测量平差第一章

1、测量平差测量平差 v中国矿业学中国矿业学v高等学校高等学校“十一五十一五”规划教材规划教材测测 量量 平平 差差主讲主讲 张书毕张书毕高等学校高等学校“十一五十一五”规划教材规划教材前前 言言 测量平差测量平差是测绘工程专业重要的专业基础课是测绘工程专业重要的专业基础课之一，同时又是后续其他课程的基础，根据多年的之一，同时又是后续其他课程的基础，根据多年的教学与实践我们编写了本书。全书共分教学与实践我们编写了本书。全书共分8章，第一章，第一章介绍了章介绍了误差及其传播误差及其传播，第二章介绍了，第二章介绍了平差数学模平差数学模型与最小二乘原理型与最小二乘原理，第三章介绍了，第三章介绍了条件平差

2、的原理条件平差的原理和方法和方法，第四章介绍了，第四章介绍了间接平差的原理和方法间接平差的原理和方法，第，第五章介绍了五章介绍了附有限制条件的条件平差附有限制条件的条件平差，第六章介绍，第六章介绍了了误差椭圆误差椭圆，第七章介绍了，第七章介绍了误差分布与平差参数的误差分布与平差参数的统计假设检验统计假设检验，第八章介绍了，第八章介绍了近代平差理论近代平差理论。各章。各章后均附有习题。后均附有习题。 一、闭合水准路线近似平差一、闭合水准路线近似平差(复习复习:测量学上用的近似平差测量学上用的近似平差)（1）闭合路线）闭合路线已知A点高程：227.043m1l 2=0.4kmh2=+3.265ml

3、 1=0.5kmh1=+5.693ml 3=0.3kmh3=-2.306ml 4=0.6kmh1=-6.632m23A解：按照下列步骤计算：解：按照下列步骤计算：（1）计算闭合差）计算闭合差fh=h=5.693+3.265-2.306-6.632=0.020m=20mmfh允允=40(L)1/2= 40(1.8)1/2 = 54mmfh fh允允,其精度符合要求。其精度符合要求。（2）计算改正数和改正后高差）计算改正数和改正后高差改正数改正数vi=-(fh /L)li=-11.1 li改正后高差改正后高差=实测高差实测高差+改正数改正数如：如：v1=-11.10.5=-5.6mm-0.006m

4、第一段改正后高差：第一段改正后高差：5.693-0.006=5.687m同理，计算其它各段。同理，计算其它各段。（3）计算各点高程）计算各点高程H1=HA+h1+v1=227.043+5.693-0.006 =232.730(m)H1=232.730mH2235.991mH3=233.682mHA=227.043m二、附合水准路线近似平差二、附合水准路线近似平差 (复习复习:测量学上用的近似平差测量学上用的近似平差)调整图所示的附合水准路线的观测成果，并求出各点的调整图所示的附合水准路线的观测成果，并求出各点的高程。高程。AB123+2.331m2 .1Km+2.814m-2 .244m+1.

5、430m1.6Km1.7Km2 .0KmHA=45 .286mHB=49.579m参考答案：闭合差参考答案：闭合差:fh=+0.038m, 路线总长路线总长L=7.4km,每公里改正每公里改正-0.005m 各段改正数：各段改正数：v1=-0.008m, v2=-0.011m, v3=-0.009m, v4=-0.010m各点最终高程：各点最终高程：H1=47.609m, H2=50.412m, H3=48.159m,检核检核HB=49.579m1 1、绘制计算草图，在图上填写已知数据和观测数据。、绘制计算草图，在图上填写已知数据和观测数据。2 2、角度闭合差、角度闭合差(angle clos

6、ing error)(angle closing error)的计算与调整。的计算与调整。（1 1）计算角度闭合差：）计算角度闭合差： = =测测- -理理 = = 测测-(n-2)-(n-2) 180180（2 2）计算限差：）计算限差：nf40允三、闭合导线近似平差三、闭合导线近似平差(复习复习:测量学上用的近似平差测量学上用的近似平差)115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A148484343

7、1818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606（3）若在限差内，则平均分配原则，计算改正数： 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105

8、171706061011014646242412312330300606nfV Vii3、按新的角值，推算各边坐标方位角。 4 4、按坐标正算公式，计算各边坐标增量。、按坐标正算公式，计算各边坐标增量。5 5、坐标增量闭合差、坐标增量闭合差(closing error in coordination (closing error in coordination increment)increment)计算与调整计算与调整 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=5

9、36.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 4112112222224249

10、79703030000105105171706061011014646242412312330300606（1 1）计算坐标增量闭合差）计算坐标增量闭合差：导线全长相对闭合差导线全长相对闭合差(relative length closing error of (relative length closing error of traverse):traverse): 导线全长闭合差导线全长闭合差: : 测理测测理测yyyfxxxfyx22yxfff*/*1DfK（2）分配坐标增量闭合差。 若若K1/2000K1/2000（图根级），则将（图根级），则将f fx x、f fy y以相反符号，按以

11、相反符号，按边长成正比分配到各坐标增量上去。并计算改正后的坐标边长成正比分配到各坐标增量上去。并计算改正后的坐标增量。增量。 115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 411211222222424979703030000105105171706061011014646242412312330300606iyyiixxiDDfVDDfVy

12、iixiiVxyVxx6 6、坐标计算、坐标计算根据起始点的已知坐标和经改正的新的坐标增量，来依根据起始点的已知坐标和经改正的新的坐标增量，来依次计算各导线点的坐标。次计算各导线点的坐标。 12121212yyyxxx115.10115.10100.09100.09108.32108.3294.3894.3867.8567.85A A1 12 23 34 4X XA A=536.27m=536.27mY YA A=328.74m=328.74m A1A1484843431818 A A 1 1 2 2 3 3 4 4112112222224249797030300001051051717060

13、61011014646242412312330300606K = = D1400012000 例题：闭合导线坐标计算表点号转折角 (右) 改正后转折角 方向角 边 长 D(米) 坐 标增量(米)X Y改 正 后增量(米)X Y坐标(米) X Y点号A A1 12 23 34 4A A1 1 97 03 00105 17 06101 46 24123 30 06112 22 24+12+12 +12+12+1248 43 18 131 40 06 206 22 48 284 36 12 341 05 54 48 43 18 485.47 +0.09 -0.08x = +0.09y =0.08=

14、x + y =0.120 539 59 00 理理=5400000 = 测测理理=60 容容=405 =89 540 00 0097 03 12105 17 18101 46 36123 30 18112 22 36115.10 100.09 108.32 94.38 67.58+75.93-66.54-97.04+23.80+63.94+86.50+74.77-48.13-91.33-21.89-2-2-2-2-1+2+2+2+1+1612.18545.62448.56472.34415.26490.05441.94350.621234A A536.27536.27328.74328.74A

15、 A+75.91-66.56-97.06+23.78+63.93+86.52+74.79-48.11-91.32-21.880 0 四、例题：附合导线的计算(复习复习:测量学上用的近似平差测量学上用的近似平差)124.08124.08164.10164.10208.53208.5394.1894.18147.44147.44 ABAB CDCDX XB B=1230.88=1230.88Y YB B= 673.45= 673.45X XC C=1845.69=1845.69Y YC C=1039.98=1039.984343171712124 4161600001801801313363617

16、81782222303019319344440000181181131300002042045454303018018032324848B1234CA AB B5 56 67 7C CD D8 8(1)(1)绘制计算草图绘制计算草图, ,在表内填写已知数据和在表内填写已知数据和观测数据观测数据(2)(2)角度闭合差的计算与调整角度闭合差的计算与调整(3)(3)各边方向角的推算各边方向角的推算(4)(4)坐标增量闭合差的计算与调整坐标增量闭合差的计算与调整(5)(5)推算各点坐标。推算各点坐标。 图表：附合导线坐标计算表点号转折角 (右) 改正后转折角 方位角 边 长 D(米) 坐 标增量(米)

17、X Y改 正 后增量(米)X Y坐标(米) X Y点号A AB B5 56 67 78 8C CD D180 13 36178 22 30193 44 00181 13 00204 54 30180 32 48124.08164.10208.53 94.18 147.44B B5 56 67 78 8C C1230.88 673.451845.691039.98+8+8+8+8+8+8180 13 44178 22 38193 44 08181 13 08204 54 38180 32 561119 01 1243 17 12 4 16 00 43 03 28 44 40 50 30 56 4

18、2 29 43 34 4 48 56 +90.66+116.68+178.85+81.79+146.92+84.71+115.39+46.70+107.23+12.38738.33+614.90 +366.41+614.81 +366.53x = +0.09y =0.12= x + y =0.150-2-2-2-1-2+2+3+3+2+2+12-9+90.64+116.66+178.83+81.78+146.90+84.73+115.42+107.26+46.72+12.40+614.81+366.531321.521438.181617.011698.79758.18873.60980.86

19、1027.581119 00 24 理理=11190112 = 测测理理=48 容容=406 =98K = = D1490012000水准网水准网导线往导线往？严密平差！严密平差！第一章第一章 观测误差及其传播观测误差及其传播v1-1 概述概述v测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的测量平差的基本任务是处理一系列带有偶然误差的观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、观测值，求出未知量的最可靠值（也称为平差值、最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评最佳估值、估值、最或是值、最或然值等），并评定测量成果的精度。解决这两个问题的基础，是要定测量成果的精度。解决这两个问题的基础，是要研

20、究观测误差的理论，简称误差理论。本章主要介研究观测误差的理论，简称误差理论。本章主要介绍绍偶然误差的规律性偶然误差的规律性、衡量精度的指标衡量精度的指标、协方差传协方差传播律播律、权的定义以及测量中常用的定权方法权的定义以及测量中常用的定权方法等。等。1-2 观测误差及其分类观测误差及其分类v当对某量进行重复观测时，我们常常发现观测值之当对某量进行重复观测时，我们常常发现观测值之间往往存在一些差异。例如，对同一段距离重复丈间往往存在一些差异。例如，对同一段距离重复丈量若干次，量得的长度通常是互有差异的。另一种量若干次，量得的长度通常是互有差异的。另一种情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某

21、一情况是，如果已经知道某几个量之间应该满足某一理论关系，但对这几个量进行观测后，也会发现实理论关系，但对这几个量进行观测后，也会发现实际观测结果往往不能满足应有的理论关系。例如，际观测结果往往不能满足应有的理论关系。例如，从几何上知道一个平面三角形三内角之和应等于从几何上知道一个平面三角形三内角之和应等于180，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观，但如果对这三个内角进行观测，则三内角观测值之和通常不等于测值之和通常不等于180。在同一量的各观测值之。在同一量的各观测值之间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差间，或在各观测值与其理论上的应有值之间存在差异的现象，在测量工作中是普遍存在的

22、。异的现象，在测量工作中是普遍存在的。v这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。这是由于观测值中包含有观测误差的缘故。 观测误差的产生原因概括起来主要有以下三方面观测误差的产生原因概括起来主要有以下三方面.v1测量仪器测量仪器：测量工作通常是利用测量仪器进行的。：测量工作通常是利用测量仪器进行的。由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观由于每一种仪器都具有一定限度的精密度，因而使观测值的精密度受到了一定的限制。测值的精密度受到了一定的限制。v2观测者观测者：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一：由于观测者的感觉器官的鉴别能力有一定的局限性，所以在仪器的安置、照准、读数方面都定的局限性，所以在

23、仪器的安置、照准、读数方面都会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，会产生误差。同时，观测者的工作态度和技术水平，也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。也是对观测成果质量有直接影响的重要因素。v3外界条件外界条件：观测时所处的外界条件，如温度、湿：观测时所处的外界条件，如温度、湿度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观度、压强、风力、大气折光、电离层等因素都会对观测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对测结果直接产生影响；随着这些因素的变化，它们对观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差观测结果的影响也随之不同，因此观测结果产生误差是必然的。是必然的。u测量仪器、观测

24、者、外界条件三方面的因素是引起误测量仪器、观测者、外界条件三方面的因素是引起误差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测差的主要来源。通常把这三方面的因素合起来称为观测条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联条件。观测条件的好坏与观测成果的质量有着密切的联系。当观测条件好一些，观测中产生的误差就可能相应系。当观测条件好一些，观测中产生的误差就可能相应地小一些，观测成果的质量就会高一些。反之，观测条地小一些，观测成果的质量就会高一些。反之，观测条件差一些，观测成果的质量就会相对低一些。如果观测件差一些，观测成果的质量就会相对低一些。如果观测条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的

25、。但是，条件相同，观测成果的质量也就可以说是相同的。但是，不管观测条件如何，观测的结果都会产生这样或那样的不管观测条件如何，观测的结果都会产生这样或那样的误差，测量中产生误差是不可避免的。当然，在客观条误差，测量中产生误差是不可避免的。当然，在客观条件允许的限度内，我们可以而且必须确保观测成果具有件允许的限度内，我们可以而且必须确保观测成果具有较高的质量。较高的质量。u根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差根据观测误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为系统误差和偶然误差两种。分为系统误差和偶然误差两种。 u1. 系统误差系统误差：在相同的观测条件下作一系列：在相同的观测条件下作一系

26、列的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统的观测，如果误差在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。者为某一常数，那么，这种误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。简言之，符合函数规律的误差称为系统误差。影响因子为影响因子为 :,.,321nxxxx系统误差可表示为：系统误差可表示为： ).,.,(321nxxxxf系统误差的特例系统误差的特例 ： .常数u设对某一量观测结果的系统误差为设对某一量观测结果的系统误差为 ,例如，测距仪的乘常数误差所引起的距离误差与所例如，测距

27、仪的乘常数误差所引起的距离误差与所测距离的长度成正比地增加，距离愈长，误差也愈测距离的长度成正比地增加，距离愈长，误差也愈大；测距仪的加常数误差所引起的距离误差为一常大；测距仪的加常数误差所引起的距离误差为一常数，与距离的长度无关。这是由于仪器不完善或工数，与距离的长度无关。这是由于仪器不完善或工作前未经检验校正而产生的系统误差。测角时因大作前未经检验校正而产生的系统误差。测角时因大气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由气折光的影响而产生的角度误差等等，这些都是由于外界条件所引起的系统误差。于外界条件所引起的系统误差。u2. 偶然误差偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，：在相同的

28、观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶称为偶然误差。简言之，符合统计规律的误差称为偶然误差。然误差。u设对某一量观测结果的偶然误差为设对某一量观测结果的偶然误差为 影响因子影响因子为为 :,偶然误差可表示为偶然误差可表示为： .,.,321nxxxx).,.,(321nxxxxfu 例如，

29、经纬仪测角误差是由照准误差、读数误差、例如，经纬仪测角误差是由照准误差、读数误差、外界条件变化所引起的误差和仪器本身不完善而引起外界条件变化所引起的误差和仪器本身不完善而引起的误差等综合的结果的误差等综合的结果.而其中每一项误差又是由许多偶而其中每一项误差又是由许多偶然因素所引起的小误差。然因素所引起的小误差。 就其个体而言，无论是数值就其个体而言，无论是数值的大小或符号的正负都是不能事先预知的。因此，把的大小或符号的正负都是不能事先预知的。因此，把这种性质的误差称为偶然误差。偶然误差就其总体而这种性质的误差称为偶然误差。偶然误差就其总体而言，具有一定的统计规律，有时又把偶然误差称为随言，具有

30、一定的统计规律，有时又把偶然误差称为随机误差。机误差。u 在测量工作的整个过程中，除了系统误差和偶然在测量工作的整个过程中，除了系统误差和偶然误差外误差外,还可能发生错误。例如，照准目标瞄准错误、还可能发生错误。例如，照准目标瞄准错误、读数错误、记录错误等。错误的发生，大多是由于工读数错误、记录错误等。错误的发生，大多是由于工作中的粗心大意造成的。错误的存在不仅大大影响测作中的粗心大意造成的。错误的存在不仅大大影响测量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带量成果的可靠性，而且往往造成返工浪费，给工作带来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施，保来难以估量的损失，必须采取适当的方法和措施

31、，保证观测结果中不存在错误。一般来说，错误不算作观证观测结果中不存在错误。一般来说，错误不算作观测误差。测误差。u 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时发生系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时发生的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居的。当观测值中有显著的系统误差时，偶然误差就居于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质。反之，于次要地位，观测误差就呈现出系统的性质。反之，则呈现出偶然的性质。则呈现出偶然的性质。 系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它系统误差对于观测结果的影响一般有累积的作用，它对观测成果的质量影响也特别显著。在实际工作中，对观测成果的质量影响也特别显著。在实

32、际工作中，应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果应该采用各种方法来消除或减弱系统误差对观测成果的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。例如，在的影响，达到实际上可以忽略不计的程度。例如，在测量之前对测量仪器进行认真的检验与校正，在测量测量之前对测量仪器进行认真的检验与校正，在测量过程中采用合适的测量方法，对观测成果进行必要的过程中采用合适的测量方法，对观测成果进行必要的改正等改正等.u 当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者当观测序列中已经排除了系统误差的影响，或者说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观说系统误差与偶然误差相比已处于次要地位，即该观测序列中主要是存在着偶然误差

33、。对于这样的观测序测序列中主要是存在着偶然误差。对于这样的观测序列，就称为带有偶然误差的观测序列。这样的观测结列，就称为带有偶然误差的观测序列。这样的观测结果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随果和偶然误差便都是一些随机变量，如何处理这些随机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。机变量，是测量平差这一学科所要研究的内容。u 由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影由于观测结果不可避免地存在着偶然误差的影响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发响，在实际工作中，为了提高成果的质量防止错误发生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就生，通常要使观测值的个数多于未知量的个数，也就

34、是要进行多余观测。由于偶然误差的存在，通过多余是要进行多余观测。由于偶然误差的存在，通过多余观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合观测必然会发现在观测结果之间不相一致，或不符合应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶应有关系而产生的不符值。因此，必须对这些带有偶然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量然误差的观测值进行处理，消除不符值，得到观测量的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是的最可靠的结果。由于这些带有偶然误差的观测值是一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求一些随机变量，因此，可以根据概率统计的方法来求出观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要出

35、观测量的最可靠结果，这就是测量平差的一个主要任务。测量平差的另一个主要任务是评定测量成果的任务。测量平差的另一个主要任务是评定测量成果的精度。精度。1-3 偶然误差的规律性偶然误差的规律性iiiLL (1-3-1) u 任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表任何一个被观测量，客观上总是存在着一个能代表其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。其真正大小的数值。这一数值就称为该观测量的真值。通常在表示观测值的字母上方加波浪线表示其真值。通常在表示观测值的字母上方加波浪线表示其真值。2L1Lu 设进行了设进行了n次观测，各观测值为次观测，各观测值为L1、 L2、Ln，观测量的真值为观测

36、量的真值为 、 、 。由于各观测值都带有由于各观测值都带有一定的误差一定的误差，所以所以，每一个观测值的真值每一个观测值的真值 （或（或E( )）与观测值之间必存在一个差数，设为与观测值之间必存在一个差数，设为nLiLiLi称 为真误差（在此仅包含偶然误差），有时简称为真误差（在此仅包含偶然误差），有时简称为误差。若记为误差。若记 LLLLLELELELETnTn.)(.)()()(2121 .211 ,TnnLLLL,.211 ,Tnn,.211 ,TnnLLLL 则有：则有： (1-3-2)LL 则有：则有： (1-3-3) 在此我们用观测值的真值与观测值之差定义真误差，在此我们用观测值的

37、真值与观测值之差定义真误差，有些教材和文献上用观测值与观测值的真值之差定义有些教材和文献上用观测值与观测值的真值之差定义真误差。这两种定义方式仅仅是使真误差符号相反，真误差。这两种定义方式仅仅是使真误差符号相反，对于后续各种计算公式的推导没有影响。对于后续各种计算公式的推导没有影响。LLE)(如果以被观测值的数学期望表示该观测值的真值如果以被观测值的数学期望表示该观测值的真值LLLLLELELELETnTn.)(.)()()(2121u 在此我们用观测值的真值与观测值之差定义真误在此我们用观测值的真值与观测值之差定义真误差，有些教材和文献上用观测值与观测值的真值之差差，有些教材和文献上用观测值

38、与观测值的真值之差定义真误差。这两种定义方式仅仅是使真误差符号相定义真误差。这两种定义方式仅仅是使真误差符号相反，对于后续各种计算公式的推导没有影响。反，对于后续各种计算公式的推导没有影响。u 前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或前面已经指出，就单个偶然误差而言，其大小或符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机符号没有规律性，即呈现出一种偶然性（或随机性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性）。但就其总体而言，却呈现出一定的统计规律性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们性。并且指出它是服从正态分布的随机变量。人们从无数的测量实践中发现，在相同的观测条件下，从无数的测量实践中

39、发现，在相同的观测条件下，大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规大量偶然误差的分布也确实表现出了一定的统计规律性。下面用一个实例来说明。律性。下面用一个实例来说明。iLLL)(321式中式中 表示各三角形内角和的观测值。现表示各三角形内角和的观测值。现取误差区间的间隔为取误差区间的间隔为0.20，将这一组误差按其正负，将这一组误差按其正负号与误差值的大小排列，统计误差出现在各区间内号与误差值的大小排列，统计误差出现在各区间内的个数，以及的个数，以及“误差出现在某个区间内误差出现在某个区间内”这一事件这一事件的频率（的频率（n=358），其结果列于下表中。），其结果列于下表中。iiLLL)

40、(180321)358, 2 , 1(iu 在相同的条件下，独立地观测了在相同的条件下，独立地观测了358个三角形的全个三角形的全部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值部内角，由于观测值带有偶然误差，故三内角观测值之和不等于其真值之和不等于其真值180。各个三角形内角和的真误差：。各个三角形内角和的真误差：dnvi/dnvi/表表1-1 1-1 某测区三角形内角和的误差分布某测区三角形内角和的误差分布误差的区误差的区间间 为为 负负 值值 为为 正正 值值备注备注个数个数vi频率频率vi/n 个数个数vi 频率频率vi/n0.00-0.200.00-0.200.20-0.400.20-

41、0.400.40-0.600.40-0.600.60-0.800.60-0.800.80-1.000.80-1.001.00-1.201.00-1.201.20-1.401.20-1.401.40-1.601.40-1.601.601.60以上以上4545404033332323171713136 64 40 00.1260.1260.1120.1120.0920.0920.0640.0640.0470.0470.0360.0360.0170.0170.0110.0110.0000.0000.6300.6300.5600.5600.4600.4600.3200.3200.2350.2350.1

42、800.1800.0850.0850.0550.0550.0000.0004646414133332121161613135 52 20 00.1280.1280.1150.1150.0920.0920.0590.0590.0450.0450.0360.0360.0140.0140.0060.0060.0000.0000.6400.6400.5750.5750.4600.4600.2950.2950.2250.2250.1800.1800.0700.0700.0300.0300.0000.000 d d =0.20=0.20等于区间等于区间左端值的左端值的误差算入误差算入该区间内该区间内。和和

43、1811810.5050.5051771770.4950.495v直方图与正态分布u 从表中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：从表中可以看出，误差的分布情况具有以下性质：（）误差的绝对值有一定的限值；（）绝对值较小的（）误差的绝对值有一定的限值；（）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差多；（）绝对值相等的正负误误差比绝对值较大的误差多；（）绝对值相等的正负误差的个数相近差的个数相近 偶然误差分布的情况，除了采用上述误差分布表偶然误差分布的情况，除了采用上述误差分布表的形式表达外，还可以利用图形来表达。例如，以的形式表达外，还可以利用图形来表达。例如，以横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内

44、误差横坐标表示误差的大小，纵坐标代表各区间内误差出现的频率除以区间的间隔值，即出现的频率除以区间的间隔值，即 （此处间隔（此处间隔值均取为值均取为 =0.20）。根据表）。根据表1-1中的数据绘制出中的数据绘制出图图1-1。在图。在图1-1中每一误差区间上的长方条面积就中每一误差区间上的长方条面积就代表误差出现在该区间内的频率。例如，图中画有代表误差出现在该区间内的频率。例如，图中画有斜线的长方条面积，就是代表误差出现在斜线的长方条面积，就是代表误差出现在（0.00+0.20）区间内的频率）区间内的频率0.128。这种图形通。这种图形通常称为直方图，它形象地表示了误差的分布情况。常称为直方图，

45、它形象地表示了误差的分布情况。ddnvi/u 由此可知，在相同观测条件下所得到的一组独由此可知，在相同观测条件下所得到的一组独立观测的误差，只要误差的总个数立观测的误差，只要误差的总个数n足够多，那么，足够多，那么，误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常误差出现在各区间内的频率就总是稳定在某一常数（理论频率）附近，而且当观测个数愈多时，数（理论频率）附近，而且当观测个数愈多时，稳定的程度也就愈大。稳定的程度也就愈大。 例如，就表例如，就表1-1的一组误差而言，在观测条件不变的一组误差而言，在观测条件不变的情况下，如果再继续观测更多的三角形，则可以的情况下，如果再继续观测更多的三角形，则可以

46、预测，随着观测值个数的愈来愈多，当预测，随着观测值个数的愈来愈多，当n时，各时，各频率也就趋于一个完全确定的数值，这就是误差出频率也就趋于一个完全确定的数值，这就是误差出现在各区间内的频率。这就是说，在一定的观测条现在各区间内的频率。这就是说，在一定的观测条件下，对应着一种确定的误差分布。件下，对应着一种确定的误差分布。 在在 的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全的情况下，由于误差出现的频率已趋于完全稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，图稳定，如果此时把误差区间间隔无限缩小，图1-1中中各长方条顶边所形成的折线将变成如图各长方条顶边所形成的折线将变成如图1-2所示的光所示的光滑的曲线。这种

47、曲线也就是误差的概率分布曲线，或滑的曲线。这种曲线也就是误差的概率分布曲线，或称为误差分布曲线。由此可见，偶然误差的频率分布，称为误差分布曲线。由此可见，偶然误差的频率分布，随着的逐渐增大，都是以正态分布为其极限的。通常随着的逐渐增大，都是以正态分布为其极限的。通常也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分也称偶然误差的频率分布为其经验分布，而将正态分布称为它们的理论分布。布称为它们的理论分布。 在以后的理论研究中，都是以正态分布作为描述在以后的理论研究中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型，这不仅可以带来工作上的偶然误差分布的数学模型，这不仅可以带来工作上的便利，而且基本上也是

48、符合实际情况的。我们用概率便利，而且基本上也是符合实际情况的。我们用概率的术语来概括偶然误差的几个特性如下：的术语来概括偶然误差的几个特性如下：1.在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，在一定的观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。或者说，超出一定限值的误差，其出现的概率为零。2.绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大。3.绝对值相等的正负误差出现的概率相同。绝对值相等的正负误差出现的概率相同。4.偶然误差的数学期望为零，偶然误差的数学期望为零，即：即： 。换句话说，偶然误差的理论平均

49、值为零。换句话说，偶然误差的理论平均值为零。0)()()()(LELELLEEE对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，对于一系列的观测而言，不论其观测条件是好是差，也不论是对同一个量还是对不同的量进行观测，只要也不论是对同一个量还是对不同的量进行观测，只要这些观测是在相同的条件下独立进行的，则所产生的这些观测是在相同的条件下独立进行的，则所产生的一组偶然误差必然都具有上述的四个特性。一组偶然误差必然都具有上述的四个特性。 图图1-1中的各长方条的纵坐标为中的各长方条的纵坐标为 ，其面积即为误，其面积即为误差出现在该区间内的概率。如果将这个问题提到理差出现在该区间内的概率。如果将这个问题

50、提到理论上来讨论，则以理论分布取代经验分布（图论上来讨论，则以理论分布取代经验分布（图1-2），），此时，图此时，图1-1中各长方条的纵坐标就是中各长方条的纵坐标就是的密度函的密度函数数 ，而长方条的面积为，而长方条的面积为 ,即代表误差出现即代表误差出现在该区间内的概率，概率密度表达式为：在该区间内的概率，概率密度表达式为：dnvi/)(f df)(22221)(ef(1-3-4) 式中为中误差。当上式中的参数确式中为中误差。当上式中的参数确定后，即可画出它所对应的误差分布定后，即可画出它所对应的误差分布曲线。由于，所以该曲线是以横坐标曲线。由于，所以该曲线是以横坐标为为0处的纵轴为对称轴。

51、当不同时，处的纵轴为对称轴。当不同时，曲线的位置不变，但分布曲线的形状曲线的位置不变，但分布曲线的形状将发生变化。偶然误差将发生变化。偶然误差是服从分布是服从分布的随机变量。的随机变量。1-4 精度和衡量精度的指标精度和衡量精度的指标u 评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。评定测量成果的精度是测量平差的主要任务之一。精度就是指误差分布的密集或离散的程度。例如两组精度就是指误差分布的密集或离散的程度。例如两组观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度观测成果的误差分布相同，便是两组观测成果的精度相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。相同；反之，若误差分布不同，则精度也就不同。从

52、直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形从直方图来看，精度高，则误差分布较为密集，图形在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯在纵轴附近的顶峰则较高，且由长方形所构成的阶梯比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附比较陡峭；精度低，则误差分布较为分散，在纵轴附近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反近顶峰则较低，且其阶梯较为平缓。这个性质同样反映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高映在误差分布曲线的形态上，即有误差分布曲线较高而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。而陡峭和误差分布曲线较低而平缓两种情形。u 在一定的观测条件下进行的一组观测，它对应着一在一定的观测条

53、件下进行的一组观测，它对应着一种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较种确定的误差分布。如果分布较为密集，即离散度较小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组小时，则表示该组观测质量较好，也就是说，这一组观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度观测精度较高；反之，如果分布较为离散，即离散度较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一较大时，则表示该组观测质量较差，也就是说，这一组观测精度较低。在相同的观测条件下所进行的一组组观测精度较低。在相同的观测条件下所进行的一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组观测，由于他们对应着同一种误差分布，对于这一组中的每一个观测值，

54、都称为是同精度观测值。中的每一个观测值，都称为是同精度观测值。u 为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，为了衡量观测值的精度高低，可以按上节的方法，把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、把在一组相同条件下得到的误差，用组成误差分布表、绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。绘制直方图或画出误差分布曲线的方法来比较。 在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的在实用上，是用一些数字特征来说明误差分布的密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡密集或离散的程度，称它们为衡量精度的指标。衡量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度量精度的指标有很多种，下面介绍几种常用的精度指标

55、。指标。一、方差和中误差一、方差和中误差用表示误差分布的方差，误差用表示误差分布的方差，误差的概率密度函数为：的概率密度函数为：22221)(ef由方差的定义：由方差的定义： )()()(2()()(22222EEEEEED由于在此主要包括偶然误差部分，由于在此主要包括偶然误差部分， ，所以，所以有：有：0)(EdfED)()()(222(1-4-1) 就是中误差：就是中误差： )(2E(1-4-2)u 不同的不同的 将对应着不同形状的分布曲线，将对应着不同形状的分布曲线， 愈愈小，曲线愈为陡峭，小，曲线愈为陡峭， 愈大，则曲线愈为平缓。愈大，则曲线愈为平缓。 的大小可以反映精度的高低，所以常

56、用中误差的大小可以反映精度的高低，所以常用中误差 作作为衡量精度的指标。为衡量精度的指标。u 正态分布曲线具有两个拐点正态分布曲线具有两个拐点 ，它们在横轴上的，它们在横轴上的坐标为坐标为 ， 为随机变量为随机变量 的数学期望。的数学期望。对于偶然误差，由于其数学期望对于偶然误差，由于其数学期望 ，所以拐点，所以拐点在横轴上的坐标为在横轴上的坐标为XxX拐x0)(E拐（1-4-3） 如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，如果在相同的条件下得到了一组独立的观测误差，可由（可由（1-3-1）式，并根据定积分的定义可以写出：）式，并根据定积分的定义可以写出： dfED)()()(222 （1-

57、4-41-4-4）对于离散型：对于离散型： ,lim)()(22nEDnnnlim （1-4-51-4-5）“表达式表达式”是测量平差教材和文献中的一个惯用符号，是测量平差教材和文献中的一个惯用符号，与数学中的与数学中的“ ”读音和意义相同，表示方括号中表读音和意义相同，表示方括号中表达式的所有项求和。例如，达式的所有项求和。例如， 。22221.nu 方差是真误差平方方差是真误差平方 的数学期望，也就是的数学期望，也就是 的理的理论平均值。在分布律为已知的情况下，论平均值。在分布律为已知的情况下， 是一个确是一个确定的常数。定的常数。)(22)(2E或者说，方差或者说，方差 是是 的极限值，

58、它们都是理论上的极限值，它们都是理论上的数值。实际上观测个数总的数值。实际上观测个数总n是有限的，由有限个观是有限的，由有限个观测值的真误差只能得到方差和中误差的估值，方差测值的真误差只能得到方差和中误差的估值，方差 和中误差和中误差 的估值分别用符号的估值分别用符号 和和 表示，即表示，即2n22u 这就是根据一组等精度独立真误差计算方差这就是根据一组等精度独立真误差计算方差和中误差估值的基本公式。在后续的文字叙述中，和中误差估值的基本公式。在后续的文字叙述中，在不需要特别强调在不需要特别强调“估值估值”意义的情况下，也将意义的情况下，也将“中误差的估值中误差的估值”简称为简称为“中误差中误

59、差”。 ,2nn （1-4-61-4-6）或者说，方差或者说，方差 是是 的极限值，它们都是理论上的极限值，它们都是理论上的数值。实际上观测个数总的数值。实际上观测个数总n是有限的，由有限个观是有限的，由有限个观测值的真误差只能得到方差和中误差的估值，方差测值的真误差只能得到方差和中误差的估值，方差 和中误差和中误差 的估值分别用符号的估值分别用符号 和和 表示，即表示，即2n22二、平均误差二、平均误差u 在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望称为平均误差。对值的数学期望称为平均误差。设以设以 表示平均误差，则有：表示平均误差，则有：

60、如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，如果在相同条件下得到了一组独立的观测误差，平均误差为平均误差为dfE)()( nnlim （1-4-71-4-7） 即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算即平均误差是一组独立的偶然误差绝对值的算术平均值之极限值。因为术平均值之极限值。因为00222222222022)(22212)(edededf所以有所以有:,547979. 0245253. 12 （1-4-81-4-8） 上式是平均误差上式是平均误差 与中误差与中误差 的理论关系式。由的理论关系式。由此可见，不同大小的此可见，不同大小的 ，对应着不同的，对应着不同的 ，也就，也就对应着不同的误差