函数综合性问题

1、函数综合性问题1.设f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的x R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x (-1,0时，f(x)=()x-1.若在区间（1，3内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解，则a的取值范围是（C ）A（1，3） B.（2，4） C.（3，5 D.4,6）O11xy123解析：由f(x)是定义在R上的偶函数，对于任意的x R,有f(x+2)=f(x)-f(1),令x=-1可得f(1)=0,则有f(x+2)=f(x)，所以函数f(x)是周期函数，且周期为2. 又当x (-1,0时，f(x)=()x-1.结合周期性和奇偶性可作函数f(x) 在

2、区间（1，3内的大致图像如图：于x的方程f(x)-loga(x+2)=0恰有3个不同的实数解等价于函数f(x) 在区间（1，3内的图像和函数g(x)= loga(x+2)的图像恰有3个不同的交点。故推出3a 5,故选C。2.已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的函数，g(x)0,f (x)g(x)>f(x)g(x),且f(x)=ax·g(x)( a>0且a 1),+ =,若数列的前n项和大于62，则n的最小值为（ A ）A6 B.7 C.8 D.9解析：令h(x)= ,则h(x)= ,由已知可得h(x)>0,所以h(x)在定义域上为增函数，即y=ax在R上为增函

3、数。所以a>1.由+ =得：a+=,解得a=2.所以an=2n, 的前n项和Sn=2n+1-2>62,解得n>5,故n的最小值为6.故选A。本题结合题中条件构造函数是关键。变式1.设函数f(x)是定义在（ ,0）上的可导函数，其导函数为f(x),且有xf(x)>x2+3f(x),则不等式8f(x+2014)+(x+2014)3f(-2)>0的解集为（ A ）A（-,-2016） B.(-2018,-2016) C.(-2018,0) D.(-,-2018)解析：由8f(x+2014)+(x+2014)3f(-2)>0得：(x+2014)3f(-2)>(

4、-2)3f(x+2014),不妨令x+2014<0,可得：>,从而构造函数g(x)= (x<0),其导函数为g(x)= ,由已知xf(x)>x2+3f(x),得x3f (x)-3x2f(x)>x4>0, g(x)>0在（,0）上恒成立， g(x)在(-,0)上为增函数，故原不等式等价于g(-2)>g(x+2014),解得-2>x+2014,即：x<-2016选A.小结：这两道题都是结合函数及其导数满足的相应关系，结合求导法则构造相应的函数，利用新函数的单调性解决方程或不等式的方法。具体构造什么样的函数视所考虑的问题而定，如变式1中，结

5、合目标不等式，通过对不等式作等价变形，去发现不等式左右两边的共同特征，从而抽象出题中所需要的函数。然后结合题中所给的导数关系去考虑新函数的单调性。达到求解的目的。3.已知函数f(x)在R上满足f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)上的点到直线y=2x-5的距离的最小值是 。解析：本题考查利用方程思想求函数解析式的方法，以及函数或数形结合思想求最值。由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8得f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8,联立方程解得f(x)=x2.所以f(x)=2x,向曲线y=f(x)方向平移直线y=2x-5,当直线与曲线相切时，切点为到直线y

6、=2x-5最近的点。所以y=f(x)在切点处的切线斜率k=y=2,故切点为（1，1），所以曲线上的点到直线的最小距离d=。 4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=f(x)+1,且当x 0,1时，f(x)=4x,当x (1,2)时，f(x)= .令g(x)=2f(x)-x-4，x -6,-2，由函数g(x)的零点个数为（ B）A9 B.8 C.7 D.6O11xy123242345621解析：由题意知当x 0,1时，f(x)=4x,当x (1,2)时，f(x)= 且f(x+2)=f(x)+1，即自变量x每增加2个单位，函数图像向上平移1个单位，作出函数f(x)的图像如图所示：令g(x

7、)=0,得f(x)= +2,令y1=f(x),y2=+2,则g(x)的零点个数即两函数图像交点的个数。由图知选B. 5.已知函数f(x)= 若方程af2(x)+bf(x)+c=0有8个不同的实根，则此8个实根之和是（ D ）A B.4 C. D.2O0.25xy0.5解析：设f(x)=t,则方程af2(x)+bf(x)+c=0即为at2+bt+c=0,作出函数f(x)的图像，如图，由图像可知，当t>0时，方程f(x)=t有4个根，且两两关于直线x= 对称，则这四个根的和为1，若方程af2(x)+bf(x)+c=0有8个不同实根，则关于t的方程at2+bt+c=0有2个不同的正数根，则这8

8、个根的和是2.故选D。xy2O1223456.已知定义域为R的函数满足以下条件：xR,f(-x2+6x-8)=g(x); g(x)=g(x+2);当x 2,3时，g(x)=-2x2+12x-18.若方程g(x)=loga(|x|+1)在区间（0，+ ）内至少有4个不等实根，则实数a的取值范围为（ D ）A（0，） B.(0, C. ,+ ) D.(0, 解析：由xR,f(-x2+6x-8)=g(x)得f-(x-3)2+1=g(x)，令t=x-3得：f(-t2+1)=g(t+3)对 t R恒成立，所以g(-t+3)=g(t+3),所以g(x)的图像关于直线x=3对称。由g(x)=g(x+2)知g

9、(x)是周期为2的周期函数，结合当x 2,3时，g(x)=-2x2+12x-18，可画出函数y=g(x)的图像如下：依题意在区间（0，+ ）内函数y=g(x)与函数y= loga(|x|+1)的图像至少有4个不同的交点，故loga(|4|+1) -2且0<a<1,解得0<a<,故选D.7.已知函数f(x)=|xex|(e是自然对数的底数)，方程f2(x)+tf(x)+1=0(tR)有四个实根，则t的取值范围为（ B ）A（,+） B.(-,- ) C.(- ,-2) D.(2, )O11xy2212345621解析：f(x)= |xex|=,当x 0时，f (x)=ex+xex>0恒成立，所以f(x)在0，+)上为增函数。当x<0时，f (x)=-ex(x+1),由f (x)=0得x=-1,当x (- ,-1)时，f(x)>0,f(x)为增函数，当x (-1,0)时，f (x)<0,f(x)为减函数，又f(-1)=,f(0)=0,可作函数y=f(x)的图像如图：令f(x)=m,则原方程可化为m2+tm+1=0,要原方程有四个实数根，等价于方程m2+tm+1=0有两个不等实根，且一根在（0，）内，一根在（，+ ）内。