2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】

1、100 =.2019届上海市高三上学期期中数学试卷【含答案及解析】姓名_ 班级_ 分数_题号-二二三总分得分、填空题1.函数 f (x) =4 x - 1 的反函数 f - 1 (x) =_ .2.设集合 A=5, log 2(a+3) , B=a, b，若 AQ B=2，贝叭 U B=_Sin2Cl3.若 tan a =3,贝 V -n 一 的值等于 _.门只丄a4.函数 f (x) = J _的定义域为_ .5.已知直线 I 经过点:）且方向向量为（2,- 1）,则原点 O 到直线 I 的距离为_.6.若自然数 n 满足 C 6 n =20，则行列式=2-n 3n -7.已知关于 x 的方

2、程（-）x =.有一个正根，则实数 a 的取值范围是71-a100 =.irn _ 18. 已知数列 a & In8 为奇数）&为偶数）贝 V a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 99 +a、选择题29. 已知 P （x, y）是双曲线丄 .-=1 上任意一点，F 1 是双曲线的左焦点，0 是坐标原点，贝 V 可 PF；的最小值是 _ .10. 等比数列a n 首项为 sin a，公比为 cos a,若( a 1 +a 2 +a n =)_,贝寸a= _11.已知下列命题：若 一，v 0,贝 V _与，的夹角为钝角； a, b C，则 R”是“ a, b 互为共轭复数”的必要非充分条件

3、；一个骰子连续投2 次，点数和为 4的概率为 言；若 n 为正奇数，则 6 n +疋&旷彳+ C16-1 被 8除的余数是 5,其中正确的序号是 _ .ab12.在一个底面半径为 1,高为 3 的圆柱形容器中放满水，再把容器倾斜倒出水,此时圆柱体的母线与水平面所成角的大小是 _ .13.已知数列a n 、b n 口I ，切对于一切的正整数的通项公式分布为 a(-1)14.（文）在数列a n 中，a 1 =2，且对任意大于 1 的正整数 n,点（一丄，J%-）在直线 y=x - V?上，则- -弓=_ 盯111Cn+1 ）215. 已知 ABC 中，若 sinA=m, sinB=n，当 m n

4、满足条件 出满意的一个条件），cosC 具有唯一确定的值.时（只需写16.（文）已知ABC 中，cosA=a, sinB=具有唯一确定的值.4工，当 a 满足条件_ 时，cosC17. 抛物线 x 2 =4y的焦点坐标为()A .( 1, 0)B .(- 1, 0)C .( 0, 1)D. ( 0,- 1)18.已知七 i ,頁V；G ，若 k 为满足-.M 的整数,则使ABC 是直角三角形的 k 的个数为()A . 7B. 4C . 3D . 219.已知 a 2 +c 2- ac- 3=0,则 c+2a 的最大值是()20.(文)已知 a 2 +- c 2- 3=0,则 c+2a 的最大值

5、是()A . 2；_B . 2_ C . 2-_ D . 3:-；21.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数f(x)=被称为狄利克雷函数，其中R 为实数集，Q 为有理数集，则关于函数有如下四个命题：三、解答题22.已知四棱锥 S-ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形， Z ABC=90 , ADIIBC ,fl,垃EQ|由汪1f ( f ( x) =0；2函数 f (x)是偶函数；3任取一个不为零的有理数4存在三个点 A(x 1, f使得 ABC 为等边三角形.其中真命题的个数是(A . 1B . 2T, f (x+T) =f (x)对任意的(x 1),B (x 2,

6、f (x 2)C .3D .4x R 恒成立；),C (x 3 , f (x 3 ),B . 2 . I,.C. 2-_SA=AB=BC=2 AD=1, SA 丄底面 ABCD(1 )求四棱锥 s- ABCD 勺体积；(2)(理)求 SC 与平面 SAB 所成角的大小 (文)求异面直线 SC 与 AD 所成角的大小.1 923.已知 ABC 中，cosB=，边 c=12:;.1 X(1)若函数 y=3cos 2 x+sin 2 x- 2 卜”口 sinxcosx，当 x=C 时取得最小值，求变 a, b的长；(2 )若 sin (A- B) = -，求 sinA 的值和边 a 的长.为了净化空

7、气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒1 个单位的净化x (单位：天)变化的函数关系剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的 浓度不低于4 (毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用.(1) 若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a (K a 4)个单位的药剂，要使 接下来的 4 天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 0.1，参考数据：取 1.4 ).25.已知数列a n 的前 n 项和 S n = - a n -(二)n - 1 +2 ( n N *)，数列b n

8、 满足 b n =2 n ?a n(1 )求 a 1(2 )求证数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；J8-i?0 g 44n 10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化式近似为 y=24.剂，空气中释放的浓度 y (单位：毫克/立方米)随着时间(3 )设 c n =log 2，数列，J的前 n 项和为 T n ,求满足 T nv( n如cncR N)的 n 的最大值.第 2 题【答案】26.已知两个函数 f 1(x) =ln (|x - a|+2 ) , f 2(x) =ln (|x - 2a+1|+1 ) , a R.(1 )若 a=0,求使得 f 1(x) =f 2(x)的

9、x 的值；(2 )若|f 1(x) - f 2(x) |=f 1( x)- f 2(x)对于任意的实数 x R 恒成立,求实数 a 的取值范围；/C、+ 岭 L /、fl+ f9(莖)I f 1 (x)1 f A (x) I 砧/古 72 2参考答案及解析第 1 题【答案】1 Cf ( it+1)-【解析】试题分析：从条件中函数式尸41中反解出 Z 再将心互換即得其反函数的解析式即可解；Vy=C- 1二工=1眄Cy+L)醪沪4=-1的反醐为产1呻(E)故答秦対：loji ( x+i1；2, 51【解析】试题并析：由可知冗扎 歩盯建立关系可求得 4b的值，再利用并隼的定义求解即可.解：AnB=2

10、.MOBSa+3）=2*na=l* /.L=22L B=U, 2.；.A1JB=I1, 2；51,故答案为2, 51.第 3 题【答案】6【解析】试题井折：由于七如口,将空聲化筒为班迪冋題解杂了.COS CI解:_tana=3,sin2Q 2sin4 cosrr =订二計曲d =6,cos a COS a故答案为；X第 4 题【答案】I （-叫0J .【解析】试题分析：由根式内言啲代数式大于等于0,婕后求解指数不等式得答案.解；由1-护事0“得FW1XWQ二函数f a） Ri-少的走刘妁c-oo;oi.故答案为；（一Q第 7 题【答案】第 5 题【答案】【解析】 试题分析：通过方冋向量求出直线

11、的斜率，利用点斜式写出直线方程，ii过点到直线的距亶求解即可.解；言线的方向向量为 _1) I所以直线的斜率为；-舟，直线方程为；K+2y+V5 =0)I妬I由点刘直线的距禽可知：J7订P二 x 故笞棄为；1.第 6 题【答案】12【解析】试题分析：先根JEcao求出口的値，然后fejg二阶行列式的公式求出所求即可.解：丁CEO1nn=1X9-3X (2-3) =122_non故答案为；12【解析】试题分析；关于 H 的方程(|):巧土有 Y 正根则 X 亍土1解得；实数逵的取值范围.解；T关于孟的方程诗匕已有一个正根，/.OV11 - 3解得：ao,故答案为：a_17TT故答案为： 亠2阿；

12、kz.第 11 题【答案】1一cos【解析】试题分析：由a-b、(2, 2)、(3, 1)具3竹根据古強概型概率為淆蓟魚嗽祐为4的促率绸斷；4由二项式定理，可以将仔*365代16-1变形为C08CJ歹*+(-1)卜8+(-1又由厉正奇数/则可得6*小6+0戶6厂4+ ( - 1)n:CxnXi8- 3,外崭可得侖懸正曲解：若；込V0,则1与；的夹角为钝角或180。.故昔误；4 bc,取a=l, b=2，满足abR, 4 b不互为共觇复虬 反之，若a, b互为共觇复数，WJab=|a|2则“abR”是“a, b互为共辘复数”的必要非充分条件.故正确,试验发生包含的基本事件共6空呷个，满足条件的事

13、件是点数和为4,歹悻出有1, 3、(2, 2) x (3, 1)共3个，_个骰子连续投2次庶数和为4的概率为缶故错论-2+ - +占i6 - L=6r+C?-6R|弋/6= *：十+C“M2n一2=n-2=7r-2= (8-1)n-2N8”-CJ8”Ti+(1n-3Cnx-8+ ( -1)rC/-2,又由n为正奇数，贝府6-l=C8r-Cj8L4+ ( -1)CT 8-3,且Cr8-CJ8*+ (-1)厂-8可咲被8整除,心阮仁莓枕孑1咱-1被8除所得的余数是5故正确.正确命题的序号是-故答素为：.第 12 题【答案】45*【解析】【解析】试题分析：根抿条件知毎灶水的体积为圆柱体积的三，而可看

14、出流水之后空出部分哈好是用一个平面去2平分了一个短国柱，从而该短圆柱的体积为原来圆柱体积的祜由此可解出短圆柱的高进而找出母线 *咏平面所咸的角，根据三角函数求岀该甬即可解：如图，丁倒出書桁2V -|X3=2 J设圆柱的母线与水平面所成的角为a;2贝 iJtanCl=l j；.CL=45 ;即圆柱体的母线与水平面所成角的大小是4严故答案为；45第 13 题【答案】第14题【答案】1 2n试题分析；对于一切的正整数珀恒有*:丘咸立J可得(-门(-1)上三,对n分类讨2n+l论，剎用数列的里调性即可得出解；T对于一切的正整数m恒有&.V乩成立L一2nX“右综上可得：实数啲取值范圉是-寻 T故答案为：

15、L-f心)2【解析】试赣分析！由代入迄 再由尊差数列的定义和通项公式，可得娠也心（n-1）=再由数当1*偶数时1 - 2n21为为奇数时1 -2EL2n+l1 -2n2n+L=2立，即Sr二加【解1 - 2n2n+2n+l第15题【答案】列扱限的运算和公式，计章目冋得到所求值.解：点（Vtif寸电I-1 在直线尸X -忑匕可得Van- lV%-近,冃卩为Van-l W2 可得数列何为旬页为诡；公差为値的等差数列，即有（n- 1：）-42即尹=2XL片nJ lim_土_= lim加lb tn+l ）2n+2n+l_ 2_-2 F 2-1+ lim-+ limi + o+o-2n-nn-n故答案为

16、：J【解析】 试题分析；由题青和正弓沆理可得或严=wi严員乎斗,可得a壬,b=尸占晋、代人余弓沆理 可2abcodC=aj+V-C;.P由关于匚osC的二次方程有唯一的解可得.解:AABC中inA=iftj sinB=njJ再由余弦定理可得鮎“点二站“ - Ufnr!22 2 p2ft2 _占nnm nsin U m rncosC=o +7耳-n二-/ k2k2点.SIUTLCDSC-ITI- l+rosCj即UDSP 2mncasC十(r+n 1)曲*宙具有唯一确定的值可得二4nk廿4 Cn+n*- 1) =0,整理可得n-l)(涉-1) F叭口不可能同时为1,二当叭请且只有一个知即该三角形

17、为直角三角形时，“乩具有唯一确走的值* 故答案为：叭口有且只有一个为1第 16 题【答案】由正弦定理可得Cl-cos2C)吕inA二minB二girCsinCC=-；-【解析】 试题井析；设打丛弧“讪卉 由正弦定理和余弓婕理分析出用曲有唯一确定11的方法.解：设说知 说 f 曲正弦定理业岬皿比得到旦旦Q uCK K22222 -I2又由余弦定理得到CD就-_ =卬 +口-1代口 日_j所lccscC - 2incasC-b (iiu-hii- 1) =052abEmn因为m或具有唯一确定的值，所以判别式A=4H- 4 (jntn2- 1)电故苔案为；0.第 17 题【答案】【解析】诩h先根抿标

18、淮方程求出口值判断抛物线矗钿的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点解；丁抛物线x. =4y中p=2,焦点在y?LL开口向上I焦点坐标为 1，故选C.第 18 题【答案】【解析】 试璧井析；本题关键是要找出足肛:是直甬三甬形时K的个数，及k的馭值范围整数的个形时，G0曲有唯監需%船严能同时杓所汕耳只有一个为时即三甬形为直角三角数，即可进 行擁解：T 1 忑 14 *辽十 1 味 4-715kV15又丁k为整数丿贝JkE - 3, -2., - 1；Oj 1,2,3若磁为直角三角形则当山为直角时AB - AC=2k+4=0、即心-2邙为直| AC 12= | AE |2+ | BC |2取心1

19、或 2V | AB | R即解得-2听日听所以t=c+2a的最大值是2需第 20 题【答案】【解析】;c+2a.得c=t 2a.乱的貞大值目呵.【解析】 试题井析：化简已知条件，利用三甬代换，求解所求表达式的最倩即可.解：-30,可得gf七吉匚刊令a=V3 cos Cl j c=2f3 3 in Cl . ClERJ1丄己可得c+2a=zV3 sind+zVs cos 1=26 sin ( Q i- ) 26 则c+对的最大值是：2V6 .故选：B-第 21 题【答案】諸里齡缺皺鑒数f ,可得直o） , B?0）,三点怡好构成尊边三角形.解：丁务为有理数时，f 勺 兰讷无理数a, 6=o二当X

20、为有理数时，ff （X） =f （1） =n当 H 为无谨数时f （f（I） =f （O）=1即不管孟是有理数还是无理数，均有J*5曾，。八日0 D , C（孚Q八恰好血为等边三角昭故正确.故选:C.第 22 题【答案】【解33（1）2）（2）（理）axcsin- （文arccos- 【解析】【解析】试题分折：（1）先求出S耗昨，由此能求出四棱锥S-ABCD的体积.（2）（文）求出血，走，利用向量法能求出异面直线SC与AD所成角的大小. 解；四棱锥S-ABCD中，底面ABCD杲直甬梯形，厶BC=90 ,AD/fBC, SA二AB二BC二2, AD二1, SA丄底面ABCD,.SKd制X （1+

21、2）X2 =3,.四棱锥S - ABCD的体积X S梯形ABCDX SA x 3 x匸2 （2）（理）以A为原鼠AB为姊扒AD为菇由，AS为?轴，建立空间直角坐标系,则S （0, 0, 2） , A 0, 0, 0） , C （2, 2, 0） , B （2, 0, 0）,SC= 2, 2, -2,平面SAB的法向量（0,1, 0）、设SC与平面SAB所成角为.SC与平面SAB所成角的大小为arcsin空(2)(文)D (0, 1, 0) , AD= (0, 1, 0) ,SC= (2, 2, -2),设异面直线SC与AD所咸角的犬小为Q ,WJCoSa=|coSI=II=l=二异面直纟戋SC

22、与AD所成角的大小为ar CCQS湮2)sc蚌乩AD为确，A5为蚌由，建立空间直角坐标系，利用向量法能过河卒子JiliJsin6=|cos +2=0,可得2c+=2k兀十兀，k 兀S 解得Cp,由同甬三角函数关系式可求sinB,由正弦定理可求得b的值，利用三角形內角和定理可 求“nA,由止弦走理即口解得2的值.?）由態三角函數关系式可求cos（A-B）从而可求cosA；smC=sxn.（A+B）的值丿宙解：(1) -y=3cos2x+sin2x -2/3sinxcosxVCE (0,兀), 兀.C=r .csinB 1厶広乂忑20si nC Vs 1325.sinA=sin(B+C)=sinB

23、cosC+cosBsinC=Y丄oc rz5+1_csinA严3 %2$ _60+144亦asi nCV31321) a=60+144听13-,120心、37856亦.，16F3627C=12V3 0=123函数公式=2XT+1 - sin2x/yxir=2cOS ( 2C兀兀）+2=2- 2=0此时由题竜可得，2C+- =2k兀+7T, kG解得：C=lc%+-由正弦定理可得:二由正弦定理=2cos兀第 24 题【答案】 a的最小值为24 - 16血16【解析】【解析】 试题分析：(1)利用已知可得一次喷洒4个单位的;争化剂浓度64-4 o x 4f (x)二4y= 8-x,分矣讨论解出f

24、(x)M 假卩可;,20-2K,4x 10 =11 c2 (5-x) la8_(x_6)-1,变形利用基本不等式即可得出.解：丁一次喷洒4个单位的净化剂,旦_4 ,浓度f &)二4尸4 8一x64 j则当0W点4时，由乔匚-4 4,解得诊0,此时0WxW4当4xW10时，由20-2x5：4,解得xW8,此时4xW8.综合得0WxW8,若一次投放4个单位的制剂，贝惰效净化B寸间可达8天. 4 ,解得24 - 16伍 4 ,0 x 44x 1020-2x ,第 25 题【答案】(1) (2)说(3) n的最大值为4.【解析】【解析】试题分析：由已知条件，令 E 能求出呜.(2)由已知条件推导出2a=辛-H) r.-i.所以厶片2： 1 a 1+1.由ba2=a=, fb=br- i+l.由此能求出bF ar.=