中南大学线性代数试卷

1、考试试卷1闭卷考试时间：100分钟、填空题此题 15分，每题3分1、设A A,A2,A3,A4为四阶方阵，其中Ai i1,2,3,4为A的第i个列向量,2、设A为三阶方阵，A为A的伴随矩阵，且2111 13、设A 3213 t ，且R(A)1t3524、假设n阶方阵A有特征值，那么 f(A)Ak特征值。5、假设一次型f2 x3y22z 2axy2xz那么a0、选择题此题 15分，每题3 分。BA中有一行元素全为零；D必有一行元素为其余行的线性组合。令 B A A2,A2 A3, A3 A4, A4 A，那么 B| A| 3，那么 |(A ) 1 | 2，那么 t 。k 1ak 1 Aa1A a

2、0 E 必有2 22yz经正交变换化为f y1 4y2，1、设A是n阶方阵，那么|A| 0的必要条件是AA中两行列元素对应成比例；C任一行元素为其余行的线性组合；(A) BAB;(B)ABA;(C)ABAB;(D)BABAo3、设向量组11,1,，T,21,2,3T,31,3, t T,当t (时，向量组1 ,2 ,线性相关。(A) 5(B) 4(C) 3(D) 24、设A为43矩阵，1,2, 3是非齐次线性方程组Ax b的3个线性无关的解向量,2、设A是n阶对称阵，B是n阶反对称阵，那么以下矩阵中反对称矩阵是3k1, k2为任意常数,那么非齐次线性方程组Ax b的通解为。(A)32k1 (

3、21)；(B)2 2 3k1 ( 2 1 )；(C)32k1 ( 21) k2(31) ；(D) 22 3k1 ( 21 ) k2 (31 )1105、设方阵A1k0是正定矩阵，那么必有。00k2(A)k 0 ；(B)k1 ；(C)k 2 ；(D) k1。三、此题8分计算行列式a01 000a1x100,其中a0,i0,1,2, ,n 1 oan 20 0X1an 10 00X1 01四、此题12分设AXEA2X，且A0 20，求矩阵X及X1 01其中X 11为X 的伴随矩阵,E为单位矩阵。五、此题14分)设向量组11,0,1 T ,20,1 T,31,3,5 T不能由向量组11,U T,21

4、,2,3 T,33,4, k T线性表示。1 求向量组1,2,3的2求k的值;一个极大无关组;3将向量1用1, 2, 3线性表示。六、此题14分设齐次线性方程组I为X1 X20，齐次线性方程组nx2 x40的通解为ki 0,1,1,0 T k2 1,2,2,1 T。 1 求方程组I的根底解系；2问方程组I和n是否有非零公共解？假设有，那么求出所有非零公共解，假设没有，那么说明理由。01001000设矩阵A001X0011七、此题14 分八、此题8分试证明:1 bbb2 b 1bbn阶矩阵Aa的取大特征值为a 1 n 1b，其中0 b 1。1A的一个特征值为2,求x;2求方阵P，使 AP T A

5、P为对角阵。参考答案、填空题此题15分，每题3分1、0;2、4、f；5、1。二、选择题此题15分，每题3分1、D;2 、B;3 、A；4 、C；5、B.三、此题8分解：从第一行开始，每行乘x后逐次往下一行加，再按最后一行展开得:原式=a0xn 1a1xn 2an2Xan 1。四、此题12分解:AXA2X，得：AE)X A20,(AE可逆，故X由于X五、此题14分)2由于(X1)1XX解：13)， A0,R(A)3线性无关，3是向量组2,3的一个极大无关组;4个3维向量1, 2,3,i(i1,2,3线性相关,113于是1,2，3线性相关，从而I1， 2，3 |124k 50, k 5。13k1

6、0111002(3)令 B (1 ,2 ,3,1 )01310104 ，12 14 23。1 1510011假设1，2，3线性无关，那么i可由1，2，3线性表示，与题设矛盾;六、此题14分解：1 A110 00 1 0 10 0 0；，所以方程组1的根底解系为:1 0,0,1,0T,1,1,0,1(2)设 k1 0,1,1,0 Tk21,2,2,1 T k3 1k4 2，即k1k2k3k40,故上述方程组的解为k(k( 1,1,1,1)T(k七、此题14分解:2 由11,1,1,1T，于是方程组0为任意常数。(1)所有非零公共解为:2代人上式，得令ataA2OA2由 E A2八、此题11X11

7、 1，显然，显然1对应的特征向量为2对应的特征向量为1)2A为实对称阵，而AT Aat A和A2也是实对称阵,0，得A2的特征值(1, 1)T(1,1)T，单位化:单位化:A1是单位阵,0,24，(、2.2、t2 2G，)T，022丄2022,22，那么有APAPPt(AtA)P8分证明：由2aa2ba2ba2a2ba2ba2ba2ba2a2b na2(1 n )a2b 0a2ba2ba2ba2得 A的特征值 i a21 (n 1)b, 23n a2(1 b),20 b 1,a20,1故A的最大特征值是a21 (n 1)b。1 1=(1, 2,3，设 A=T，那么 An =5、设A为n阶方阵，

8、A0, A为A的伴随矩阵，E为n阶单位阵,A有特征值考试试卷2闭卷考试时间：100分钟、填空题此题 15分，每题3分1、假设n阶行列式零元素的个数超过 n n-1 个，那么行列式为2、假设A为4阶矩阵，且A=丄，那么(3A) 1 2A= 。2k1111k113、设 A=，且 R (A) =3，贝U k=11k1111k4、向量，=1,2,3，,那么A2E必有特征值、选择题此题 15分，每题3 分不成立。1、设A，B,C为n阶方阵，E为n阶单位阵，且 ABC=E那么以下各式中A CAB=EBC BCA=ED2、设A,B均为n阶非零矩阵，且A必有一个等于零C 一个小于n, 个等于n3、以下命题中正

9、确的选项是B 1A 1C 1 EC 1A 1B 1 EAB=O那么它们的秩满足。B都小于nD都等于nA在线性相关的向量组中，去掉假设干个向量后所得向量组仍然线性相关 B 在线性无关的向量组中，去掉每个向量的最后假设干分量后仍然线性无关C任何n+k个n维向量k 1必然线性相关k1 1才成立，且m线性无关，那么m线性无关4、设 1(1, 2,1)T，2(1, 1,1)T,那么 3=(时，有1,2,3为R3的基D假设只有k,k2, km全为零时，等式k,(A) (2,1,2)T ( B)(1,0,1)T( C)(0,1,0)T(D)(0,0,1)T、10分计算n阶行列式Dn111111111,并求该

10、行列式展开后的正项总数。112105、设二次型的矩阵为 A112，且此二次型的正惯性指数为3，那么02k(A) k8( B) k7(C) k6(D) k51 0 1四、10 分设 AX E = A2 X ,且 A020 ，求矩阵X及(X 1)，其中1 0 1X 1为X 1的伴随矩阵，E为单位矩阵。五、此题14分设有向量组172530111 _ ， 2“，3小，42140603121求该向量组的秩;2求该向量组的一个最大无关组，并把其余向量分别用求得的最大无关组线性表出。六、此题14分设向量 1, 1,1， 1求3阶方阵A T的特征值与特征向量;2求一正交矩阵 Q,使QtAQ为对角矩阵。1 2a

11、七、此题14分设矩阵A 11、222 2c12b ，21 问a,b,c为何值时A是正交矩阵2 当A是正交矩阵时，求方程组 AX1的解。八、此题8分证明：n维列向量组1，2线性无关的充要条件是其中iT表示向量i的转置，i1,2, ,n 。TTT11121nTTTD21222nTTTn1n2nn参考答案、填空:每题3 分,1、0 ；共计32 .8115 分-3 ；n4、 A 3二、选择:1、D 2每题3 分,、B 3共计、C15 分4、此题10分练习册解:C1DnC1c； CC2C3nP1170 .0 .2 .设Dn展开式中正、负项总数分别为X1,X2,贝y X1x2n! , x1x22n 1，于

12、是正项1总数为 x11 2n 1n! o2四、此题10分解：由 AX E A X，得：(A E)X A2 E ,10, (A E)可逆，故2 01X A E030;102由于X 90,2011、，1 1 1 、，1C30 .。XX冈X-09102解：将矩阵五、(此题14 分)六、(此题14分)111解：A= TE A 2(3)2172511011003301103010101321406001100131031200000000(1)R1,2 ,3 ,43；1,2,3,4化为最简形阶梯形矩阵(2)1, 2, 3为所求的一个最大线性无关组，且41 1(1) A的特征值为 0,0,3 ；由AX=0

13、得对应的0的特征向量为 k 1 l 0 ,k,l0 1为不全为零的任意常数，由(3E A)X 0得对应3的特征向量为c为任意非零常数。1(2)将 101 10正交化，得11 012，再单位化，得111单位化得116： 2为所求正交阵。使20QtAQ03七、此题14分解：1假设a是正交矩阵，那么 a的列向量两两正交，故有2a 2 2 201 2b 2 02a 2 2b 2 2c 0(2)解得a12，b,c0时a是正交矩阵。21 11TX a 1 a 11 1T1111.211 1 2 11 . 2 2 0 11 1 、2 1八、此题8分证：记矩阵a(1，2，n，那么TTTTa11 11 2 -1

14、nTTTTTa22 12 2 -2 na a1 )2 ,nTTTTnn 1n 2-n n由于ataat|a |a2D ，从而得1, 2，n线性无关2A 0 A 0 D 0。考试试卷3闭卷考试时间：100分钟一、填空题(此题 15分，每题3分)2 1 01、设 f (x) x23，矩阵 A，那么 f (A)。432、设A,B为n阶矩阵，如果有n阶可逆矩阵P，使成立，贝U称A与B相似。3、 n元非齐次线性方程组 Am nX b有唯一解的充分必要条件是 。2 2 24、二次型 f (X1, X2,X3) 5X1 5X2 3X3 2X1X2 6X1X3 6X2X3，那么二次型 f 对应的矩阵A。5、设

15、4阶方阵A满足：|A 0, 3E A 0, AAt 2E，(其中E是单位矩阵)，那么A的 伴随矩阵A*必有一个特征值为。二、选择题(此题 15分，每题3分)1、4阶方阵A的伴随矩阵为 A*，且A的行列式|A|3，那么| A* ()。(A) 81(B) 27(C) 12(D) 92、 设A、B都是n阶方阵，且 A与B有相同的特征值，并且 A、B都有n个线性无关的 特征向量，那么()。(A) A 与 B 相似(B)A B(C) A B，但A B 0(D)A与B不一定相似，但 A B3、设n阶方阵A为正定矩阵，下面结论 不正确的选项是()(A) A可逆(B) A 1也是正定矩阵(C)(D) A的所有

16、元素全为正4、假设n阶实方阵A A , E为n阶单位矩阵，那么(A)R(A)R(AE)(B) R(A) R(A E) n(C)R(A)R(AE)D无法比拟R(A)R(AE与n的大小5、设其中C1 , C2, C3 , C4为任意常数,C1C2C3C4那么以下向量组线性相关的为(A)1 ,2,3( B)(C)(D)三、10分计算nn 2阶行列式DDn的主对角线上的元素都为x，其余位置元素都为 a，且x四、10分设3阶矩阵A、B满足关系:1A BA6ABA，且 A 0求矩阵B。五、10分设方阵A满足A2A 2E0 其中E是单位矩阵，求A 1, A2E) 1。六、12分向量组1求向量组A的秩;2求向

17、量组A的一个最大线性无关组，并把不属于该最大无关组的其它向量用该最大无关组线性表出。1 1000七、14分设矩阵A1与矩阵B010相似,1 1002(1 )求(2)求正交矩阵P，使P 1AP B 。八、(14分)设有线性方程组为X1a1x2a1 X3a1X1a2x22a?X33a2X183X22a3 X33a3X184X2234X33a423(1 )证明：假设a1, a2,a3, a4两两不等，那么此方程组无解;(2 )设 a1a3k, a2a4k(k 0),且1, 2是该方程组的两个解，其中(1,1,1)T, 2(1,1,1)T，写出此方程组的通解。参考答案二、填空：(每题3分，共计15分)

18、5132 0 11、； 2、P 1AP B ； 3、R(A) R(A, b) n ； 4、A 1538 63 3345、 一 o3二、选择：(每题3分，共计15 分)1、B 2 、A 3 、D 4 、C 5 、C、(此题10分)(见教材P44习题第5题)解：后面n 1列都加到第1列，得1 a1 XLLaaXX(n 1)a(n 1)aaXLLaaDnx(n 1)aLLLLL LLLX(n 1)aaLX1 aLX1aLa0XaL0n 1X(n1)aLLLLx (n1)a(xa)00Lx a四、此题10 分2 0解：B 6(A 1 E) 160 40 0010010000106 03070010061600020。001五、此题10分见练