2016高考数学离心率专题

1、离心率历年来是圆锥曲线客观题的考查重点，对于求圆锥曲线离心率的问题，通常有两类：一是求椭圆和双曲线的离心率；二是求椭圆和双曲线离心率的取值范围，属于中低档次的题型，对大多数学生来说是没什么难度的。一般来说，求椭圆（或双曲线）的离心率，只需要由条件得到一个关于基本量a，b，c，e的一个方程，就可以从中求出离心率但如果选择方法不恰当，则极可能“小题”大作，误入歧途。许多学生认为用一些所谓的“高级”结论可以使结果马上水落石出，一针见血，其实不然，对于这类题，用最淳朴的定义来解题是最好的，此时无招胜有招！【例1】解法一（大多数学生的解法）解：由于为等腰直角三角形，故有，而，所以，整理得等式两边同时除以

2、，得，即，解得，舍去因此，选D解法二（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有故选D评以上两种方法都是很好的方法，解法一是高手的解法，灵活运用了“通径”这个二级结论，使题目迎刃而解，但计算量偏大，耗时较长；而解法二则是老手，整个过程没有任何高级结论，只运用了最最最简单的、人人皆知的“定义”，通过几个简单的步骤即可。正所谓此时无法胜有法！一、用定义求离心率问题1.设椭圆的两个焦点分别为F1、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）D（A）（B）（C）（D）2已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、

3、B两点，若ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AA B C D中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率4、已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_；解析：设c=1，则5、已知长方形ABCD，AB4，BC3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。解析：由已知C=2，6过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，则椭圆的离心率为BABCDF1、F2是双曲线的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）DABCD（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于

4、轴，则双曲线的离心率为（ ）BABCD9、设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为(A) (B)(C) (D) 解设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中，离心率，选B。10、如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）解析：如图，和分别是双曲线的两个焦点，和是以为圆心，以为半径的圆与该

5、双曲线左支的两个交点，且是等边三角形，连接AF1，AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=c，双曲线的离心率为，选D。11.设圆锥曲线r的两个焦点分别为F1，F2，若曲线r上存在点P满=4:3:2，则曲线r的离心率等于AA. B.或2 C.2 D.二、列方程求离心率问题1方程的两个根可分别作为（）一椭圆和一双曲线的离心率两抛物线的离心率一椭圆和一抛物线的离心率两椭圆的离心率解：方程的两个根分别为2，故选A 2、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（）ABCD解已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，椭圆的离心率，选D。3、设直线L过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴

6、垂直，L与C交于A ,B两点，为C的实轴长的2倍，则C的离心率为B（A） （B） （C）2 （D）34.在平面直角坐标系中，椭圆1(ab0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径的圆，过点(，0)作圆的两切线互相垂直，则离心率e=5已知双曲线的一条渐近线方程为yx，则双曲线的离心率为 （A） (B) (C) (D)解析:双曲线焦点在x轴,由渐近线方程可得,故选A6、在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程为，则它的离心率为（ ）A B C D解析：由，选A7已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为A.2 B. C. D.解：双曲线(a>)的两条

7、渐近线的夹角为，则，a2=6，双曲线的离心率为，选D（a0,b0）的一条渐近线为y=kx(k0),离心率e=,则双曲线方程为（ ）C（A）=1 (B) (C)(D)9设双曲线（a0,b0）的渐近线与抛物线y=x2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )（A） （B）2 （C） （D）解：设切点，则切线的斜率为.由题意有又解得:.【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念,以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念基本方法和基本技能.10、设双曲线的一个焦点为，虚轴的一个端点为,如果直线与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率

8、为（A）（B）（C）（D）轴上，设其方程为：，则一个焦点为一条渐近线斜率为：，直线的斜率为：，11如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率为.【解析】 考查椭圆的基本性质，如顶点、焦点坐标，离心率的计算等。以及直线的方程。直线的方程为：；直线的方程为：。二者联立解得：，则在椭圆上，解得：12已知椭圆C：（a>b>0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k>0）的直线于C相交于A、B两点，若。则k =（A）1 （B） （C） （D）2【解析】B：， ，设，直线AB方程为。代入消去，解得，13已知

9、是椭圆的一个焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交于点，且，则的离心率为答案：【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数”，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析】如图，,作轴于点D1,则由，得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.14过双曲线M:的左顶点A作斜率为1的直线,若与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是 ( )A. B. C. D.解析：过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x1, 若与双曲线

10、的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，双曲线的离心率e=，选A.15过双曲线的右顶点作斜率为的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为若，则双曲线的离心率是 ( )A B C D答案：C 【解析】对于，则直线方程为，直线与两渐近线的交点为B，C，则有，因16.已知双曲线的右焦点为,过且斜率为的直线交于两点，若,则的离心率为 .AB. C. D. 解：设双曲线的右准线为,过分 别作于,于, ,由直线AB的斜率为,知直线AB的倾斜角为,由双曲线的第二定义有.又故选AB2B1F1yxOF2P一般来说，

11、求椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围，通常可以从两个方面来研究：一是考虑几何的大小，例如线段的长度、角的大小等；二是通过设椭圆（或双曲线）点的坐标，利用椭圆（或双曲线）本身的范围，列出不等式离心率是描述圆锥曲线性质的一个关键量，它是一个比值，它与圆锥曲线的大小无关，只与其形状有关在椭圆中，离心率越大，椭圆越扁平，离心率越小，椭圆越圆，椭圆离心率的取值范围e(0，1)；在双曲线中，离心率越大，双曲线的形状从扁狭逐渐变得开阔，即双曲线的“张口”逐渐增大，双曲线离心率的取值范围e(1，)；在抛物线中，离心率e1已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存在一点P，使得F1PF260

12、76;，则椭圆离心率的取值范围是分析：如果我们考虑几何的大小，我们发现当M为椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时F1PF2最大（需要证明），从而有0F1PF2F1 B1F2根据条件可得F1 B1F260°，易得故e1证明，在F1PF2中，由余弦定理得，当且仅当PF1PF2时，等号成立，即当M与椭圆的短轴的顶点B1（或B2）时F1MF2最大如果通过设椭圆上的点P(x，y)，利用椭圆本身的范围，也可以求出离心率e的范围在本题中，运用此法可以做，但比较复杂（关键是点P的坐标不易表示）因此，在解题过程中要注意方法的选择三、离心率范围问题1.已知椭圆1(ab0)的焦点分别为F1，F2，若该椭圆上存

13、在一点P，使得F1PF260°，则椭圆离心率的取值范围是2已知双曲线的左、右焦点分别为，若双曲线上存在一点使，则该双曲线的离心率的取值范围是答案：(1,)、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）CA B C D4、椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是（）解析：椭圆的焦点为，两条准线与轴的交点分别为，若，则，该椭圆离心率e，取值范围是，选D。，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）BABCD6.已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：（ ）BA B C D（a0,b0）的两个焦

14、点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（ ）BA.(1,3)B.C.(3,+)D.8已知双曲线(a>0,b<0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.( 1,2) B. (1,2) C.2,+ D.(2,+)解析：双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率，离心率e2=， e2，选C1上，MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P，并且M为线段PP的中点，求P点的轨迹方程.中点弦28.

15、自椭圆（a>b>0）上任意一点P，作x轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点M的轨迹方程是16.已知（4，2）是直线L被椭圆所截得的线段的中点，则L的方程是A.x-2y=0 B.x+2yx+3y+4=0 D.x+2y-8=019.椭圆ax2+by2=1与直线y=1x交于A、B两点，若过原点与线段AB中点的直线的倾角为30°，则的值为A. B. C. D.特殊性质20.过椭圆的中心的弦为PQ，焦点为F1，F2，则PQF1的最大面积是A. ab B. b c C. c a D. ab c最距离34.直线x-y-m=0与椭圆且只有一个公共点,则m的值是A.10 B.±10 C.± D.定义法求方程1、(北京西城区)已知圆(x2)2y236的圆心为M，设A为圆上任一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A圆 B椭圆 C