2019学年浙江省名校协作体高三(下)联考数学试卷

1、2019学年浙江省名校协作体高三（下）联考数学试卷 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （4 分）已知集合 P=y|y=（ .）x, x0 , Q=x| y=lg （2x-x2） ，贝 U PA Q 2 为（） A. （0，1 B. ? C. （0，2） D. 0 2. （4 分）已知 z=m2- 1+ （m2- 3m+2） i （m R，i 为虚数单位），则 “m= 1”是 “为纯虚数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3. （4 分）已知直线

2、m、n 与平面a B,下列命题准确的是（） A. m / a，n / B且 all B,贝 U m / n B. m / a，n / B且 a丄 B,贝 U mn C. aA B =m n 丄 B且 a丄 B,贝 U n 丄 a D. m a, n 丄 B且 a丄 B,贝 U mn 4. （4 分）为了得到函数 的图象， 能够将函数的图 象（） A.向左平移个单位长度 B.向右平移 个单位长度 6 6 C向左平移宀个单位长度 D.向右平移宀个单位长度 12 12 ：1 5. （4 分）若 x、y 满足约束条件，且目标函数 z=ax2y 仅在点（1, 0） 处取得最小值，则 a 的取值范围是（）

3、 A. （- 1, 2） B. （- 4, 2） C. （- 4, 0） D. （-2, 4） 6. （4 分）直线 x-2y- 3=0 与圆 C: （x-2） 2+ （y+3） 2=9 交于 E、F 两点，则 ECF 的面积为（） A. B.二 C. D. 2 5 4 7. （4 分） 设函数 f （x） =| 2x- 1|，若不等式 1 -对任意实数 a工 0 恒成立，则 x 的取值集合是（） A. ( X, 1 U3, +x) B. ( X, 1 U2, +x) C. ( %, - 3 8. （4 分）已知平面 ABCDL 平面 ADEF AB 丄 AD, CD 丄 AD, 且 AB=1

4、, AD=CD=2 ADEF 是正方形，在正方形 ADEF 内部有一点M ,满足 MB、MC 与平面 ADEF 所成 的角相等，则点 M 的轨迹长度为（） A. B. C.D. n 3 3 9 3 9. （4 分）在平面内| . I I- ，若 ：，则| 一二的取值范围是（） A. ：.W 厂 B.二-仁_| C. M虫汇；D. 10. （4 分）若集合 A= （m, n） | （m+1） + （m+2） + （m+n） =10019, m N, n N*，则集合 A 中的元素个数是（） A. 2019 B. 2019 C. 2019 D. 2019 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题

5、 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. _ （6 分）已知 x0, y0, Ig2+Ig8y=lg2,则 xy 的最大值是 _ . 12 . （6 分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是 cm3, 则正视图中的 x值是 _ cm,该几何体的表面积是 _ cm2 . / 13 . （6 分）设等比数列&的前 n 项和为 Sn,满足对任意的正整数 n, 1 ；上_卫； 均有 Sn+3=8Sn+3，则 a1= _ ，公比 q= _ . 14 . （6 分）在厶 ABC 中，角 A, B, C 分别对应边 a, b, c, SABC ”泾 的面积，已知 a=4, b=5

6、, C=2A,则 c=_ , S= _ . 15 . （4 分）一个口袋里装有大小相同的 6 个小球，其中红色、黄色、绿色的球 各 2 个，现从中任意取出 3 个小球，其中恰有 2 个小球同颜色的概率是 _ .若 取到红球得 1 分，取到黄球得 2 分，取到绿球得 3 分，记变量E为取出的三个小 球得分之和，则E的期望为 _ . U 1, +X D. ,2 U 1, +X 16 . （4 分）设双曲线.-一=1 （a0, b0）的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴 / b 上 垂直的直线交两渐近线于 A, B 两点，且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 0 为坐标原点，若卜=入入卩=(入让

7、R),则双曲线的离心率 e 的值是 _ . 17. (4 分)设函数 f (x) =x2 - 2ax+15-2a 的两个零点分别为 xi, X2,且在区间 (xi, X2)上恰好有两个正整数，则实数 a 的取值范围 _ . 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 18. (14 分)已知 0w V 冗，函数 f (x)=7cos(2x+)+sinx . (I)若；二，求 f (x)的单调递增区间； 6 (U)若 f (x)的最大值是：；，求的值. 2 19. ( 15 分)如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，AD/ BC,

8、 AB=BC=CD=1 DA=2, DP 丄平面 ABP, O, M 分别是 AD, PB 的中点. (I)求证：PD/平面 OCM; (U)若 AP 与平面 PBD 所成的角为 60求线段 PB 的长. P 20. （15 分）已知 a R,函数匸| - . (I)若函数 f (乂)在(0, 2) 上递减，求实数 a 的取值范围； (U)当 a0 时，求 f (x)的最小值 g (a)的最大值； (川)设 h (x) =f(x) +| (a- 2) x|，x 1, +x),求证：h (x) 2. 2 2 21. (15 分)已知椭圆l I 1.-H的左、右焦点分别为 Fi、F2,离 a bz

9、 心率为1，直线 y=1 与 C 的两个交点间的距离为二 2 3 (I)求椭圆 C 的方程； (U)分别过 Fi、F2作 li、12满足 I1/I2，设 11、12与 C 的上半部分分别交于 A、B & 22. (15 分)已知函数：. ,. (I)求方程 f (x)- x=0 的实数解； (U)如果数列an满足 a1=1，an+1=f (an) (n N*)，是否存有实数 c，使得 a2n v cv a2n-1对所有的 n N*都成立？证明你的结论. s (川)在(U)的条件下，设数列an的前 n 项的和为 Sn,证明：一八r. 2019 学年浙江省名校协作体高三（下）联考数学试卷

10、参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （4 分）已知集合 P=y|y=（ .）X, x0 , Q=x| y=lg （2x-x2） ，贝 U PA Q 2 为（） A. （0，1 B. ? C. （0，2） D. 0 【分析】先求出集合 P 与集合 Q,再实行交集运算即可. 【解答】解：2x- x20， 0v xv 2， -Q= （0，2）； - P=y| y= C.） x，x0， - P=（ 0，1 PA Q= （0，1. 故选 A 【点评】本题考查交集及其运算以及对数函数的定义域和指数

11、函数的值域， 准确 化简集合 P 和 Q 是解题的关键. 故选：c. 【点评】本题考查了纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法，考查了推理水平与计 算水平，属于基础题. 2 （4 分）已知 z=m2- 1+ （m2- 3m+2） i （m R，i 为虚数单位），则 “m-1”是 “为纯虚数”的（） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】利用纯虚数的定义、简易逻辑的判定方法即可得出. 【解答】解：若 z=m2- 1+ （m2- 3m+2） i 为纯虚数，则 m2 -仁 0, m2 - 3m+2 工 0， 解得 m= - 1 . .m-1”是“为纯虚

12、数”的充要条件. 3. （4 分）已知直线 m、n 与平面a B,下列命题准确的是（） A、 m / a, n / B且 all B,贝U m II n B. m II a, n / B且 a丄 B,贝U mn C. aA B =m n 丄 B且 a丄 B,贝U n 丄 a D. m a, n 丄 B且 a丄 B,贝U mn 【分析】由面面平行的判定定理知 A 不对，用当 m 与 n 都与a和B的交线平行 时判断 B不对，由面面垂直的性质定理知 C 不对，故 D 准确由面面垂直和线面 垂直以及平行简单证明. 【解答】解：A、由面面平行的判定定理知，m 与 n 可能相交，故 A 不对； B、 当

13、 m 与 n 都与a和B的交线平行时，也符合条件，但是 m/ n,故 B 不对； C、 由面面垂直的性质定理知，必须有 mln, n? B时，n 丄a,否则不成立，故 C 不对； D、 由 n 丄B且a丄B,得 n? a或 n I a,又因 m 丄a,则 mln,故 D 准确. 故选 D. 【点评】本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定 理实行判断，考查了对定理的使用水平和空间想象水平. 4. （4 分）为了得到函数 的图象，能够将函数.的图 象（） A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 6 6 C向左平移 厶个单位长度 D.向右平移 二个单位长度 12 12

14、 【分析】利用函数 y=Asin（ 的图象变换规律，得出结论. 【解答】解：将函数 丁二 二：=sin2 （x+）的图象向左平移个单位长 度， 可得函数 lsin2 （x+ + ） =sin （2x+ ）的图象， 故选：C. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin( 的图象变换规律，属于基础题. 玄+y 1 5. (4 分)若 x、y 满足约束条件，且目标函数 z=a+2y 仅在点(1, 0) 处取得最小值，则 a的取值范围是() A. (- 1, 2) B. ( 4, 2) C( 4, 0) D. (-2, 4) 【分析】若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1, 0)处取得最小值，判断目标函

15、数的斜 率关系，即可得到结论. 【解答】解：作出可行域如图，则直线 x+y=1, x-y=- 1, 2x- y=2 的交点分别 为 A (3, 4), B (0, 1), C (1, 0), 若目标函数 z=ax+2y 仅在点 C (1, 0)处取得最小值， 若 a=0,则目标函数为 z=2y,此时 沪:,满足条件. 2 若 a0,则目标函数为 y=-1 x+二 2 2 若 a0,则斜率 k=-0, 2 要使目标函数 z=ax+-2y 仅在点 C (1, 0)处取得最小值， 则-:-1,即 a2，此时 0a2, 2 若 a0, 2 要使目标函数 z=ax+-2y 仅在点 C (1, 0)处取得

16、最小值， 则- 4，此时-4 a 0, 综上-4 a 2, 即 a 的取值范围(-4, 2). 故选：B. 【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据目标函数的几何意义是解决本题的 关键注意使用数形结合. 6. （4 分）直线 x-2y- 3=0 与圆 C: （x-2） 2+ （y+3） 2=9 交于 E、F 两点，则 ECF的面积为（） A. ； B.二 C. D. 2 5 4 【分析】求出圆心 C 到直线 x-2y - 3=0 距离，利用勾股定理求出 EF,再利用三 角形的面积公式，即可得出结论. 【解答】解：圆 C: （x-2） 2+ （y+3） 2=9 的圆心坐标为 C （2，- 3），

17、半径为 3， C 到直线 x- 2y- 3=0 距离为 - = _， EF=2.=4， ECF 的面积为-.=2 . 2 故选 B. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系， 考查点到直线的距离公式的使用， 考查 学生的计算水平，属于中档题. 7. （4 分）设函数 f （x） =| 2x- 1|，若不等式二1对任意实数 a |a| 工 0 恒成立，则 x 的取值集合是（） A. （-X，- 1 U 3，+x） B. （-X，- 1 u 2，+x） C. （-X，- 3 U 1，+X） D. （-X，- 2 U 1，+） 当-1 vav0 时，g (a) =- 3, 当 0v av丄时,g (a)

18、 =3, 二 当 a丄时，g (a) =- 1+ , 2 a KT a -3, -la2 f (x) 3,即 |2x- 1| 3,解得 x2 . x 的取值集合是(-x,- 1 U 2, +x). 故选：B. 【点评】本题考查恒成立问题，解决本题的关键有两个: 如何去绝对值符号，是中档题. 8. (4 分)已知平面 ABCDL平面 ADEF AB 丄 AD, CD 丄 AD,且 AB=1, AD=CD=2 ADEF 是正方形，在正方形 ADEF 内部有一点 M ,满足 MB、MC 与平面 ADEF 所成 的角相等，则点 M 的轨迹长度为() | B.孕 C.令兀 D.寻n 3 3 9 3 【分

19、析】建立空间直角坐标，求得 B, C 和 M 点坐标，由题意可知 2 丨 MB 丨= I MC 丨，禾U用空间中两点之间的距离公式，即可求得 M 的轨迹方程，即可求 得点 M 的轨迹长度. 【分析】把 f (x)看作是一个参数，问题转化为求 =一一 的最大值，再 1 日 1 把此式看作是关于 a 的函数，通过度段处理的方式，可获得最值. -二一对任意实数 a 0 恒成立, 【解答】解：不等式. Ia| f (x)大于或等于 卜厂 -1 的最大值， |a| ，则当 an,每组数中较小的是 n,另一个是 n +m+1, 每组可唯一解出一组 m, n, 所以，集合 A 中共有 2019 个元素. 故

20、选：A. 【点评】本题考查了集合的概念与应用问题， 也考查了等差数列求和与整数奇偶 性的应用问题，是难题. 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分. 11. （6 分）已知 x0, y0, Ig2 也 8y=lg2,则 xy 的最大值是 _. 12 【分析】 先根据对数运算法则算出 x+3y=1，再由基本不等式 xy= （x3y） = ，得到答案. 【解答】解：Tg2x+lg8y=xlg2+3ylg2= (x+3y) Ig2=lg2 x+3y=1 _ 2 ；xy= (x3y)U 【点评】本题主要考查对数运算法则和基本不等式的使用. 用条件. 12.

21、 （6 分）某几何体的三视图如图所示， 且该几何体的体积是 二 cm3，则正视图 中的 x 值是 2cm,该几何体的表面积是 一-cm2. 故答案为: 1 12 注意基本不等式的使 傭视 【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥 P-ABCD 其中 PA 丄底面 ABCD AB / CD, AB 丄 AD, CD=1, AB=2, 可得出该几何体的表面积. 【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥 P-ABCD 其中 PA 丄底面 ABCD AB / CD, AB 丄 AD, CD=1, AB=2 AD0, b0）的右焦点为 F,过点 F 作与 x 轴 垂直的直线交两渐近线于 A, B 两点，

22、且与双曲线在第一象限的交点为 P,设 O E 4 5 6 7 8 P 1 2 4 2 1 1C 10 10 10 10 E （ E _4x +8X 10 6.- 10 +5X +6X +7X 10 10 10 1 尹尹4_3 a 为坐标原点，若 0P_MA +QB,入乜=（入 让 R）,则双曲线的离心率 e 的值是 5 . 【分析】由方程可得渐近线，可得 A, B, P 的坐标，由已知向量式可得 2+卩_1 入-0=,解之可得入的值，由入卩=可得 a, c 的关系，由离心率的定义可得. c 25 25 【解答】解：双曲线的渐近线为: y= x, 设焦点 F (c, 0), 则 A (c,匹)，

23、B (c, a 戶入養+卩“， ), a .2 (C,)， a c,(入 二？+0 =1 入0 =，解得 c 2c 又由入厂，得得-： 25 :), _cb 口药, 2c 2c 25 2 1C 解得=, e=. a 4 故答案为：. 4 【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的渐近线方程和离心率的求解, 考查运算水平，属中档题. 17. (4分)设函数 f (x) =x2 - 2ax+15-2a 的两个零点 故函数 y=： I 的图象和直线 y=2a 有两个交点， x+1 且这 2 个交点的横坐标分别为 X1 , X2. 2 再令 x+1=t，贝U y= 二。二 t+* - 2, t t

24、 即 m (t) =t+ 的图象和直线 y=2a+2 有两个交点， t 且这 2 个交点的横坐标分别为 tl, t2, 在区间(ti, t2)上恰有两个正整数，而这两个正整数应为 4 和 5. 令 t=5，贝U m (t)，令 t=3，则 m (t)= , 5 3 一 2a+2w =，求得_ v a , 5 3 10 6 故符合条件的 a 的范围是：a| v aw. 10 6 故答案为：(I ,工. 10 6 【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系， 函数的图象，函数 零点的定义，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 18

25、. (14 分)已知 OW Xn 函数 f(x)=cos(2x+ )+sin2x. (I)若 1 ，求 f (x)的单调递增区间； 0 (U)若 f (x)的最大值是；，求的值. 【分析】(I)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过正弦函数的 单调性求解即可. (U)利用函数 f (x)的最大值为,通过求解方程求解即可. 【解答】(本小题满分 14 分) (I)由题意 S 二亠 I 匚:一(3 分) = Iu(5 分) k厂-. 所以单调 f （x）的单调递增区间为I-.-一、上_U, k乙（8 分） 3 6 （U）由题息：二 i ；丄 一丄_二 jii. i ,，（10 分） 因为函

26、数 f （x）的最大值为厶，即 ,（ 12 分） 2 口 u 2 从而 cos =0 又 0 WVn,故 e =2! 厶 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，正弦函数的单调性的应用，考查计算 水平. 19. （ 15分） 如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为梯形， AD/ BC, AB=BC=CD=1 DA=2, DP 丄平面 ABP, O，M 分别是 AD, PB 的中点. （I）求证：PD/平面 OCM; （U）若 AP 与平面 PBD 所成的角为 60求线段 PB 的长. 【分析】（I）连接 BD 交 OC 与 N,连接 MN .证明 MN / PD.然后证明 PD/平 面

27、 OCM. （U）通过计算证明 AB 丄 BD. AB 丄 PD.推出 AB 丄平面 BDP,说明/ APB 为 AP 与平面 PBD 所成的角，然后求解即可. 【解答】（本小题满分 15 分） 解: （I）连接 BD 交 OC 与 N,连接 MN . 因为 O 为 AD 的中点，AD=2, 所以 OA=OD=1=BC 又因为 AD/ BC, 所以四边形 OBCD 为平行四边形，（2 分） 所以 N 为 BD 的中点，因为 M 为 PB 的中点， 所以 MN / PD.（4 分） （14 分） P 8 又因为 MN?平面 OCM, PD?平面 OCM, 所以 PD/平面 OCM.(6 分) (

28、U)由四边形 OBCD 为平行四边形，知 OB=CD=1 所以 AOB 为等边三角形，所以/ A=60 , (8 分) 所以.14 . . | . . . ，即 ABB +BD=AD2，即 AB 丄 BD. 因为 DP 丄平面 ABP,所以 AB 丄 PD. 又因为 BDA PD=D,所以 AB 丄平面 BDP, - (11 分) 所以/ APB 为 AP 与平面 PBD 所成的角，即/ APB=60，- (13 分) 所以 P 書 .(15分) 【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用， 直线与平面 所成角的求法，考查空间想象水平以及计算水平. 20. (15 分)已知 a

29、 R,函数一厂：存 x (I)若函数 f (乂)在(0, 2) 上递减，求实数 a 的取值范围； (U)当 a0 时，求 f (x)的最小值 g (a)的最大值； (川)设 h (x) =f (x) +| (a- 2) x| , x 1, +x),求证：h (x) 2. 【分析】(I)求出函数的导数，问题转化为恒有 成立，求出 a 的范围即可； x (U)求出函数的导数，得到函数 f (x)的最小值 g (a),根据函数的单调性求 出 g (a)的最大值即可； (川)求出 h (x)的导数，根据函数的单调性求出 h (x)的最小值即可. 【解答】解：(I)函数 f (刈在(0, 2) 上递减?

30、 x( 0, 2),恒有f (x) 0 成立， 而 f (x)二,V0? ? x(0, 2),恒有 成立， 而.二，则 a0 时， ,： x2 a x (Os Z) a 2 a +8) a f (x) 0 + f (x) 极小值 / f (x)的最小值 g (a) =， 7 分)g (a) =ln2- Ina=0? a=2 a a a (0, 2) 2 (2, +x) g (a) + 0 g (x) / 极大值 g (a)的最大值为 g (2) =2 (川)当 a2 时，h (x) =f (x) + (a- 2) x= ： , | | :, :.:亠:W*, x 所以 h (x)在1, +x)

31、上是增函数，故 h (x) h (1) =a 2, 当 a v2 时，h (x) =f (x)-( a - 2) x= 一 _ ： , -I :., X , 解得：，或 x=1，h (x) h (1) =4- a2, 2_a 综上所述：h (x) 2- (15 分) 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想, 是一道中档题. 2 2 21. (15 分)已知椭圆：- - 的左、右焦点分别为 R、F2,离 a b 心率为直线y=1与 C 的两个交点间的距离为 (I)求椭圆 C 的方程； (U)分别过 F1、F2作 11、I2满足 I1/I2，设 11、I2与 C 的上

32、半部分分别交于 A、B 两点，求四边形 ABHF1面积的最大值. V 1 【分析】（I）利用离心率为1，直线 y=1 与 C 的两个交点间的距离为二2,求 2 3 出 a，b,即可求椭圆 C 的方程； （U）直线与椭圆方程联立，利用基本不等式，求四边形 ABF2F1面积的最大值. 【解答】解：（I）易知椭圆过点【，所以._-,（2 分） 3 b2 又 ，（3 分）a2=b2 +c2，（4 分） a 2 得 a2=4， b2=3， 2 2 所以椭圆的方程为-.（ 6 分） *1 0 （n）设直线 li： x=my- 1,它与 C 的另一个交点为 D. 与 C 联立，消去 乂，得（3m2+4） y2- 6my- 9=0，- （7 分） =144 （m2+1）0.| 一 U 1 ，（9 分） 3mz+4 9 又 F2到 11的距离为-，- （10