指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

1、指数函数、幂函数、对数函数增长的比较1.当a1时，指数函数y=ax是增函数，并且对于x0，当a越大时，其函数值的增长就越快。xy2xy3指数函数2.当a1时，对数函数y=logax是增函数，并且对于x1，当a越小时，其函数值的增长就越快。对数函数3.当x0，n0时，幂函数y=xn是增函数，并且对于x1，当n越大时，其函数值的增长就越快。yx -3 -2 -1 -3 -2 -1 O O 1 2 3 1 2 3654321y=x2y=x4幂函数xy2xy3对于上述三种增加的函数,它们的函数值的增长快慢有何差别呢?对函数y=2x,y=x100(x0),y=log2x的函数值(取近似值)比较自变量自变

2、量x函数值函数值y=2xy=x100(x0)y=log2x12101.007 004 4 2.009 733 8 2.009 725 8 0.010 071 0101 024101003.321 928 11001.271030102006.643 856 23002.0410905.15102478.228 818 75003.27101507.89102698.965 784 37005.26102103.23102849.451 211 19008.45102702.66102959.813 781 29966.70102996.70102999.961 0001.07103011030

3、09.965 784 31 1001.36103311.381030410.10328781 2001.72103618.281030710.2288187借助计算器完成右表 x 的的 变变化化 区区 间间函数值的变化量函数值的变化量y=2xy=x100(x0)y=log2x(1,10)10231010013.321 928 1(10,100)1.271030102003.321 928 1(100,300)2.0410905.15102471.584 962 5(300,500)3.27101507.89102690.736 965 6(500,700)5.26102103.23102840

4、.485 426 8(700,900)8.45102702.66102950.362 570 1(900,1000)1.0710301103000.152 003 1(1000,1100)1.36103311.38103040.137 503 5(1100,1200)1.72103618.28103070.125 530 9利用上表完成右表4、谈函数y=2x，y=x100(x0)，y=log2x的函数值增长快慢的体会。随着x的值越大y=log2x的函数值增长的越来越慢，y=2x和y=x100的函数值增长的 越来越快，y=log2x增长比y=2x和y=x100要慢的多。对函数y=2x和y=x10

5、0而言，在x比较小时，会存在y=x100比y=2x的增长快的情况，当x比较大时，y=2x比y=x100增长得更快。5、在区间(0,)上,当a1,n0时,当x足够大时,随着x的增大,y=ax的增长速度越来越快,会超过并远远大于y=xn的增长速度,而y=logax的增长速度则越来越慢. 因此,总会存在一个x0， 使得当xx0时，一定有axxnlogax.指数函数值长非常快,因而常称这种现象为”指数爆炸指数爆炸”幂函数幂函数指数函数指数函数对数函数对数函数直线上升直线上升指数爆炸指数爆炸对数增长对数增长假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下:方案一：每天回报40元；

6、方案二：第一天回报10元，以后每天比前 一天多回报10元；方案三：第一天回报0 .4元，以后每天的回报比前一天翻一番请问，你会选择哪种投资方案？令第x天,回报为y元方案一: y=40方案二: y=10 x(xN+)方案三: y=2x0.4(xN+)分析 投资投资5 5天以下选方案一天以下选方案一 投资投资5 58 8天以下选方案二天以下选方案二 投资投资8 8天以上选方案三天以上选方案三某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加但奖金不超过5万元,同时奖金不

7、超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x问：其中哪个模型能符合公司的要求？下面请大家作出这三个函数的图像下面请大家作出这三个函数的图像,看图分析看图分析 对于模型y=0.25x，它在区间10,1000上是递增当x(20,1000)时,y5，因此该模型不符合要求;y=0.25x对于模型由y=1.002x函数图像并利用计算器,可以知道在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0=5,由于它在区间10,1000上递增,因此当xx0时,y5,因此该模型也不符合要求;y=1.002x对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增,而且当x=1000时,y=log71000+14.555,所以它符合y=7x1、0.32，log20.3，20.3这三个数之间大小关系是( )A. 0.3220.3log20.3;B. 0.32log20.320.3;C. log20.320.30.32;D. log20.30.3220.3;D练习2、作图像，试比较函数y=4x,y=x4, y=log4x的增长情况.xyy=4xy=x4y=log4x练习小结小