“PA+kPB”最值探究(胡不归+阿氏圆)-胡不归解题步骤

1、PA+kPB型的最值问题-孙洋清【问题背景】“PA+k- PB'型的最值问题是近几年中考考查的热点更是难点。当 k值为1 时，即可转化为“ PA+PB之和最短问题，就可用我们常见的“饮马问题”模型 来处理，即可以转化为轴对称问题来处理。而当k取任意不为1的正数时，若再以常规的轴对称思想来解决问题，贝U无 法进行，因此必须转换思路。此类问题的处理通常以动点P所在图像的不同来分类，一般分为2类研究。 即点P在直线上运动和点P在圆上运动。其中点P在直线上运动的类型称之为 “胡不归”问题；点P在圆周上运动的类型称之为 “阿氏圆”问题。本文将分别从这两类入手与大家共同探究线段最值问题的解决方案。

2、【知识储备】线段最值问题常用原理： 三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 两点间线段最短；连结直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短;【模型初探】“胡不归”问题（一）点 P在直线上运动 如图1-1-1所示，已知sin / MBN=k P为角/ MBN其中一边BM上的一个动 点，点A在射线BM BN的同侧，连接AP,则当“ PA+kPB'的值最小时，P点的 位置如何确定？分析：本题的关键在于如何确定“ k PB'的大小，过点P作PQL BN垂足为Q,贝U k PB=PB sin / MBN=PQ,本题求“PA+kPB'的最小值转化为求“PA+

3、PQ的最小值（如图1-1-2），即A、P、Q三点共线时最小（如图1-1-3 ），本题得解。图 1-1-2图 1-1-3动态展示：见GIF格式！思考：当k值大于1时，“ PA+k- PB'线段求和问题该如何转化呢?提取系数k即可哦！ !【数学故事】从前，有一个小伙子在外地学徒，当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路。由于思乡心切，他只考虑了两点之间线段最短的原 理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A-B （如图所示），而忽视了走折线虽 然路程多但速度快的实际情况，当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小 伙子失声痛哭。邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？

4、 胡不归？何以归”。这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到 家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题”。吃V,、工其中 $u）a- -7"广1【模型初探】（二）点P在圆上运动 f “阿氏圆”问题如图所示2-1-1 ,O O的半径为r,点A、B都在。O外，P为。O上的动点， 已知r=k OB连接PA PB则当“ PA+kPB'的值最小时，P点的位置如何确上截取OC使OC=kr,则可说明厶BPO<A PCO相似，即k PB=PC本题求“ PA+k- PB'的最小值转化为求“ PA+PC的最小值，即A P、C 三点共线时最小

5、（如图2-1-3 ），本题得解。动态展示：见GIF格式！【问题背景】阿氏圆又称阿波罗尼斯圆，已知平面上两点 A、B,则所有满足 PA=kP（k工1）的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”“阿氏圆”一般解题步骤: 第一步：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OR 0B第二步：计算出所连接的这两条线段 OR 0B长度;第三步：计算这两条线段长度的比0P0B _k ；第四步：在0B上取点C,使得0C0ROR ；0B ；第五步：连接AC,与圆0交点即为点P.【模型类比】“胡不归”构造某角正弦值等于小于1系数起点构造所需角（k=

6、sin / CAE过终点作所构角边的垂线利用垂线段最短解决问题葺中Sinu= ' 1图1-2“阿氏圆”构造共边共角型相似构造 PABA CAP推出 PA? =Ab|ac即：半径的平方=原有线段构造线段【典型例题】1. (胡不归问题)如图，四边形ABCD是菱形，AB=4且/ ABC=60 , M为对角线BD (不含B点)上任意一点，则am+2bmB最小值为. 分析：如何将1BM转化为其他线段呢？2即本题k值为2，必须转化为某一角的正弦值啊,即转化为30°角的正弦值。思考到这里，不难发现，只要作 MN垂直于BC则MNBM即AMBM最小转化为 AM+M最小，本题得解。2 2详解：如

7、图，作AN!于BC垂足为N,四边形ABCD是菱形且/ ABC=60，/ DBC=30，1 MN即 sin / DBC=-，2 BM *BM=M，1 1 AMBM=AM+MN卩 AMBM的最小值为 AN.在 RTABN中，AN=AB sin / ABC=5江旋=朋.2側訓的最小值为a 5.变式思考：(1)本题如要求“ 2AM+B”的最小值你会求吗？(2)本题如要求“ AM+BM+CM勺最小值你会求吗？答案：(1) 6 3 (2) 6.3本题也可用“费马点”模型解决哦！ ！-详见：本公众号前文!2. （阿氏圆问题）如图，点A、B在。O上，且0A=0B=,6且0从0B点C是OA的中点，点D在0吐，且

8、0D=4动点P在。0上，则2PC+PD的最小值为.分析：如何将2PC转化为其他线段呢？不难发现本题出现了中点，即2倍关系就出现了。套用“阿氏圆”模型：构造共边共角相似半径的平方=原有线段构造线段详解：连接0P,在射线0A上截取AE=6.即：OP2 =0C 0E OPC° OEP PE =2PC 2PCPD=PE PD,即P、D E三点共线最小.在 RT OED中, DE =：'QD2 OE2 = ：.16 144 =4 10 即2PC PD的最小值为4 ,10.B变式思考：（1）本题如要求“ PC 2pd ”的最小值你会求吗？（2）本题如要求“ PC |pD”的最小值你会求吗

9、?答案：(1) 2.10 (2) 3 10【变式训练】* （胡不归问题）1. 如图，等腰 ABC中, AB=AC=3 BC=2 BC边上的高为AQ点D为射线A0上一点，一动点P从点A出发，沿AD-DC运动，动点P在AD上运动速度3个单位每秒，动点P在CD上运动的速度为1个单位每秒，则当AD=时，运动时间最短为秒.答案：L迈，-V2432. 如图，在菱形 ABCD中, AB=6且/ ABC=150，点P是对角线AC上的一个动点,则PA+PB+P的最小值为.答案：6.2 本题也可用“费马点”模型解决哦！ ！!【中考真题】> （胡不归问题）1. （2016?徐州）如图，在平面直角坐标系中，二次

10、函数 y=ax2+bx+c的图像经过点A（-1，0），B（0，-品）、C（2，0），其中对称轴与x轴交于点D。若P为y轴上的一个动点，连接PD则1 PB + PD的最小值为。22. （ 2014.成都）如图，已知抛物线y=8 3 （x 2）（4）与x轴从左至右依次交于点9A、B，与y轴交于点C,经过点B的直线y Bx，4卫与抛物线的另一个交点为33D（ -5，3.3 ）。设F为线段BD上一点（不含端点），连接AF, 动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标为时，点M在整个运动过程中用时最少？答案：3、3，22.34课

11、外提升：2015日照、2015内江、2016随州多个城市均在压轴题考察了 “胡不归”问题。要好好专研哦！ !【变式训练】> (阿氏圆问题)（胡不归问题变式）只见m核线段和UflKfeCWJjK齐FWSSili耶労* XWFdixKHI 鼻卩醫申讨iftflt陨禅羯*如圧林卜需艸谊齢N損和叫H 解 L A" < 0说Z£M-3CW - Wr jft尹为中点.M* N育期齐輸我 恥 秋卜，1«尸讨i U.V购伺小伯为丄苏足關王鉴老叩、如档弟电邛一蝇笙車稈士¥*岀丁糊所韋.$2A sac JtK龙羸几 Z« - a I a *U ft L

12、 超 上0L m冲一 sc rw - i wjv (fc > 0：i 的 小1S何咗酢軽第丄 w.vZAM b5>.涓吒刖np 二衣 qavp tf霄*Q= * *i劇0%mak ' JkMLl F fl PH . HL H 足为 H-艸 FH i HA 尸V i Uy W.1. (1)【问题提出】：如图1，在Rt ABC中，/ AC490°, C吐4, CA6,1OC半径为2, P为圆上一动点，连结 AP, BP,求AP+ 2 BP的最小值.CH1)(图 R個 3尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2,连接CP在CB上取点 D,使 CD- 1,

13、贝U有 CD =CP =1，又I / PCD-Z BCP/-PCSA BCP, CP CB 2PD 111 PD，二 PD- 1 BP, a AP+ 1 BP= AP+ PD.BP 2'221请你完成余下的思考，并直接写出答案：AF+ - BP的最小值为.2 1(2) .【自主探索】：在“问题提出”的条件不变的情况下，AF+ BP的最小3值为.(3) .【拓展延伸】：已知扇形COD中/ CO- 90o, OC= 6, OA- 3, OB= 5,点P是CD上一点，贝U 2PA+ PB的最小值为.答案：37 , 3 37 , 13.32. 如图，在直角坐标系中，以原点0为圆心作半径为4的圆

14、交X轴正半轴于点A,1点M坐标为（6,3 ），点N坐标为（8,0 ），点P在圆上运动，求PM+- PN的最小值3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC BD为切线，AC=1 BD=2 P为亦上一动点，求乎PC+PD勺最小值为.答案：5, 3 *2.2（2017 甘肃兰州）如图，抛物线y二-x'+bx-c与直线AB交于A .4,.4 , B 0,4 两点，直线人。：丫二_尹_6交y轴与点C ,点E 是直线AB上的动点，过点E作EF丄x轴交AC 于点F，交抛物线于点G . 求抛物线y二_x2+bx + c的表达式；连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边 形时，求点G的坐标； 在y轴

15、上存在一点H，连接EH，HF， 当点E运动到什么位置时，以A,E,F,H为顶点的四边形是矩形？求出此时点 E,H 的坐标；在的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为OE上一动点，求 -AM | CM的最小值.2 答案：（1） y= - x2 - 2x+4; （2） G （- 2, 4）; E （- 2, 0）. H （0，- 1）;乡写在最后:“胡不归”和“阿氏圆”问题都是一类解决最短距离问题，即“PA+kPB'（kM 1的常数）型的最值问题。两类问题所蕴含的都是数学的转化思想，即将 k PB这条线段的长度转化为某条具体线段 PC的长度，进而根据“垂线段最短 或两点之间线段最短”的原理构造