广州市普通高中毕业班综合测试一理数

1、数学（理科）本试卷共4页，23小题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效3回答第卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷一、选择题：本小题共12题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）复数的共轭复数是（A）（B）（C）（D）（2）若集合，则（A）（B）（C）（D）（3）已知等比数列的

2、各项都为正数, 且成等差数列, 则的值是（A）（B）（C）（D）（4）阅读如图的程序框图. 若输入, 则输出的值为（A）（B）（C）（D）（5）已知双曲线的一条渐近线方程为,分别是双曲线的左，右焦点, 点在双曲线上, 且, 则等于（A）（B）（C）或（D）或（6）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图,且该几何体的体积为, 则该几何体的俯视图可以是（7）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币. 若硬币正面朝上, 则这个人站起来; 若硬币正面朝下, 则这个人继续坐着. 那么, 没有相邻的两个人站起来的概

3、率为（A）（B）（C）（D）（8）已知,分别是椭圆的左, 右焦点, 椭圆上存在点使为钝角, 则椭圆的离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）（9）已知成立, 函数在R上是减函数, 则是的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（10）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马;将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑, 平面, ，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为（A）（B）（C）（D）（11）若直线与函数的图象相交于点，且，则线段与函数的图象所围成的图形面积是（A）（B）（C）（D）（12）已知

4、函数, 则的值为（A）（B）（C）（D）第卷本卷包括必考题和选考题两部分。第1321题为必考题，每个考生都必须作答。第2223题为选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本小题共4题，每小题5分。（13）已知，且，则向量与向量的夹角是. （14）的展开式中各项系数和为，则的系数为.（用数字填写答案）（15）已知函数若, 则实数的取值范围是.（16）设为数列的前项和, 已知, 对任意N, 都有，则N)的最小值为. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分12分）如图, 在中, 点在边上, . () 求; () 若的面积是, 求.（18）（本小题满分12分）近年来，我

5、国电子商务蓬勃发展. 2016年“618”期间，某网购平台的销售业绩高达516亿元人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对该网购平台的商品和服务的评价系统. 从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为，对服务的满意率为，其中对商品和服务都满意的交易为80次. () 根据已知条件完成下面的列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”？对服务满意对服务不满意合计对商品满意80对商品不满意合计200() 若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和服务都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望.附：（其中为样

6、本容量）（19）（本小题满分12分）如图1，在直角梯形中，/，, 点是边的中点, 将沿折起，使平面平面，连接, 得到如图2所示的几何体. () 求证：平面；() 若，二面角的平面角的正切值为，求二面角的余弦值.图1 图2（20）（本小题满分12分）过点作抛物线的两条切线, 切点分别为, . () 证明:为定值;() 记的外接圆的圆心为点, 点是抛物线的焦点, 对任意实数, 试判断以为直径的圆是否恒过点? 并说明理由.（21）（本小题满分12分）已知函数. () 若函数有零点, 求实数的取值范围; () 证明:当，时, .请考生在第2223题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。（22

7、）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线() 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;() 求曲线上的点到直线的距离的最大值.（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲已知函数. () 若，求实数的取值范围;() 若R , 求证：.数学（理科）参考答案评分说明:1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部

8、分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题不给中间分一、选择题（1）B （2）C （3）A （4）B （5）D （6）D（7）C （8）A （9）B （10）C （11）A （12）B二、填空题（13）（14）（15）（16）三、解答题(17) 解:() 在中, 因为,由余弦定理得, 1分所以,整理得, 2分解得. 3分所以. 4分所以是等边三角形. 5分所以6分() 法1: 由于是的外角, 所以. 7分因为的面积是, 所以.8分所以. 9分在中, , 所以. 10分

9、在中, 由正弦定理得, 11分所以.12分法2: 作, 垂足为,因为是边长为的等边三角形, 所以. 7分因为的面积是, 所以. 8分所以. 9分所以.在Rt中, , 10分所以, . 所以11分. 12分（18）解：()列联表：对服务满意对服务不满意合计对商品满意8040120对商品不满意701080合计150502002分3分因为，所以能有99%的把握认为“网购者对商品满意与对服务满意之间有关系”. 4分() 每次购物时，对商品和服务都满意的概率为，且的取值可以是0，1，2，36分. 10分0123的分布列为：11分所以. 12分或者:由于，则. 12分(19) 解：() 因为平面平面，平面

10、平面，又，所以平面. 1分因为平面，所以. 2分又因为折叠前后均有，, 3分所以平面. 4分 () 由（）知平面，所以二面角的平面角为. 5分又平面，平面，所以.依题意. 6分因为，所以. 设，则.依题意，所以，即. 7分解得，故. 8分法1：如图所示，建立空间直角坐标系，则,，所以，.由（）知平面的法向量.9分设平面的法向量由得令，得,所以. 10分所以. 11分由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 12分法2 ：因为平面，过点作/交于，则平面. 因为平面，所以. 9分过点作于，连接，所以平面，因此. 所以二面角的平面角为. 10分由平面几何知识求得，所以. 所以cos=.

11、11分所以二面角的余弦值为. 12分（20）解： () 法1:由,得,所以. 所以直线的斜率为.因为点和在抛物线上, 所以,.所以直线的方程为. 1分因为点在直线上,所以,即. 2分同理,. 3分所以是方程的两个根.所以. 4分又, 5分所以为定值. 6分法2:设过点且与抛物线相切的切线方程为, 1分由消去得,由, 化简得. 2分所以. 3分由,得,所以.所以直线的斜率为,直线的斜率为. 所以, 即. 4分又, 5分所以为定值. 6分() 法1：直线的垂直平分线方程为, 7分由于,所以直线的垂直平分线方程为. 8分同理直线的垂直平分线方程为. 9分由解得, ,所以点. 10分抛物线的焦点为则由

12、于，11分所以所以以为直径的圆恒过点12分另法: 以为直径的圆的方程为11分把点代入上方程,知点的坐标是方程的解.所以以为直径的圆恒过点12分法2：设点的坐标为，则的外接圆方程为，由于点在该圆上，则，.两式相减得, 7分由()知,代入上式得, 8分当时, 得, 假设以为直径的圆恒过点,则即,得, 9分由解得, 10分所以点. 11分当时, 则,点.所以以为直径的圆恒过点12分（21）解:()法1: 函数的定义域为.由, 得. 1分因为,则时,;时,.所以函数在上单调递减, 在上单调递增. 2分当时,. 3分当, 即时, 又, 则函数有零点. 4分所以实数的取值范围为. 5分法2：函数的定义域为

13、.由, 得. 1分令，则.当时, ; 当时, .所以函数在上单调递增, 在上单调递减. 2分故时, 函数取得最大值. 3分因而函数有零点, 则. 4分所以实数的取值范围为. 5分 () 令, 则.当时,;当时,.所以函数在上单调递减, 在上单调递增.当时, . 6分于是,当时, 7分令, 则.当时,;当时,.所以函数在上单调递增, 在上单调递减.当时, . 8分于是, 当时, 9分显然, 不等式、中的等号不能同时成立.故当时, . 10分因为所以.所以. 11分所以, 即. 12分（22）解： () 由消去得, 1分所以直线的普通方程为. 2分由, 3分得. 4分将代入上式,得曲线的直角坐标方程为, 即. 5分 () 法1:设曲线上的点为, 6分则点到直线的距离为7分8分当时, , 9分所以曲线上的