1996年数学一真题及答案详解

1、数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设则=_.(2)设一平面经过原点及点且与平面垂直,则此平面方程为_.(3)微分方程的通解为_.(4)函数在点处沿点指向点方向的方向导数为_.(5)设是矩阵,且的秩而则=_.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知为某函数的全微分,则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设具有二阶连续导数,且则(A)是的极大值(B)是的极小值(C)是曲线的拐点(D)不是的极值也不是曲线的拐点(3)设且收敛,常数则级数

2、(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与有关(4)设有连续的导数且当时与是同阶无穷小,则等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式的值等于(A)(B)(C)(D)三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线的全长,其中是常数.(2)设试证数列极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分其中为有向曲面其法向量与轴正向的夹角为锐角.(2)设变换可把方程简化为求常数五、(本题满分7分)求级数的和.六、(本题满分7分)设对任意曲线上点处的切线在轴上的截距等于求的一般表达式.七、（本题满分8分）设在上具有二阶导数,且满足条件其中

3、都是非负常数是内任意一点.证明八、（本题满分6分）设其中是阶单位矩阵是维非零列向量是的转置.证明(1)的充分条件是(2)当时是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型的秩为2,(1)求参数及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂和工厂的产品的次品率分别为1%和2%,现从由和的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属生产的概率是_.(2)设是两个相互独立且均服从正态分布的随机变量,则随机变量的数学期望=_.十一、（本题满分6分）设是两个相互独立且服从同一分布的两

4、个随机变量,已知的分布率为又设(1)写出二维随机变量的分布率:123123(2)求随机变量的数学期望1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)答案详解一、填空题（1）【答】 【详解】因为 于是 （2）【答】 【详解】 原点与点连线的方向向量为 平面的法向量为 根据题意，所求平面的法向量为 故所求平面方程为 即 （3）【答】 【详解】 对应齐次方程的特征方程为 解得特征根为 由于不是特征根，可设原方程的特解为 代入原方程解得故所求通解为 （4）【答】 【详解】因为 沿方向的单位向量为 故沿方向的方向导数为 （5）【答】 【详解】 因为 说明矩阵可逆，故秩秩二、选择题（1）【答】应选（D） 【

5、详解】 为某函数的全微分的充要条件是 即 当且仅当时上式恒成立，故正确选项（D）.（2）【答】应选（B） 【详解】由题设根据极限的性质知，存在的某领域， 在此领域内有 又根据泰勒公式，其中在0与之间， 从而 可见是的极小值，故正确选项为（B）.（3）【答】应选（A） 【详解】由于而所以当充分大时，又正项级收敛，所以其偶数项数列构成的级数也收敛，从而绝对收敛， 故正确选项为（A）.（4）【答】应选（C） 【详解】因为又根据题设与是同阶无穷小，且于是有可见应有，故正确选项为（C）.（5）【答】应选（D） 【详解】 按第一行展开， 故正确选项为（D）.三、（1）【详解】因为利用对称性知， 所求心形线

6、的全长 （2） 【详解】由知，设对某个正整数有则 故由归纳法知，对一切正整数，都有，即数列为单调减少数列。又显然有 即有下界，根据单调有界数列必有极限值，数列的极限存在.记对两边取极限，得，从而 解得故所求极限值为四、（1） 【详解1】用高斯公式，以表示法向量指向轴负向的有向平面为在平面上的投影区域，则 【详解2】用矢量投影法，因为 于是 【详解3】直接投影法，曲面在平面上的投影对应两个曲面：一是其方向指向前侧，因此积分取正号，二是其方向指向后侧，因此积分取负号，再记表示在平面上的投影区域，则 （2）【详解】 将上述结果代入原方程，经整理后得 依题意知应满足 解之得 五、【详解】 令则 因为于

7、是有 令得 六、【详解】 曲线上点处切线方程为 令得截距 由题意有 即 上式对求导，化简得 即 积分得 ， 因此 七、【详解】对在处用泰勒公式展开，得 其中 在式中令则有 在式中令则有 上述两式相减得 于是 又因当时，有 故 八、【详解】（1） 因此 因为 所以 故的充要条件为 （2）方法一： 当时，由有 因为故有非零解，因此说明不可逆. 方法二： 当，由即的每一刻均为的解， 因为说明有非零解，故秩因此不可逆. 方法三： 用反证法，假设，有 于是即. 这与矛盾，故是不可逆矩阵.九、【详解】（1）此二次型对应矩阵 因秩故由此解得容易验证，此时的秩的确为2. 又由 所以特征值为 （2）由特征值可知，表示随球柱面.十、填空题（1）【答】【详解】设事件则 由逆概率