阶段质量检测(一)导数和应用

1、阶段质量检测（一）导数及其应用( 时间：120 分钟满分： 150分 )一、选择题 ( 本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若 f ( x) sin cos x，则 f (x) 等于 ()A sin xB cosxC cos sin xD 2sin cosx解析：选 A函数是关于 x 的函数，因此 sin 是一个常数2以正弦曲线 y sinx 上一点 P 为切点的切线为直线l ，则直线 l 的倾斜角的围是()3A. 0，4 4 ，B 0 ，) 33C.4，4D.0，4 2，4解析：选 Ay cosx， cos 1,1，切线的斜率围

2、是 1,1 ，倾斜角x3的围是 0，4 4 ， .3函数 f ( x) 的定义域为开区间 ( a，b) ，导函数f (x) 在 ( a，b) 的图象如图所示，则函数 f ( x) 在开区间 ( a， b) 有极小值点 ()A1 个C3 个B2个D4个解析：选A设极值点依次为x1， x2， x3 且a x1x2 x3 b，则f ( x) 在 ( a， x1) ， ( x2，x3) 上递增，在( x1， x2) ，( x3， b) 上递减，因此，x1， x3 是极大值点，只有x2 是极小值点4函数 f ( x) x2 lnx 的单调递减区间是()A. 0，22B. 2，2C.，2，0，222D.2

3、， 0，0，2 2212x2 12解析：选 A f (x) 2xxx，当 0 x2时， f (x) 0，故 f ( x) 的单调递减区间为20，.25函数 f ( x) 3x 4x3( x 0,1)的最大值是 ()1A 1B. 2C 0D 1解析：选Af (x) 3 12x2，令 f (x) 0，11则 x 2 ( 舍去 ) 或 x2， f (0) 0， f (1) 1，131f 2 2 2 1， f ( x) 在0,1上的最大值为 1.6函数 f ( x) x3 ax2 3x 9，已知 f ( x) 在 x 3 处取得极值，则a ()A 2B 3C 4D 5解析：选D f (x) 3x2 2

4、ax 3， f ( 3) 0. 3×( 3) 2 2a×( 3) 3 0， a 5.13127函数 f ( x) 3ax 2ax 2ax 1的图象经过四个象限，则实数a 的取值围是 ()36A. ，1078 3B. 5， 168 1C. 3， 163 6D. ， 10 7，解析：选 Df (x) ax2 ax 2a a( x2)( x 1) ，要使函数 f ( x) 的图象经过四个象限，则 f ( 2) f (1)<0 ，即107a 1 a1 <0，解得36<36或> .a10a 7故选 D.8. 已知函数f ( x) 的导函数f (x) a( x

5、b) 2 c 的图象如图所示，则函数f ( x) 的图象可能是()解析：选 D由导函数图象可知，当x<0 时，函数 f ( x) 递减，排除A、 B；当 0<x<x1 时，( )>0 ，函数f(x) 递增因此，当x0 时，f(x) 取得极小值，故选D.fx9定义域为 R 的函数f(x) 满足f(1) 1，且f() 的导函数()>1，则满足 2 (x)<xxfx2f1 的 x 的集合为 ()A x| 1<x<1B x| x<1C x| x<1 或 x>1D x| x>11解析：选B令 g( x) 2f ( x) x 1， f

6、 (x)> 2， g(x) 2f (x) 1>0， g( x) 为单调增函数， f (1) 1， g(1) 2f (1) 1 1 0，当 x<1 时，g( x)<0 ，即 2f ( x)< x 1，故选 B.10某产品的销售收入y1( 万元 ) 是产量 x( 千台 ) 的函数： y1 17x2，生产成本y2( 万元 )是产量x( 千台 ) 的函数：y2 2x3x2( x 0) ，为使利润最大，应生产()A6 千台B7千台C8 千台D9千台解析：选 A232232设利润为 y，则 y y1 y217x (2x x ) 18x 2x ，y 36x 6x ，令 y 0

7、得 x 6或 x0( 舍 ) ， f ( x) 在(0,6) 上是增函数，在 (6 ， ) 上是减函数，x6 时 y 取得最大值11已知定义在 R 上的函数 f ( x) ， f ( x) x· f (x) 0，若 a b，则一定有 ()A af ( a) bf ( b)B af ( b) bf ( a)C af ( a) bf ( b)D af ( b) bf ( a)解析：选 C x· f ( x) x f ( x) x· f (x) f ( x) x· f (x) 0，函数 x·f ( x) 是 R 上的减函数， a b， af ( a)

8、 bf ( b) 12若函数 f ( x) sinx，且 0<x1<x2<1，设 a sin x1，b sin x，则 a， b 的大小关xxx221系是 ()A a>bB a<bCbD ，b的大小不能确定aa解析：选 Afxcos x sinx) xcosx sinx，则 ()xsinx()2，令 (xxg xg x cos x cos x xsin x. 0<x<1， g(x)<0 ，即函数 g( x) 在(0,1) 上是减函数， 得 g( x)< g(0) 0，故 f (x)<0 ，函数 f ( x) 在 (0,1) 上是减函数

9、，得 a>b，故选 A.二、填空题 ( 本大题共4 小题，每小题 5分，满分20 分把答案填在题中的横线上 )13若f( ) 1 3(1)x2 5，则f(1) _.x3xfx2 2f (1)2解析： f (x) xx 1，令 x 1，得 f (1) .32答案： 314设 a 0，若曲线 yx与直线 x a， y 0所围成封闭图形的面积为a2，则 a_.a2 3a2 34解析：d2，0aa .S0x x3x2 3a294答案： 915已知函数 f ( x) 满足 f ( x) f ( x) ，且当 x ，时， f ( x) x sinx，22设 a f (1) ， bf (2) ， c

10、f (3) ，则 a， b， c 的大小关系是 _ 解析： f (2) f ( 2) ，f (3) f ( 3) ，因为 f (x) 1 cos x0，故 f ( x) 在 2 ， 2 上是增函数，> 2>1> 3>0， f ( 2)> f (1)> f ( 3) ，即 c<a<b.答案： c<a<b4x16若函数 f ( x) x2 1在区间 ( m,2m 1) 上单调递增，则实数 m的取值围是 _ 解析： f (x) 4 4x22，令 f (x) 0，得 1 x 1，x2 1即函数 f ( x) 的增区间为 ( 1,1) 又 f

11、( x) 在 ( m,2m 1) 上单调递增，m 1，2 1，解得 1 0.所以 m mm2m11.答案： ( 1,0三、解答题 ( 本大题共6 小题，共70 分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )17 ( 本小题满分12 分 ) 若函数y f ( x) 在 x x0 处取得极大值或极小值，则称x0 为函数 y f ( x) 的极值点 已知 a，b 是实数， 1 和 1 是函数 f ( x) x3 ax2 bx 的两个极值点(1) 求 a 和 b 的值；(2) 设函数 g( x) 的导函数 g(x) f ( x) 2，求 g( x) 的极值点解： (1) 由题设知f (x) 3x

12、2 2ax b，且 f ( 1) 3 2a b 0， f (1) 3 2a b 0，解得 a 0，b 3.(2) 由 (1) 知 f ( x) x3 3x.因为 f ( x) 2 ( x 1) 2( x 2) ，所以 g(x) 0 的根为 x1 x2 1， x3 2，于是函数g( x) 的极值点只可能是1 或 2.当 x 2 时， g(x) 0；当 2 x 1 时，g(x) 0，故 2 是 g( x) 的极值点当 2 x1 或 x 1 时， g(x) 0，故 1 不是 g( x) 的极值点所以 g( x) 的极值点为 2.a x bx，曲线 y f ( x) 在点 (2 ，f (2)18. (

13、 本小题满分 12 分 )( 北京高考 ) 设函数 f ( x) xe处的切线方程为y (e 1) 4.x(1) 求 a， b 的值；(2) 求 f ( x) 的单调区间解： (1) 因为 f ( x) xea x bx，所以 f (x) (1 x)e a x b.f 2 2e 2，2ea2 2b 2e2，依题设有f 2 e 1，即a 2 e b e1.a 2，解得be.(2) 由 (1)知 f ( x) xe2x ex.由 f (x) e2 x(1 x ex 1) 及 e2 x>0 知， f (x) 与 1 x ex1 同号令 g( x) 1 x ex1 ，则 g(x) 1 ex 1.

14、所以当 x( ， 1) 时， g(x)<0 ，g( x) 在区间 ( ， 1) 上单调递减；当 x (1 ， ) 时， g(x)>0 ，g( x) 在区间 (1 ， ) 上单调递增故 g(1) 1 是 g( x) 在区间 ( ， ) 上的最小值，从而 g( x)>0 ， x ( ， ) 综上可知， f (x)>0 ， x( ， ) ，故 f ( x) 的单调递增区间为 ( ， ) 19 ( 本小题满分12 分 ) 某个体户计划经销A，B 两种商品，据调查统计，当投资额为x( x0) 万元时， 在经销 A，B 商品中所获得的收益分别为f ( x) 万元与g( x) 万元，

15、 其中f ( x) a( x 1) 2，g( x) 6ln( xb)( a 0， b0) 已知投资额为零时收益为零(1) 求 a， b 的值；(2) 如果该个体户准备投入 5 万元经销这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大利润解： (1) 由投资额为零时收益为零，可知 f (0) a 2 0， g(0) 6lnb 0，解得 a 2，b 1.(2) 由 (1) 可得 f ( x) 2x， g( x) 6ln( x 1) 设投入经销 B 商品的资金为 x 万元 (0 x5) ，则投入经销 A 商品的资金为 (5 x) 万元，设所获得的收益为S( x) 万元，则 S( x) 2(5

16、 x) 6ln( x1) 6ln( x1) 2x 10(0 x5) 6S(x) x 1 2，令 S(x) 0，得 x2.当 0 x 2 时， S(x) 0，函数 S( x) 单调递增；当 2 x5时， S(x) 0，函数 S( x) 单调递减所以当 x2 时，函数 S( x) 取得最大值，S( x) max S(2) 6ln 3 612.6万元所以，当投入经销A商品 3 万元， B商品2 万元时，他可获得最大收益，收益的最大值约为12.6 万元20 ( 本小题满分12 分 ) 已知函数f ( x) ax2 2ln(1 x)(a 为常数) (1) 若 f ( x) 在 x 1 处有极值，求 a

17、的值并判断 x 1 是极大值点还是极小值点；(2) 若 f ( x) 在 3， 2 上是增函数，求a 的取值围2解： (1) f (x) 2ax 1x， x ( ， 1) ，f ( 1) 2a 1 0，1所以a 2.2x 1x 2f (x) x 1 x1 x. x<1， 1 x>0， x 2<0，因此，当 x< 1 时 f (x)>0 ，当 1<x<1 时 f (x)<0 ， x 1 是 f ( x) 的极大值点(2) 由题意 f (x) 0在 x 3， 2 上恒成立，2即 2ax 1x0在 x 3， 2 上恒成立1 a x2 x在 x 3， 2

18、 上恒成立， x2 x x1 21 12， 6 ，24111 x2 x ，6121min 112，a . x x66即 a 的取值围为1， 6 .21 ( 本小题满分12 分 ) 已知函数f( ) x2 lnx，() x2.xmh xxa(1)当 a 0时， f ( x) h( x) 在 (1 ， ) 上恒成立，求实数m的取值围；(2)当 m 2时，若函数 k( x) f ( x) h( x) 在区间 (1,3)上恰有两个不同零点，求实数a的取值围解： (1) 由 f ( x) h( x) ，x得 m lnx在 (1 ， ) 上恒成立令(x) x，则( ) lnx 1 2，glnxg xxln

19、当 x (1 ，e) 时， g(x) 0；当 x (e ， ) 时， g(x) 0，所以 g( x) 在(1 ， e) 上递减，在 (e ， ) 上递增故当 x e 时， g( x) 的最小值为g(e) e.所以 me. 即 m的取值围是 ( ， e (2) 由已知可得 k( x) x 2ln x a.函数 k( x) 在(1,3)上恰有两个不同零点，相当于函数( x) x 2lnx 与直线 y a 有两个不同的交点2 x 2(x) 1 x x ，当 x (1,2) 时， (x) 0， ( x) 递减，当 x (2,3) 时， (x) 0， ( x) 递增又 (1) 1， (2) 2 2ln

20、2 ， (3) 3 2ln 3 ，要使直线 y a 与函数 ( x) x 2ln x 有两个交点，则 2 2ln 2 a 3 2ln 3.即实数a 的取值围是(2 2ln 2,3 2ln 3)22 ( 本小题满分12 分 ) 已知函数f ( x) ( x 2)e x a( x 1) 2 有两个零点(1) 求 a 的取值围；(2) 设 x1， x2 是 f ( x) 的两个零点，证明： x1 x2<2.解： (1) f (x) ( x 1)e x 2a( x 1) ( x1)(e x 2a) 设 a 0，则 f ( x) ( x2)e x， f ( x) 只有一个零点设 a>0，则当 x ( ， 1) 时， f (x)<0 ；当 x (1 ， ) 时， f (x)>0 ，所以 f ( x) 在( ， 1) 单调递减，在 (1 ， ) 单调递增又 f (1) e， f (2) a，取 b 满足 b<0 且 b<lna2，a223则 f ( b)> 2( b 2) a( b 1) a b 2b >0，故 f ( x) 存在两个零点设 a<0，由 f (x) 0 得 x 1 或