最大的数最大为4；又，所以最大的数大于，所以最大的数为4，其他两数分别是1，2【例 5】 a，b，c分别是中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？【解析】 由，组成的六个数的和是因为，所以若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数为，符合题意若，则所求数为，但，不合题意若，则所求数，但所求数为三位数，不合题意所以，只有时符合题意，所求的三位数为652【例 6】 已知.【解析】 原式：1111a111b11cd137

8、0，所以a1， 则111b11c推知b2；进而推知c3，d=4所以=1234。【例 7】 将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338求这个四位数【解析】 设组成这个四位数的四个数码为， ()，则有，可得，则，且M的四位数字分别为1、9，由于的个位数字为7，所以，中有一个为7，但，所以不能为7，故，【例 8】 一个六位数，如果满足，则称为“迎春数”(例如，则102564就是“迎春数”)请你求出所有“迎春数”的总和【解析】 由于是把六位数的末位调到首位构成了新六位数，

9、所以不妨把看成一个整体，设，则根据位值原理可知“迎春数”是，并满足关系式：对等式化简得：所以：因为是五位数，是一位数，所以可以为4，5，6，7，8，9而“迎春数”，那么，所有“迎春数”的总和是：模块二 数的进制【例 9】 _；_； 若，则_【解析】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： ； 可转化成十进制来计算：；如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对进行除法计算，只是每次借位都是2，可得； 本题涉及到3个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：； 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数”，凑出“互补数”的这种方法

10、叫“凑整法”，在进制中也有“凑整法”，要凑的就是整原式；若，则，经试验可得【例 10】 在几进制中有？【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于，由于式中为100，尾数为0，也就是说已经将12全部进到上一位所以说进位制为12的约数，也就是12，6，4，3，2中的一个但是式子中出现了4，所以要比4大，不可能是4，3，2进制另外，由于，因为，也就是说不到10就已经进位，才能是100，于是知道，那么不能是12所以，只能是6【巩固】 在几进制中有？【解析】 注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以再注意尾数分析，而16324的末位为4，于是进到上一位所以说进位制为21的约数，

11、又小于10，也就是可能为7或3因为出现了6，所以只能是7【例 11】 在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少? 【解析】 (abc)6 =a62b6+c=36a+6b+c；(cba)9=c92+b9+a=81c+9b+a；所以36a+6b+c=81c+9b+a；于是35a=3b+80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数所以3b也必须是5的倍数，又(3，5)=1所以，b=0或5当b=0，则35a=80c；则7a=16c；(7，16)=1，并且a、c0，所以a=16，c=7。但是在6,9进制，不可以有一个数字为16当b=5，则35a=35+80c；则7a=3+16c

12、；mod7后，3+2c0。所以c=2或者2+7k(k为整数)因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c=2；35a=15+802，a=5。所以(abc)6 =(552)6 =562+56+2=212。这个三位数在十进制中为212。【例 12】 (2001年人大附中分班考试题)在8进制中，一个多位数的数字和为十进制中的68，求除以7的余数为多少？【解析】 类似于十进制中的“弃九法”，8进制中也有“弃7法”，也就是说8进制中一个数除以7的余数等于这个数的各位数字之和除以7的余数本题中，这个数的各位数字之和在十进制中为68，而68除以7的余数为5，所以这个数除以7的余数也为5板块三 完全平方

13、数【例 13】 从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？【解析】 完全平方数，其所有质因数必定成对出现而，所以满足条件的数必为某个完全平方数的2倍，由于，所以、都满足题意，即所求的满足条件的数共有31个【例 14】 考虑下列32个数：，请你去掉其中的一个数，使得其余各数的乘积为一个完全平方数，划去的那个数是【解析】 设这32个数的乘积为A，所以，只要划去这个数，即可使得其余各数的乘积为一个完全平方数另外，由于，而16也是完全平方数，所以划去也满足题意【例 15】 一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7如果把组成它的数字

14、都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数 【解析】 设这个四位数为，由于其各位数字都小于7，所以每位数字都加3，没有发生进位，故由得：将分解质因数，有，其有个约数，但是有，所以只有4种可能，即由于，故，所以；又，所以，故；一一检验，只有满足且，所以，得，原来的四位数为【例 16】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数【解析】 一个合数的约数的个数是在严格分解质因数之后,将每个质因数的指数(次数)加1后所得的乘积.如:1400严格分解质因数后为23527,所以它的约数有(3+1)(2+1)(1+1)=432=24个.(包括1和它自身)1后均是奇数,所得的乘积才能是奇数.而所有

15、质因数的个数均是偶数个的数为完全平方数.即完全平方数(除0外)有奇数个约数,反过来,有奇数个约数的数一定是完全平方数 由以上分析知,我们所求的为360630之间有多少个完全平方数?1818=324,1919=361,2525=625,2626=676,所以在360630之间的完全平方数为192,202,212,222,232,242,252即360到630的自然数中有奇数个约数的数为361,400,441,484,529,576,625【例 17】 一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？【解析】 设该数为，那么它的平方就是，因此由于，所以，可得，；故该数的约数个数为个；或者，可

16、得，那么该数的约数个数为个所以这个数的约数个数为14个或者20个【例 18】 一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 【解析】 设这个数减去为，减去为，则，可知，且，所以，这样这个数为【巩固】 能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？【解析】 假设能找到，设这两个完全平方数分别为、，那么这两个完全平方数的差为，由于和的奇偶性质相同，所以不是4的倍数，就是奇数，不可能是像54这样是偶数但不是4的倍数所以不可能等于两个平方数的差，那么题中所说的数是找不到的【例 19】 两个完全平方数的差为77，则这两个完全平方数的和最大是多少？最小是多

17、少？ 【解析】 设这两个完全平方数分别是和，且，则两个完全平方数的和可以表示为，所以越大，平方和越大，越小，平方和越小，而，当，时，取得最大值，此时两个完全平方数的和最大，为；当，时，取得最小值2，此时两个完全平方数的和最小，为85【例 20】 (2008年清华附中考题)有两个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数的末两位数(个位数和十位数)相同，那么这两个两位数是(请写出所有可能的答案) 【解析】 设这两个两位数中较小的那个为，则另外一个为，由题知， (为正整数)，即，由于，所以，由于与均为两位数，所以，故可能为25、50或者75，可能为18、43或者68经检验，、43、6

18、8均符合题意，所以这两个两位数为18、32，或者43、57，或者68、82【例 21】 有5个连续自然数，它们的和为一个平方数，中间三数的和为立方数，则这五个数中最小数的最小值为 【解析】 考查平方数和立方数的知识点，同时涉及到数量较少的连续自然数问题，设未知数的时候有技巧：一般是设中间的数，这样前后的数关于中间的数是对称的设中间数是x,则它们的和为, 中间三数的和为是平方数，设,则，是立方数，所以至少含有3和5的质因数各2个, 即至少是225,中间的数至少是1125，那么这五个数中最小数的最小值为1123课后作业练习1. 将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数(这个数也叫原数的反序数)，新数比原数大8802求原来的四位数【解析】 设原数为，则新数为，根据题意，有，推知，得到，原数为1099练习2. (迎春杯决赛)有三个数字能组成6个不同的三位数，这6个三位数的和是2886，求所有这样的6个三位数中最