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文档简介
1、 习题4.1 1. 设和是区间上的连续函数,证明:如果在区间上有常数或常数,则和在区间上线形无关。证明:假设在,在区间上线形相关则存在不全为零的常数,使得那么不妨设不为零,则有显然为常数,与题矛盾,即假设不成立,在区间上线形无关2. 证明非齐线形方程的叠加原理:设,分别是非齐线形方程 (1) (2) 的解,则+是方程 +的解。证明:由题可知,分别是方程(1),(2)的解则: (3) (4)那么由(3)+(4)得:+即+是方程是+的解。3. 试验证0的基本解组为,并求方程的通解。 证明:由题将代入方程0得:-=0,即是该方程的解,同理求得也是该方程的解又显然线形无关,故是0的基本解组。 由题可设
2、所求通解为:,则有:解之得:故所求通解为:4. 试验证0有基本解组t,并求方程t-1的通解。解:由题将t代入方程0得: ,即t为该方程的解 同理也是该方程的解,又显然t,线形无关, 故t,是方程0的基本解组由题可设所求通解为,则有:解之得:故所求通解为5. 以知方程0的基本解组为,求此方程适合初始条件的基本解组(称为标准基本解组,即有)并求出方程的适合初始条件的解。 解:时间方程0的基本解组,故存在常数使得: 于是:令t=0,则有方程适合初始条件,于是有:解得: 故又该方程适合初始条件,于是:解得: 故显然,线形无关,所以此方程适合初始条件的基本解组为:, 而此方程同时满足初始条件,于是:解得
3、:故满足要求的解。6. 设是齐线形方程(4.2)的任意n个解。它们所构成的伏朗斯行列式记为,试证明满足一阶线形方程,因而有: 解:又满足即则:即 则有:即: 7. 假设是二阶齐线形方程(*)的解,这里 在区间上连续,试证:(1)是方程的解的充要条件为:;(2)方程的通解可以表示为:,其中为常数,证:()()因为为方程的解,则由刘维尔公式 两边都乘以则有:,于是: 从而方程的通解可表示为:,其中为常数,。8. 试证n阶非齐线形微分方程(4.1)存在且最多存在n+1个线形无关解。 证:设为(4.1)对应的齐线形方程的一个基本解组,是(4.1)的一个解,则: (1),均为(4.1)的解。同时(1)是线形无关的。 事实上:假设存在常数,使得: (*)的左端为非齐线形方程的解,而右端为齐线形
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