全国高中数学联赛辽宁赛区初赛试题

1、（7月6日8:30至11:00）一选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知，则符合上述条件的共有（ ）组A100 B140 C180 D2002已知集合，并且集合，则与的面积比为（ ）A B C D3已知的三边，成等比数列，的对角依次为，则的取值范围是（ ）A B C D4的三个内角为，若，则的最大值为（ ）A B C D5正项数列满足，单调递增且成等比数列，为的前项和，则的值是（其中表示不超过实数的最大整数）（ ）A5368 B5367 C5363 D53626设直线与球有且只有一个公共点，从直线出发的两个半平面、截球的两个截面圆的半径分别为和，二面角的平面角为，则球的半径为（ ）A B

2、C D二填空题（本题满分30分，每小题5分）7若非零复数满足，则8不等式的解集为9甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数的期望为10如图所示，在中，则过点，以，为两焦点的双曲线的离心率为11设是由任意100个互不相同的正整数组成的集合，令且，表示集合中元素的个数，则的最大值与最小值之和为12抛物线的参数，满足，则当，变动时，抛物线的顶点的轨迹方程为三解答题（本题共4道小题，满分90分）13（本小题满分20分）函数的定义域为，已知时，并且对任意，

3、都有（1）讨论函数的奇偶性以及单调性；（2）设集合，且，若且，试求实数的取值范围14（本小题满分20分）如图，锐角外心为，直线和分别与边，交于点，直线交外接圆于点，若，证明：是等腰三角形锐角三角形15（本小题满分25分）已知数列中，对于任意的，有（1）求数列的通项公式；（2）数列满足，求数列的通项公式；（3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由16（本小题满分25分）已知抛物线，直线与抛物线相交于，两点，连结及抛物线顶点的直线交准线于，连结及的直线交准线于，并且与都平行于轴（1）证明：直线过定点；（2）求四边形的面积的最小值2013年全国高中数学联赛辽

4、宁省初赛试题及参考答案及评分标准说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一选择题（本题满分30分，每小题5分）1已知集合当时，实数的取值范围是（ ）(A) . (B). 或(C). (D)或1.(B). 2过原点的直线l交双曲线于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）(A) . (B). (C).

5、(D)42.(D)3设均为非零复数，令，若，则的值为（ ）(A) . 1(B). (C). (D)3.(C). 4设是上的单调函数，且对任意，都有若是方程的一个解，且，则的值为（ ）(A) . 1(B). 2 (C).3 (D)44.(B)5内直径为，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是（ ）(A) . 30(B). 33 (C).36 (D)395.(C) 6已知实数满足则的最大值是（ ）(A) . 7(B). (C). (D)36.(A) . 二填空题（本题满分30分，每小题5分）7若，则的最大值是7.8长方体中，则异面直线与的距离为8.9椭圆的离心率为，斜率为1且过点

6、的直线与椭圆交于A、B两点设O为坐标原点，若，则该椭圆的方程是9.10将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有种10.11已知函数设方程在区间内所有实根的和为，则数列的前项和=11.12数列中，则此数列的通项公式=12.三解答题13设关于的方程有两个实根，函数.（1）求的值；（2）判断在区间的单调性，并加以证明；（3）若均为正实数，证明：.13.解: ()是方程的两个根， ， ，同理可得， （5分）（），当时，在上单调递增 （10分）（），由（）可知，同理， ， （15分）由（）可知， （20分）14.已知数列满足为实数）（1）若恒成立，求的取值范围；（2）若

7、=-2，求证：14. 解:()当时，由得，即时，.（5分）下面证明当时，.当时，成立；设当时，成立；则当时，故对所有，成立.当时，成立， 故对所有，成立.综上，的取值范围是. （10分）（）当时，（），（）， （15分）.（20分）15如图，锐角ABC内存在点P满足PD|AE且PAB=EAC，证明: PBA=PCA.15.证明:如图,作平行四边形和平行四边形，则，又，故， （5分），所以，又，则、三点共线. （10分）因此，,故、四点共圆，又由于,故，（20分）故. （25分）16.设点P为圆上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q.点满足.（1）求点M的轨迹的方程；（2）过直线上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线C2交于两点C、D，求的取值范围.16.解：()设点，由，得，由于点在上，所以，即的轨迹方程为. （5分）