数字图像处理_几何变换

1、第四章第四章 图像的几何变换图像的几何变换n 数字图像的几何变换数字图像的几何变换就是对图像进行如就是对图像进行如下处理：改变图像的几何位置、几何形状、下处理：改变图像的几何位置、几何形状、几何尺寸等几何特征。几何尺寸等几何特征。n 几何变换的特点是：几何变换的特点是：改变图像像素的空改变图像像素的空间位置，而不改变像素灰度值。间位置，而不改变像素灰度值。本章主要内容：本章主要内容：4.1 位置变换：图像的平移、镜像、旋转位置变换：图像的平移、镜像、旋转4.2 形状变换：图像的缩放、错切形状变换：图像的缩放、错切4.3 仿射变换：图像几何变换一般表示方法仿射变换：图像几何变换一般表示方法4.1

2、 图像的位置变换n图像的位置变换是指图像的尺寸和形状不发生变化，只是将图像进行平移，或者作镜像变换，或者进行旋转。 n图像的位置变换的一个应用实例：目标配准。4.1.1 图像的平移n目的：目的：改变图像在画布上的位置。改变图像在画布上的位置。n方法：方法：将图像的所有像素都按要求进行垂直将图像的所有像素都按要求进行垂直 或者水平移动。或者水平移动。 设图像的任一像素坐标为( i, j ), 图像在画布上沿行方向与列方向分别移动i与j。假设平移后的像素坐标为（i, j)。则平移计算公式为：iiijjj 注意：注意：i与与j是原图像的像素坐标，是原图像的像素坐标，i与与j是平移后是平移后的图像像素

3、坐标。的图像像素坐标。4.1.1 图像的平移平移后的图像内容没有变化。但“画布”一定要扩大，否则就会丢失信息。将图像进行平移，取i1与j2画布没有扩大画布扩大板书计算photoshop演示12iijj 4.1.2 图像的镜像（翻转）镜像分为镜像分为水平镜像水平镜像和和垂直镜像垂直镜像一、水平镜像（水平翻转）一、水平镜像（水平翻转） 以图像垂直中轴线为中心，交换图像的左右两部部分。假设图像的大小为MN，水平镜像计算公式为：1iijNj 1 2 31 2 31 12 23 31 2 31 2 31 12 23 3 其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i, j)为该像素在新图像中的坐标。1

4、2 31 2 31 12 23 3二、垂直镜像（垂直翻转）二、垂直镜像（垂直翻转） 以图像水平中轴线为中心，交换图像的上下两部分。设图像的大小为MN，垂直镜像的计算公式为：1iMijj 1 2 3 1 2 31 12 23 3 其中，（i, j)为原图像某个像素的坐标，（i, j)为该像素在新图像中的坐标。4.1.2 4.1.2 图像的镜像图像的镜像photoshop演示4.1.3 4.1.3 图像的旋转图像的旋转cossinsincosiijjij 这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。这个计算公式计算出的值为小数，而坐标值为正整数。 计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范

5、围。计算结果中的新坐标值可能超过原图像所在的空间范围。图像的旋转：图像的旋转：以图像中的某一点为原点，按照顺时针或逆时针旋转一定的角度。图像逆逆时针时针旋转的计算公式如下： 图像旋转时，为了避免信息的丢失，应当扩大画布，并将旋转后的图像平移到新画布上。max0.866*30.52.098i图像的旋转例题图像的旋转例题 300.8660.50.50.866iijjijmin0.8660.5*30.634i min0.8660.51.366jmax0.866*30.5*34.098j:1,3;:1,3ij: 1,2;:1,4ij:1,4;:1,4ij结论：按照图像旋转计算公式获得的结果与想象中的差

6、异很大。2iijj 板书：计算像素（1，1）的旋转新坐标 图像旋转之后，出现了两个问题：图像旋转之后，出现了两个问题：1） 因为相邻像素之间只能有因为相邻像素之间只能有8个方向，而个方向，而旋转方向却是任意的，使得像素的排列旋转方向却是任意的，使得像素的排列不是完全按照原有的相邻关系。不是完全按照原有的相邻关系。2）会出现许多的空洞点。）会出现许多的空洞点。 我们来看一个旋转图像的我们来看一个旋转图像的画面效果画面效果。 空洞点空洞点 新图像中的新图像中的空洞空洞可以采用插值方法填充可以采用插值方法填充插值方法有两种方式：插值方法有两种方式：一、近邻插值法一、近邻插值法二、均值插值法二、均值插

7、值法一、近邻插值法一、近邻插值法 对于判断为空洞点的像素，用其对于判断为空洞点的像素，用其同一同一行（或列）中的相邻像素值行（或列）中的相邻像素值来填充。来填充。n二、均值插值法二、均值插值法n 对于空洞的像素，用其相邻四个像素的对于空洞的像素，用其相邻四个像素的平均颜色来填充。平均颜色来填充。（0，128，0）（255，0，0）（102，204，254）（0，102，254）（89，109，127）计算平均颜色计算平均颜色 经过插值处理之后，经过插值处理之后，图像效果图像效果就变得自然就变得自然。Photoshop演演示镜像与旋转示镜像与旋转4.2 图像的形状变换 所谓图像的形状变换是指图像

8、的形状发生了变化，主要包括放大放大、缩小缩小、错切错切等。等。4.2.1 图像的缩小n图像缩小有按比例缩小和不按比例缩小两种情况。n图像缩小之后，像素的个数减少，承载的信息量小了，画布可相应缩小。n图像缩小方法有两种：（1）基于等间隔采样的缩小方法；（2）基于局部均值的缩小方法。(a) 按比例缩小按比例缩小 (b) 不按比例缩小不按比例缩小一、基于等间隔采样的图像缩小方法n原理：该方法通过对原图像的均匀采样，等间隔地选取一部分像素，从而获得小尺寸图像的数据，并且尽量保持原有图像特征不丢失。6633算法描述：算法描述：设原图像大小为MN,缩小为k1Mk2N，（k11，k21，k21）。算法步骤如

9、下：）。算法步骤如下：1）设原图像是）设原图像是F(i, j): i=1,2,M; j=1,2,N. 新图像是新图像是G(i, j): i=1,2,k1M; j=1,2,k2N.2）计算采样间隔：）计算采样间隔： =1/k1 =1/k23）G(i, j)=f(i, j)以上方法与等间隔采样的图像缩小方法大致相同以上方法与等间隔采样的图像缩小方法大致相同例题例题111213212223313233fffFffffff1111111212121313212121222222232331313132323233333131313232323333ffffffffffffffffGffffffffff

10、ffffffk1=1.2；k2=2.5 =0.83; =0.4G(i,j)=f(i;, j;)教材g16有误G(2,4)的板书计算G为48的新图像4.2.2.2 基于基于双线性插值双线性插值的图像放大方法的图像放大方法111213212223313233fffFffffff112121( , )( , )( , )iig ijg ijg ijii第第i2行行g(i1, j)g(i2, j)g(i, j)第第i1行行第第i行行第第j 列列112121( , )( , )( , )( , )iig i jg ijg ijg ijii32(3,1)21312142( 3121)/2gfffffg(i

11、, j1)g(i, j2)g(i, j)112121( , )( ,)( ,)( ,)jjg i jg i jg i jg i jjj第第j1 列列第第j 列列第第j2 列列第第i 行行112121( , )( ,)( , )jjg i jg i jg i jjj2 1(1,2)1112114 121111233gfffff4.2.3 图像错切n图像的错切变换可看成是平面景物在投影平面上的非垂直投影效果。n错切变换可分为两种。一种是水平错切，水平方向的线段发生倾斜。另一种是垂直错切，垂直方向的线段发生倾斜。n错切的计算公式如下：()iiid jjj 水平错切()jiijjd i垂直错切图像错切

12、的例题1jd ()iiid jjj 水平错切1id 可以看到，错切之后的像素坐标只有一种发生变化。图像旋转，则是行坐标与列坐标同时发生变化。()jiijjd i垂直错切Photoshop的实验综合运用几何变换技术计算f(1,1)的新坐标4.3 图像的仿射变换n图像仿射变换提出的意义是采用通用的数学变换公式，来表示前面给出的几何变换。n为了能够采用统一变换公式表示平移变换，引入齐次坐标概念。jjjiii平移公式：4.3.1 齐次坐标n原坐标为 (x,y)，定义齐次坐标为： （wx, wy, w） n这里，令系数w取值为1，即像素（i，j）的齐次坐标为（i，j，1）。4.3.2 仿射变换可以定义仿

13、射变换 如下：iaibjijcidjj 10011iabiijcdjj 有了齐次坐标 ，就可以用矩阵形式表示为：图像的平移：100110011iiijjj 图像的旋转：cossin0sincos010011iijj 4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换图像的水平镜像：10101010011iNijj 图像的垂直镜像：10001110011iijMj 4.3.3 仿射变换表示图像的几何变换仿射变换表示图像的几何变换图像的水平错切：1001010011iidijj 图像的垂直错切：1001010011jiijdj n投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上

14、投影变换是指在某个视点下，三维物体在平面上的投影。的投影。术语：视点；投影面；投影线术语：视点；投影面；投影线n如下图所示，当视点位于如下图所示，当视点位于 z z 轴轴（0,0,h)0,0,h)，物体上，物体上的点的点p(x,y,zp(x,y,z) )在平面上的投影在平面上的投影P(X,Y,0)P(X,Y,0)的计算公的计算公式如下：式如下：xyzVp=(0,0,h) 视点p(x,y,z) 空间上的点P(X,Y,0) 投影面上的点hxXhzh yYhz4.4 投影变换例题z=0时，X=hx/h=x, Y=hy/h=yz=1时，X=hx/(h-1)=1.5x Y=hy/(h-1)=1.5y所以

15、：P1=(1,1) P2=(2,1) P3=(1,2) P4=(2,2) P5=(1.5, 1.5) P6=(3, 1.5) P7=(1.5, 3) P8=(3, 3)h xXhzh yYhz 已知立方体的8个顶点：p1=(1,1,0) p2=(2,1,0) p3=(1,2,0) p4=(2,2,0)P5=(1,1,1) p6=(2,1,1) p7=(1,2,1) p8=(2,2,1) 假设视点位于(0,0,3)，即h=3，求立方体各顶点在XOY平面上的投影。p1p3p4p2p5p6p7p8xzy投影变换的结果: 根据视点到投影面之间的距离根据视点到投影面之间的距离是否为无穷远是否为无穷远，将

16、，将投影方式分为投影方式分为透视投影透视投影和和平行投影平行投影两种两种。4.4.1 透视投影 视点到投影面之间的距离有限视点到投影面之间的距离有限。透视投影的特点是：模拟。透视投影的特点是：模拟了照相机的拍摄效果，如平行线的投影可能不再保持平行；了照相机的拍摄效果，如平行线的投影可能不再保持平行；近处物体的投影相对要大些。近处物体的投影相对要大些。立方体的透视投影效果立方体的透视投影效果透视投影效果原理示意图透视投影效果原理示意图投影的特点是：平行线的投影仍然保持平行，投影结果与投影的特点是：平行线的投影仍然保持平行，投影结果与物体到投影面的距离无关物体到投影面的距离无关 。立方体的平行投影

17、效果立方体的平行投影效果平行投影原理示意图平行投影原理示意图4.5 图像几何畸变的校正 当镜头没有正对拍摄目标物时，即目标物不是垂直于成像面上时，就会发生几何畸变。 常见的有枕形或桶形的图像畸变，例如二维条码图像的畸变： 常见的有枕形或桶形的图像畸变，可以通过下面定义的线性几何变换对其进行校正： 222111cybxaycybxax 变换参数可通过选取3个对应点的坐标来确定。 （x, y）、（x, y）分别代表失真前后的图像象素坐标图像的不按比例任意缩小图像的不按比例任意缩小图像大比例放大时的马赛克效应图像大比例放大时的马赛克效应放大放大1010倍倍图像的错切效果图像的错切效果水平错切水平错切图像配准示例图像配准示例与原图比较，有与原图比较，有位置位置与与角度角度偏差偏差标准印章待测印章按比例放大不按比例放大作作 业业 题题 1.1.已知一幅33的数字图像f，求进行以下处理后的新图像g。1）请将它在平移i2与