圆锥曲线中的最值问题和定值问题专题

1、平面解析几何是一门研究点的运动变化规律的学科，圆锥曲线中的范围问题或最值问题较为常见，所涉及的知识面也较为广泛，是教师和同学感觉较为棘手一个难点。下面就几个常见的最值问题谈几个常见的解决方法。一、圆锥曲线上的任一点与圆锥曲线对称轴上某一定点的距离的最值问题：求圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题，可借助“点在曲线上”实现变量统一，将横纵坐标两个变量中的一个用另一个表示，构造关于其中一个坐标的二次函数求最值。例1、（06全国高考题）设是椭圆短轴的一个端点，为椭圆上的一个动点，求的最大值。解：由题意，点坐标为。设，则，（图一）因为是椭圆上的点，所以，则有，且，所以令因为，所以，则若，即，则当

2、时，；若，即，则当时，；若，即，则当时，。综上：略。说明：在圆锥曲线上任一点到某一定点的距离的最值问题中，所给定点一般都是圆锥曲线的对称轴上的点，否则变量统一往往比较困难。例2、（03上海理12）给出问题：是双曲线的焦点，点P在双曲线上。若点P到焦点的距离等于9，求点P到焦点的距离。某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8，由，即，得或17。该学生的解答是否正确？若正确，请写出他的解题依据；若不正确，请写出正确结果。分析：利用例1的方法易证，双曲线上到其一焦点的距离最近的点是与这个焦点对应的一支的顶点，即。所以本例中，故符合题意。二、与圆锥曲线的定义所涉及的一些特殊点有关的最值问题：求圆锥曲线上任

3、一点与一个或几个定点的距离的最值问题中，如果所给定点与圆锥曲线定义有关，不妨利用定义中所蕴藏的内在关系解决问题。例3、（06江西高考题）为双曲线右支上一点，分别是圆和的点，则的最大值是。解：如图三，两定圆的圆心、即双曲线的左右焦点，由双曲线定义可知。又，所以。MPNF1F2xyF1AM/M/Bxy （ 图二 ） （图三）例4、已知是椭圆内的点，是椭圆上的动点，求的最大值与最小值。解：由题意，点即椭圆右焦点（如图三），设椭圆左焦点，则，由椭圆定义可知，则，显然，当、三点共线时，所以，。说明：三角形中“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，“两点之间线段最短”等平面几何中的一些重要结论是平面解

4、析几何中求解最值问题的一些理论依据，问题在于如何将所要解决的最值问题转化成这些广为人知的数学模型。三、圆锥曲线上的任意点到某一定直线的距离的最值问题：求圆锥曲线上任一点到某一定直线的距离的最值，借助“点在曲线上”实现变量统一往往比较困难，这时可借助“切线平移法”实现变量统一或“三角代换”求最值。例5、（06全国高考题）求抛物线上的点到直线距离的最小值。解法一：设抛物线上任一点坐标为，则点到直线的距离为，下面同例1解法易得。解法二：（切线平移法）设与直线平行的直线的方程为：，则直线平移到与抛物线相切时的切点即抛物线上到直线最近的点，直线与的距离即所求最小距离。由，则由。则抛物线上的点到直线距离的

5、最小值为。说明：在求椭圆或双曲线一支上的一点到一条定直线的距离的最值问题中，“变量统一”很难做到，在这种情况下，“切线平移法”就显得较为方便。例6、求椭圆上的点到直线距离的最小值。解法一：（切线平移法）设与直线平行的直线的方程为：，由，则由， 则，则。解法二：（三角代换法）设为椭圆上任一点，因为，所以可设，则点到直线距离为，则。说明：与圆、椭圆或双曲线有关的最值问题中，利用三角比中的平方关系实现变量统一也是平面解析几何中一种较为常见的方法。通过前面几种常见最值问题的赘述可以看到，解析几何中的最值问题和以前所学过的知识是存在着一种紧密的内在联系的，只要我们能够深刻理解圆锥曲线的定义及方程所揭示的

6、内涵，灵活运用数形结合的数学思想，就可以将问题转化为我们所熟悉的一些数学模型，将问题解决。练习：1、（2009重庆卷文）（本小题满分12分，（）问5分，（）问7分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；解：（）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为；（）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M

7、在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为；圆锥曲线中的恒成立问题yOxPF2F1AB结论一、以椭圆上的点P与椭圆的焦点连线PF为直径的圆必与圆内切xF1PyF2O类比：上的点P与双曲线的焦点连线PF为直径的圆必与圆相切OxFyBA的弦AB过焦点F，则以线段AB为直径的圆比与准线相切。以线段AF为直径的圆必与y轴相切yOxPF2F1AB结论二、过椭圆上的点P与椭圆的长轴（或短轴）两个顶点连线PA、PB，则直线AB的斜率之积恒等于OxAPyB类比：yOxPF2F1ABM过双曲线上的点P与实轴（或虚轴）两个顶点连线两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于结论三、椭圆上的点P与椭圆

8、的两个焦点连线PF1、PF2，过焦点作三角形PF1F2的外角平分线的垂线，垂足为M，则M恒在圆上OxF1PyF2M类比：双曲线上的点P与双曲线的两个焦点连线PF1、PF2，过焦点作三角形PF1F2的角F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M恒在圆上yOxPF2F1ABM结论四、椭圆上的点P与椭圆的两个焦点连线PF1、PF2，三角形PF1F2的旁切圆（与PF2边相切，与PF1和F1F2的延长线相切）必与长轴相切于椭圆的顶点OxF1PyF2M类比：双曲线上的点P与双曲线的两个焦点连线PF1、PF2，三角形PF1F2的内切圆必与实轴相切于双曲线的顶点OxPF2F1yMNAOxPyNMA结论五、已知为椭

9、圆的左顶点，过作两条相互垂直的弦，则直线过定点类比：OxPFyNM1.已知为双曲线的右顶点A，过作两条相互垂直的弦，则直线过定点2.已知为抛物线的弦，若，则直线过定点OxPF2F1yQ结论六、已知为椭圆的弦，若，则原点到弦的距离为定值OxF2F1yNM类比：已知为双曲线的弦，若，则原点到弦的距离为定值yOxPF2F1d1d2结论七、过椭圆上点P作椭圆的切线，椭圆的两焦点到切线的距离之和为定值类比：OxMF2F1yN过双曲线上点P作椭圆的切线，椭圆的两焦点到切线的距离之和为定值OxAF2F1yBB1POxMF2F1yNN1Q结论八、过椭圆左焦点作椭圆的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线在x轴上截

10、距为定值类比：1过双曲线右焦点作椭圆的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线在x轴上截距为定值FPOyxNMN12过作抛物线焦点作抛物线的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线在x轴上截距为定值OxAQyBB1P结论九、是椭圆的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线与直线在x轴上截距之积为定值OxMPyNN1Q类比：1是双曲线的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线与直线在x轴上截距之积为定值QPOyxNMN12.是抛物线的弦，端点关于x轴的对称点为，则直线与直线在x轴上截距互为相反数OxAPyBOxPF2F1yAB结论十、过椭圆上的点P作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于类比：上的点P作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于OxPFyBA上的点P作两条倾斜角互补的弦PA、PB，则直线AB的斜率恒等于OxAFyBOxF2F1yAB结论十一、弦AB过椭圆的焦点F，则恒成立类比：OxFyBAAB过双曲线的焦点F交双曲线右支于A、B，则恒成立AB过抛物线的焦点F，则恒成立OxPF2F1y结论十二、过点P作椭圆的切线，若两条切线相互垂直，则点在定圆上OxPF2F1y类比：的切线，若两条切线