绝对值知识点及练习

1、绝对值知识点及练习1、定义：( 1)几何定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记作a, 读作“绝对值 a”。( 2)代数定义： 一个正数的绝对值是它本身； 一个负数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是 0. 实数 a 的绝对值是： |a| a 为正数时， |a|=a( 不变 ) a 为 0 时，|a|=0 a 为负数时，|a|= -a（ 为 a 的绝对值 ）任何数的绝对值都大于或等于 0，因为距离没有负的。2、实数的绝对值具有以下性质：(1) |a| 大于等于 0(实数的绝对值是非负实数 );(2) |-a|=|a|( 互为相反数的两实数绝对值相等 );(3) -|

2、a| 小于等于 a 小于等于 |a|;(4) |a|>b 可以推出 a<-b 或 a>b ， a<-b 或 a>b 可以推出 |a|>b;(5) |a b·|=|a| ·|b|;(6) |a|/|b|=|a/b|(b0);(7) |a+b| 小于等于 |a|+|b| ，当且仅当 a、b 同号时，等式成立 ;(8) |a-b| 大于等于 |a|-|b| ，当且仅当 a、 b 同号时，等式成立 ;(9) a 属于 R 时， |a|的平方等于 |a|的平方。特别提醒：( 1)绝对值具有非负性，即 |a| 0；( 2)绝对值相等的两个数，它们相等

3、或互为相反数；( 3) 0 是绝对值最小的有理数。3、利用绝对值比较大小(1) 利用绝对值比较两个负数的大小 两个负数比较大小，绝对值大的反而小比较的具体步骤： 先求两个负数的绝对值； 比较绝对值的大小； 根据 “两个负数，绝对值大的反而小 ”作出判断(2) 几个有 理数的大小比 较 同号两数， 可以根据它们的绝对值来比较： a. 两个正数， 绝对值大的数较大； b. 两个负数， 绝对值大的反而小 多个有理数的大小比较，需要先将它们按照正数、0、负数分类比较，然后利用各数的绝对值或借助于数轴来进一步比较4、利用绝对值解决实际问题绝对值的产生来源于实际问题的需要， 反过来又可以运用它解决一些实际

4、问题， 主要有以下 两类：(1)判断物体或产品质量的好坏 可以用绝对值判断物体或产品偏离标准的程度，绝对值越小，越接近标准，质量就越好 方法：求每个数的绝对值；比较所求绝对值的大小； 根据 “绝对值越小，越接近标准 ”作出判断(2)利用绝对值求距离1 / 4路程问题中，当出现用 “”、“ ”号表示的带方向的路程，求最后的总路程时，实际上就是求绝对值的和方法：求每个数的绝对值；求所有数的绝对值的和；写出答案5、去绝对值符号的几种常用方法：1)利用定义法去掉绝对值符号根 据实数 含绝对 值的意 义，即| x |= x(x 0) ， 有 | x |< c (c 0) ； xc或 x c(c 0

5、)x 0(c 0)|x |>cx R(c 0)(2)利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化 |x |<c或|x |>c ( c >0)来解，如 |ax b|>c (c >0)可为 ax b>c 或 ax b< c；|ax b |< c可化为 c < ax + b < c ，再由此求出原不等式的解集。 对于含绝对值的双向不等式应化为不等式组求解， 也可利用结论“ a|x|ba xb或 b x a ”来求解，这是种典型的转化与化归的数学思想方法。(3) 利用平方法去掉绝对值符号22 对于两边都含有 “单项” 绝对值的不等

6、式，利用 |x|2= x2可在两边脱去绝对值符号来解， 这 样解题要比按绝对值定义去讨论脱去绝对值符号解题更为简捷， 解题时还要注意不等式两边 变量与参变量的取值范围， 如果没有明确不等式两边均为非负数， 需要进行分类讨论， 只有 不等式两边均为非负数 (式 )时，才可以直接用两边平方去掉绝对值，尤其是解含参数不等式 时更必须注意这一点。(4) 利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法，是指：若数 x1， x2 ， xn分别使含有 |x x1|，|x x2 |， |x xn |的代数式中相应绝对值为零，称x1， x2 ， xn为相应绝对值的零点，零点 x1 ，x2 ， xn将数轴分为 m

7、+1 段，利用绝对值的意义化去绝对值符号， 得到代数式在各段 上的简化式， 从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解， 即令每项等于零， 得到的值作为 讨论的分区点， 然后再分区间讨论绝对值不等式， 最后应求出解集的并集。 零点分段法是解 含绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法， 它可以把求解条理化、思路直观化。(5) 利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合， 利用绝对值的几何意义画出数轴， 将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。 数形结合法较为形象、直观，可以使复杂问题简单化，此解法适用于 |x a| |x b| m 或 |x a|

8、 |x b| m （ m 为 正 常 数 ） 类 型 不 等 式 。 对|ax b| |cx d | m （或< m ），当| a | | c |时一般不用。1、对于形如 a的一类问题只要根据绝对值的 3 个性质，判断出 a 的 3 种情况，便能快速去掉绝对值符号。当 a>0时， a=a （性质 1，正数的绝对值是它本身 ） ；当 a=0 时 a=0 （性质 2，0 的绝对值是 0） ；当 a<0 时； a =a （性质 3，负数的绝对值是它的相反数 ） 。2、对于形如 a+b的一类问题我们只要把 a+b看作是一个整体， 判断出 a+b的 3 种情况， 根据绝对值的 3个性质

9、，便能快 速去掉绝对值符号，正确进行化简。当 a+b>0 时， a+b=a +b（性质 1，正数的绝对值是它本身 ） ；当 a+b=0 时， a+b =0 （性质 2，0 的绝对值是 0） ；当 a+b<0 时， a+b=（a+b）= a-b （性质 3，负数的绝对值是它的相反数 ）3、对于形如 a-b的一类问题同样，按上面的方法，我们仍然把a-b看作一个整体，判断出 a-b 的 3种情况，根据绝对值的 3 个性质，去掉绝对值符号。但在去括号时最容易出现错误。 如何快速去掉绝对值符号， 条件非常简单， 只要你能判断出 a与 b的大小即可。因为大 -小 =小 -大 =大-小，所以当

10、a>b时， a-b =a-b, b-a =a-b.请记住口诀：无论是大减小，还是小减大，去掉绝对值，都是大减小。4、对于数轴型的一类问题，根据 3 的口诀来化简，更快捷有效。如 a-b的一类问题，只要判断出 a 在 b 的右边，便 可得到 a-b =a-b, b-a =a-b。5、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运算万变不离其宗， 还是把绝对值号里的式子看成一个整体， 把它与 0比较，大于 0 直接去绝 对值号，小于 0 的整体前面加负号。练习一、选择1、绝对值为 4 的有理数是（ ）A. ±4 B. 4 C. -4 D. 22、两个数的绝对值相等，那么（） A. 这两个

11、数一定是互为相反数； B.这两个数一定相等；C.这两个数一定是互为相反数或相等； D.这两个数没有一定的关系3、绝对值小于 4 的整数有（ ） A.3 个 B.5 个 C.7 个 D.8 个4、绝对值与相反数都是它的本身（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D. 不存在5、若 m 为有理数，且 那么 m 是（ ） A. 非整数 B. 非负数 C.负数 D.不为零的数6、下列说法中，错误的是（）A、一个数的绝对值一定是正数B、互为相反数的两个数的绝对值相等C、绝对值最小的数是 0D 、绝对值等于它本身的数是非负数7、下列结论中，正确的有（）符号相反且绝对值相等的数互为相反数； 一个数的绝对值越

12、大， 表示它的点在数轴上离 原点越远；两个负数，绝对值大的它本身反而小；正数大于一切负数；在数轴上，右 边的数总大于左边的数 .A、2 个 B、3 个 C、4 个 D、5 个3 / 48、一个数的绝对值是它本身，那么这个数是（）（A ）正数 （ B）正数或零（C ）零（D ）有理数9、如果一个数的绝对值是 5.2 ，那么这个数是（）（A）5.2（B） 5.2（C）5.2 或 5.2（D）以上都不对10 、任何有理数的绝对值都是（）（A）正数（ B ）负数（ C ）有理数（D）正数或零11、在（ 8），|1|，|0|， 0 .0001 这四个有理数中，负数共有（ ）（A ） 4 个 （B）3 个

13、（ C） 2 个（ D） 1 个12 、在数轴上和表示 3 的点的距离等于5 的点所表示的数是（）（A） 8 （B）2（C） 8 和 2（ D ）113、9 与1 3 的绝对值的和是（）（A）22（B） 4（C）4（D） 2214、数 |3 |的相反数是（）（A）3 （B）（C）3（ D）315、设 a是最小的正整数， b是最大的负整数， c是绝对值最小的有理数，则a + b + c 等于 （）A 1 B 0 C 1 D 2二、填空（1 ）正数的绝对值是 ，负 数的绝对值是 ，零的绝对值是 ，绝对值等于 1的有理数是 （2 ）从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数离开原点的 （3）49 是_

14、 _ 的相反数，它是 的绝对值（4） | 5|的相反数是 （5 ）如果一个数的绝对值等于 那么这个数是 （6 ）绝 对值小于 3.14 的所有整数是 （7）-3的绝对值是 ，绝对值是 3的数是 _（8）一个数 a 在数轴上的对应点在原点的左侧，且，则 a =_（9 ）绝对值最小的数是 ；最大的负整数是 （10 ）绝对值小于 3 的所有自然数是 （11）一个有理数的相反数小于原数，这个数是 (12)已知 x y=2，且 y =4，则 x = 。(13)已知 x =2 ， y=3 ，则 x +y = 。（14）已知 x +1 与 y 2互为相反数，则x + y=（15） 式子 x +1 的最小值是 ，这时， x 值为三、拓展提高：1如果 a ， b 互为相反数，