数列通项公式和求和公式总结1

1、一 公式法例1 数列是等差数列,数列是等比数列,数列中对于任何都有分别求出此三个数列的通项公式.二 利用与的关系例2 若数列的前项和为求的通项公式.三 累加法例3 数列中已知,求的通项公式.四 累乘法例4数列中已知,求的通项公式.五 构造法例5 数列中已知,求的通项公式;数列中已知,求的通项公式.数列中已知是数列的前项和,且,求的通项公式一 利用公式例6 等比数列的前项和求的值.二 分组求和例7 求数列的前项和.三 错位相减例8 求和四 裂项相消例9 求和五 倒序相加例10设,求和1. 求数列,的前项和.2 已知，求的前n项和.3. 求数列a,2a2,3a3,4a4,nan,(a为常数)的前n

2、项和。4. 求证：5. 求数列，的前n项和S6. 数列an：，求S2002.7. 求数5，55，555，555 的前n项和Sn8.已知数列 是等差数列，且，求的值.9. 已知数列的通项公式为 求它的前n项的和.10. 在数列中，证明数列是等差数列，并求出Sn的表达式.11. 数列为正数的等比数列，它的前n 项和为80，前2 n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54. 求其首项a1及公比q.12. 已知数列 求.13. 设 为等差数列，Sn 为数列的前n 项和，已知S7 = 7, S15 = 75. 记Tn 为数列的前n 项和，求Tn .14. 求数列的前项和15. 已知：.求.16. 求

3、和.17.，求。18. 设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1，n1，2，3，（）求a1，a2；（）an的通项公式。19. 已知数列：，求的值。20. 求和:21. 求数列的前项和：22. 求数列的前项和。24. 求的值。25. 已知数列的通项公式，求它的前n项和.26. 已知数列的通项公式求它的前n项和.27. 求和：28. 已知数列30. 解答下列问题：（I）设（1）求的反函数（2）若（3）若31. 设函数求和：32. 已知数列的各项为正数，其前n项和，（I）求之间的关系式，并求的通项公式；（II）求证33.已知数列的各项分别为的前n项和.34已知数列满足：的前n

4、项和.35设数列中， 中5的倍数的项依次记为，（I）求的值.（II）用k表示，并说明理由.（III）求和：36数列的前n项和为，且满足（I）求与的关系式，并求的通项公式；（II）求和37将等差数列的所有项依次排列，并如下分组：（），（），（），其中第1组有1项，第2组有2项，第3组有4项，第n组有项，记Tn为第n组中各项的和，已知T3=-48，T4=0，（I）求数列的通项公式； （II）求数列Tn的通项公式；（III）设数列 Tn 的前n项和为Sn，求S8的值.39. （1）设是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列（i）当时，求的数值

5、；（ii）求的所有可能值（2）求证：对于给定的正整数()，存在一个各项及公差均不为零的等差数列，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列40. 某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款10万元，第一年便可获利1万元，以后每年比前一年增加30%的利润；乙方案：每年贷款1万元，第一年可获利1万元，以后每年比前一年增加5千元；两种方案的使用期都是10年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？ （取）答案：1. 设则两式相减得.2. 解：由 由等比数列求和公式得 13. 解：若a=0, 则Sn=0若a=1,则Sn=1+2+3+

6、n= 若a0且a1则Sn=a+2a2+3a3+4a4+ nanaSn= a2+2 a3+3 a4+nan+1(1-a) Sn=a+ a2+ a3+an- nan+1=Sn= 当a=0时，此式也成立。Sn=5. 解：=）Sn= = =6. 解：设S2002由可得（找特殊性质项）S2002（合并求和） 57.n解： 因为555=n所以 Sn=5+55+555+555 = = =解析：根据通项的特点，通项可以拆成两项或三项的常见数列，然后再分别求和。另外：Sn=可以拆成：Sn=（1+2+3+n）+()8. 为等差数列，且1+17=5+13，. 由题设易知 =117.又为与的等差中项，.9. (裂项)

7、 于是有方程组两边相加，即得10. 【证明】.化简，得 Sn-1Sn= 2 Sn Sn-1两边同除以. Sn Sn-1，得 数列是以为首项，2为公差的等差数列.11. 此数列为递增等比数列. 故q 1. 依题设，有÷，得 代入，得 代入，得 代入，得 , 再代入，得a1 =2, 再代入，得 q = 3.12. 令 （裂项）故有 =.13. 设等差数列的公差为d，则 ( I )解得代入（I）得 （II）数列是首项为 2，公差为的等差数列，14. 解： Sn=15. 当为正奇数时，当为正偶数时，综上知，注意按的奇偶性讨论！16.17. 解：因为 所以18. 解：()当n1时，x2a1xa

8、10有一根为S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1当n2时，x2a2xa20有一根为S21a2，于是(a2)2a2(a2)a20，解得a1()由题设(Sn1)2an(Sn1)an0，即Sn22Sn1anSn0当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10由()知S1a1，S2a1a2由可得S3由此猜想Sn，n1，2，3，下面用数学归纳法证明这个结论(i)n1时已知结论成立(ii)假设nk时结论成立，即Sk，当nk1时，由得Sk1，即Sk1，故nk1时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知Sn对所有正整数n都成立于是当n2时，anSnSn1，又n1时，a1，所以a

9、n的通项公式an，n1，2，3，19. 解：（找通项及特征）（设制分组）（裂项）（分组、裂项求和）20. 解:原式=21. 解：设将其每一项拆开再重新组合得当时，当时，22. 解：设将其每一项拆开再重新组合得24. 解：设.将式右边反序得 （反序） 又+得 （反序相加）25.=26.27. 注意：数列的第n项“n·1”不是数列的通项公式，记这个数列为，其通项公式是28.为等比数列，应运用错位求和方法：29.而运用反序求和方法是比较好的想法，+得30. （1）（2）是公差为9的等差数列，（3）31.当n为偶数时=当n为奇数时32. （I），而，得的等差数列，（II）33.（1）（2）当

10、当时，1）当n为奇数时 2）当n为偶数时34当而，得35（I） （II）（III）36（I）（II）37（I）设的公差为d，则，解、得 （II）当时，在前n1组中共有项数为第n组中的 （III）38. 解析：因为，。39. （1）当n=4时,中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d=0。 若删去，则，即化简得，得若删去，则，即化简得，得综上，得或。当n=5时,中同样不可能删去，否则出现连续三项。若删去，则，即化简得，因为，所以不能删去；当n6时，不存在这样的等差数列。事实上，在数列中，由于不能删去首项或末项，若删去，则必有，这与矛盾；同样若删去也有，这与矛盾；若删去中任意一个，则必有，这与矛盾。(或者说：当n6时，无论删去哪一项，剩余的项中必有连续的三项)综上所述，。（2）假设对于某个正整数n，存在一个公差为d的n项等差数列，其中（）为任意三项成等比数列，则，即，化简得 （*）由知，与同时为0或同时不为0当与同时为0时，有与题设矛盾。故与同时不为0，所以由（*）得因为，且x、y、z为整数，所以上式右