2014南通高三期末统考数学试题及答案

1、一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分6785 5 63 40 11. 复数（其中i是虚数单位）的虚部为2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为.开始结束输出SYNn < a3. 函数的值域为4.  分别在集合1，2，3，4和集合5，6，7，8中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为5. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，一条渐近线方程为，则双曲线C的离心率为.6

2、如图是计算的值的一个流程图，则常数a的取值范围是7. 函数y =的图象可由函数y= sin x的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y= sin x的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的现给出下列四个变换：A.图象上所有点向右平移个单位；B.图象上所有点向右平移个单位；C.图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D.图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母：.（只要填写一组）8. 记maxa，b为a和b两数中的较大数设函数和的定义域都是R，则“和都是偶函数”是“函数为偶函数”的条件（在“

3、充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个）9.   在平面直角坐标系xOy中，圆C1：关于直线l：对称的圆C2的方程为10. 给出以下三个关于x的不等式：，若的解集非空，且满足的x至少满足和中的一个，则m的取值范围是11.  设，且，则的值为 12.  设平面向量a，b满足，则a·b的最小值为13.  在平面直角坐标系xOy中，曲线上的点到原点O的最短距离为14. 设函数是定义域为R，周期为2的周期函数，且当时，；已知函数 则函数和的图象在区间内公共点的个数为【填空题答案】1.2.723.4.5.26.7

4、.BD（DA）8.充分不必要 9.10.11.12.513.14. 15二、解答题：本大题共6小题，共90分15设向量a，b，其中（1）若，求的值；（2）设向量c，且a + b = c，求的值【解】（1）因为a，b，所以2分因为，所以a·b= 04分于是，故6分（2）因为a + b，所以8分 由此得，由，得，又，故10分代入，得12分而，所以14分16EADBCFP如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面ABC，E，F分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且求证：（1）平面PBC；（2）平面DEF平面PAC 【证】（1）在PAC中，因为E，F分别是AP，AC的中点，所以EF / P

5、C2分又因为平面PBC，平面PBC，所以平面PBC5分（2）连结CD因为，所以ACD为正三角形因为F是AC的中点，所以7分因为平面PAC 平面ABC，平面ABC，平面PAC 平面ABC，所以平面PAC 11分因为平面DEF，所以平面DEF平面PAC14分17如图，港口A在港口O的正东120海里处，小岛B在港口O的北偏东的方向，且在港口A北偏西的方向上一艘科学考察船从港口O出发，沿北偏东的OD方向以20海里/小时的速度驶离港口O一艘给养快艇从港口A以60海里/小时的速度驶向小岛B，在B岛转运补OAB东北CD给物资后以相同的航速送往科考船已知两船同时出发，补给装船时间

6、为1小时（1）求给养快艇从港口A到小岛B的航行时间；（2）给养快艇驶离港口A后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【解】（1）由题意知，在OAB中，OA=120，于是，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A到小岛B的航行时间为1小时5分（2）由（1）知，给养快艇从港口A驶离2小时后，从小岛B出发与科考船汇合 为使航行的时间最少，快艇从小岛B驶离后必须按直线方向航行，设t小时后恰与科考船在C处相遇7分 在OAB中，可计算得，而在OCB中，9分由余弦定理，得，即，亦即，解得或（舍去）12分故即给养快艇驶离港口A后，最少经过3小时能和科考船相遇？14分18设公差不为零的等差数列的各项均为整数，

7、Sn为其前n项和，且满足（1）求数列的通项公式；（2）试求所有的正整数m，使得为数列中的项【解】（1）因为是等差数列，且，而，于是2分 设的公差为d，则由得， 化简得，即，解得或， 但若，由知不满足“数列的各项均为整数”，故5分 于是7分（2）因为， 10分所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是在中取值，但由于是3的倍数，所以或由得；由得13分当时，；当时，所以所求m的值为3和416分另解：因为 ，所以要使为数列中的项，必须是3的倍数，于是只能取1或（后略）19.  在平面直角坐标系xOy中，设椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短半轴长为2，椭圆C上 

8、;的点到右焦点的距离的最小值为OxyABl（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，且求证：原点O到直线AB的距离为定值；求AB的最小值【解】（1）由题意，可设椭圆C的方程为，焦距为2c，离心率为e于是设椭圆的右焦点为F，椭圆上点P到右准线距离为，则，于是当d最小即P为右顶点时，PF取得最小值，所以3分因为所以椭圆方程为5分（2）设原点到直线的距离为h，则由题设及面积公式知当直线的斜率不存在或斜率为时，或于是7分当直线的斜率存在且不为时，则，解得 同理9分在RtOAB中，则，所以综上，原点到直线的距离为定值11分另解：，所以因为h为定值，于是求的最小值即求的最小值， 令，则

9、，于是， 14分 因为，所以， 当且仅当，即，取得最小值，因而 所以的最小值为16分20设函数，其图象在点处切线的斜率为（1）求函数的单调区间（用只含有的式子表示）；（2）当时，令，设，是函数的两个根，是，的等差中项，求证：（为函数的导函数） 【解】（1）函数的定义域为，则，即 于是2分当时，在上是单调减函数； 当时，令，得（负舍）， 所以在上是单调减函数，在上是单调增函数；当时，若，则恒成立，在上单调减函数； 若，令，得（负舍）， 所以在上单调增函数，在上单调减函数； 综上，若，的单调减区间为，单调增区间为； 若，的单调减区间为； 若，的单调增区间为，单调减区间为8分 （2）因为，

10、所以，即 因为的两零点为，则 相减得：， 因为 ，所以， 于是14分 令， 则，则在上单调递减， 则，又，则命题得证16分ADCBO·21A.如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C若DA = DC，求证：AB = 2 BC【证】连结OD，BD，因为AB是圆O的直径，所以因为DC是圆O的切线，所以因为AD= DC，所以于是ADBCDO，从而AB= CO，即2OB= OB+ BC，得OB= BC故AB = 2 BC10分21B.已知矩阵A的逆矩阵A，求矩阵A的特征值【解】因为AA=E，所以A =(A)因为A，所以A =(A)5分于是矩阵A的特征多项式

11、为f ()= 234，8分令f () = 0，解得A的特征值1 = 1，2 =4 10分21C. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆（为参数）的左焦点，且与直线（t为参数）平行的直线的普通方程【解】椭圆的普通方程：，左焦点3分直线的普通方程：.6分 设过焦点且与直线平行的直线为 将代入， 所求直线的普通方程为10分21D. 已知实数x，y满足：| x + y |，求证：| y |【证】5分 由题设知| x + y |， 从而故| y |10分22从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量是这两点间的距离（1）求概率；（2）求的分布列，并求其数学期望E( )【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有种因为正方体的棱长为1，所以其面对角线长为，正方体每个面上均有两条对角线，所以共有条因此3分（2）随机变量的取值共有1，三种情况正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是5分从而7分所以随机变量的分布列是1P()8分因此 10分23在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：，F为其焦点，点E的坐标为(2，0)，设M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，链接ME，NE并延长分别交抛物线C与点P，Q（1）当MN Ox时，求直线PQ与x轴的交点坐标；（2）当直线MN，PQ的斜率存