专插本高等数学例题和习题ch2导数计算及应用

1、本章主要知识点l 导数定义l 复合函数求导,高阶导数,微分l 隐函数,参数方程求导l 导数应用一、导数定义函数在处导数定义为左导数右导数导数存在有限且分段点求导必须应用定义。两个重要变形：1. 2. 若存在，例2.1. 若，求解：例2.2. 若求解：例2.3求解：所以不存在. 例2.4，求解：所以不存在。例2.5求。解：不存在所以不存在例2.6如果，分析函数在x=0处的连续性。解：所以 f(x)在x=0处不连续。二、复合函数求导、高阶导数、微分1复合函数中的层次关系识别正确识别复合函数构建的层次是快速准确求导复合函数的关键。下列通过几个例子来说明复合函数层次识别问题。例2.7由外及里分为四层：

2、例2.8分为一层：例2.9分为三层：立方例2.10分为四层：化分清层次的同时，要注意每一层符号下的变量是什么，不可混淆。2、复合函数的求导原则我们将求导的所谓“链式规则”等价转化为求导“口诀”：“外及里；号变号；则用则；层间乘”。例2.11，求，解：例2.12，求；解：例2.13，求；解：例2.14，求解：分段函数求导时，要切记对于分段点的导数要用定义。例2.15，求解：，综合得，。例2.16. ，求解：，所以不存在。例2.17. 已知，（1）求；（2）研究在处的连续性。解：（1），。（2），不存在，故在处不连续，且为II类间断。3. 高阶导数与微分（1）高阶导数，几个常用公式（1）（2）（3

3、）（4）（5）莱伯尼兹公式 例2.18. ，求解：例2.19. ，求解：例2.20，求解：例2.21，求解：例2.22，求解：例2.23，求解：（2）一阶微分定义：对于函数，如果存在常数，使得：则称在处可微。成立：在可导可微，且。可作为微分求解公式。例2.24，求解：。例2.25，求。解：，例2.26，求解：，故，所以。例2.27利用微分近似计算。解：令，则=。4、求导中若干特别问题（1）奇偶函数导数结论：奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数。例f（x）为奇函数，。例2.29 f(x)为可导函数，则的导数为（偶函数）。（2）（3），在xa导数最大阶数等于m+n-1.例2.30导数最大阶数为（1阶）

4、。（4）例2.31求解： （5）符号型求导例. ,求。解：三、隐函数、参数方法求导1隐函数求导由方程确定的函数，隐函数求导可看成复合函数求导的特例。例2.33由确定隐函数，求。解：方程两边对求导得例2.34由方程确定隐函数, 求.解：方程两边对求导，得：（*）=，（*）式再对求导，得：例2.35已知由方程确定，求.解：将代入，得到。方程两端对求导，得，。2参数方程求导问题：,求,.求导公式：=，=.例2.36已知求,.解：=，=.例2.37已知，求，并给出时的切线法线方程.解: =,=，斜率=，切线方程为。法线斜率，法线方程为：例2.38已知由确定，求。解：将方程中分别看成为的函数，分别对求导

5、得解得：=，=所以=。四、导数应用（a）斜率和几何应用（b）洛必达法则求极限（c）函数单调性,凹凸性,极值与拐点,渐近线（d）最大值，最小值与实际应用（e）微分中值定理的应用（f）证明不等式1斜率与几何应用函数在处导数为切线斜率，即,过点的切线方程为=。法线方程为=。例2.39，求过的切线方程。解：，切线方程为=。例2.40过点引抛物线=的切线，求切线方程。解：设切点为，因=，切线方程为=，因为亦在切线上，所以=，所以，切线方程为 =±。图示2.1例2.41问函数=哪一点上的切线与直线=成600角？解：设切线斜率为，=，=， =，= 解得：=，=，解得：=.2洛必达法则洛必达法则是导

6、数对极限的应用，归结为求极限问题的题型六。它是求极限问题非常重要的一个题型。洛必达法则：若且在的邻域附近可导。如果成立则。注：洛必达法则处理的形式必须是未定式。对于,，等必须变形为形式。洛必达法则是一个充分性的法则，若不存在，则说明此方法失效。洛必达法则只要前提正确，可重复使用。一般而言，洛必达法则和求极限题型五配合使用效果会更佳。注意其和连续，可导概念结合的综合题。例2.42解：原式=例2.43解：原式=例2.44解：原式例2.45解：原式=例2.46解：原式=例2.47解：原式=例2.48解：由罗必塔法则，原式这不说明原式不存在，仅说明洛必达法则对此题无效。原式= 例2.49解：例2.50

7、解：原式=例2.51解：原式=例2.52设有二阶连续导数，且，。证明：有一阶连续导数。解：当时，在处连续：因所以，故在=0处连续。综上所述g(x)有一阶连续导数。3函数单调性、凹凸性、极值、拐点及渐进性a、 单调性如果则在上严格单调增加，则在上严格单调减少。满足的点称为驻点。b、 极大值，极小值判别:如果在的附近，当，单调增加，单调减少，则在取得极大值，反之取极小值。判别II：如果在邻域存在两阶导数，且取极小值，取极大值。极值点可能出现在驻点或导数不存在的点上。c、 凹凸法在上存在，如果，则在上向上凹；，则在上向上凸。d、 拐点凹凸性发生改变的界点称为拐点。它可能出现在的点或不存在的点。e、

8、渐进线如果，则的水平渐近线；如果，则为的垂直渐近线。有了以上的准备知识，分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点，的问题流程为（1） 求定义域，渐近线；（2） 计算, ；（3） 求，的点和找出使, 不存在的点，设为；（4） 列表分析；（5） 结论。例3.53分析函数的单调性，凹凸性，极值，拐点及渐近线。解：（1）定义域为，渐近线：因，即轴为水平渐近线（2），由得，由得（3）列表分析2极大值拐点（4）在上单调上升向上凸，上单调下降，向上凸，上单调下降，向上凸，（1，）为极大值点，（2，）为拐点。例2.54分析的单调性，凹凸性，极值，拐点，及渐近线。解：（1）定义域，因，所以为水平渐近线。因，所以为垂

9、直渐近线。（2），由得；当，不存在。列表分析1拐点极小值拐点函数在上单调下降，向上凸；在单调下降，向上凹；单调上升向上凹；单调上升向上凸。为极小值点，处为拐点。例2.55已知函数在与处有极值，试求的值，并求的拐点。解：题意知，得：解得：，,解得（负号舍去）。当，向上凹，当时，向上凸，故为的拐点。4最大值、最小值与实际应用将导数应用到实际问题的最大、最小或更广泛的最优问题的求解中是非常重要的考点。是考查考生实际应用能力的一个很重要的知识点，它可能涉及到几何、物理学、经济学等方面的内容。分析问题的流程为：（1）适当假设求解变量。（2）函数关系确定；（3）求解，交待最大、最小的理由；（4）合理分析。

10、注：第二步是整个问题的关键步骤，中的理由部分可能是容易疏忽之处。例2.56（几何问题）半径为的半圆内接梯形，（1） 何时面积最大？（2） 何时周长最长？解：设上底长度为，即，图示2.2如图所示，（1）由解得（舍去）因为为唯一驻点，即为所求（或）此时（2），由得。因为唯一驻点，即为所求（或），。例2.57（几何问题）半径为的圆板，剪下圆心角围成一个圆锥漏斗，问为何角度时，使得漏斗的容积为最大？解：设圆锥漏斗的下底半径为，图示2.3由解得，（负号舍去）所以，符合题意的驻点是唯一的，即为所求（或），图示2.4由推知。例2.58（几何问题）设计一个容积为（m3）的立方体的有盖圆锥贮油桶，已知单位面积造

11、价：顶、侧面、底面为1:2:3，问贮油桶的尺寸如何设计使造价最低？解：设该圆柱形底面半径为，高为，图示2.5顶单位造价为（元/平方米），由得，总造价函数，解得：；唯一驻点，即为所求（或），此时。例2.59已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系：（元）求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）当企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润？解：（1）平均成本解得：，所以，平均成本最小，（元/件）（2）利润函数，得：（件），唯一驻点，即为所求，（元）。例2.60一租赁公司有40套设备要出租。当租金每月每套200元时，该设备可以全部租出；当租金每月每套增加10元

12、时，租出的设备就会减少1套；而对于租出的设备，每月需要花20元的修整费。问：租金定为多少时，该公司可获最大利润？解：设每月每套租金定为则租出设备总数为，每月的毛收入为；维护成本为，于是利润为，比较处利润：；所以，租金为元时，利润最大。5罗尔定理、微分中值定理及其应用Rolle定理：如果在可导，在上连续，且，则存在，使得。Lagrange中值定理：如果在可导，在上连续，则存在，使得。例问下列函数哪个函数不满足拉格朗日中值定理条件：（）A），B）C）， D）解：选择C，因为在处导数不存在。例 已知，求Lagrange中值定理中的。解：即例2.62证明在0,1上不可能有两个零点.证明:反证法。如果在

13、0,1上有两个零点(不妨设)，即在满足定理条件,所以存在时,，故矛盾,原命题得证.例2.62设可导,求证的两个零点之间定有的零点.证明:构造辅助函数 .设为的两个互异零点,不妨假设,且所以在上满足罗尔定理条件,故存在使得。所以,命题得证.例2.63在上二阶可导,设,证明：存在使得证明:由于且在b,a上二阶可导,所以在b,a满足罗尔定理,故存在使得，知。现在考虑其在满足罗尔定理条件，所以存在使得。例2.64证明方程只有一个正根.证明：（1）根的存在性令由于在闭区间0,1上连续，故由闭区间连续函数介值定理知，存在，使得即，方程有正根.（2）根的唯一性应用反证法。设有两个不同根，则在上满足罗尔定理条

14、件，所以，存在，使得这不可能，故矛盾，所以根是唯一的。综合(1)(2)，原命题成立。例证明：方程有且仅有一实根。证明：是方程的一个根。 对，方程无根，只要考虑令，当时，严格单调上升，当时，严格单调上升，总之，方程仅有一实根0。注：注意上述两例的区别。例2.66设函数在上具有严格单调递减的导数在处连续且试证：对于满足不等式的均有下式成立：。证明:在上满足拉格朗日的定理条件，故存在使得由，所以；在上满足拉格朗日的中值定理条件,故存在使得由于，而是单调下降的函数，故；所以成立，即，原命题得证。例2.67在上连续，且内可导，。证明：存在，使得。证明：构造，在上可导，上连续，且，故在上满足罗尔定理，故存

15、在，使得，即原命题得证。例2.68设在上存在二阶导数，证明：存在使证明：构造，由条件，p(x)满足罗尔定理条件，因此存在使，因为（否则推得），于是。例2.69已知在上连续，在内存在，又过点，两点直线交曲线于，且。试证明：在内至少存在一个使得。证明：构造，由题意可知：。在和上分别满足拉格朗日定理条件。故存在使得，存在使得；在区间上满足罗尔定理条件。所以存在使得。而，故，原命题得证。6函数不等式证明通常证明不等式的方法有：应用微分中值定理；应用单调性；函数最大最小值。例2.70证明证明：当时，原不等式显然成立。当（无妨设），设，在上满足拉格朗日定理，存在使得；，两边取绝对值，。例2.71证明：当时

16、，成立。证明：构造，（）则在上严格单调上升，即，。构造，令，所以严格单调下降，故，所以。说明严格单调下降，即，。结合前面的两结论可知原命题成立。例2.72证明,当时,有证明:原命题等价于:构造函数,=()严格单调上升, >0严格单调上升,即，亦即，即原命题得证。例 证明：当时，。证明:令，有且仅有一根，。在取极小值，所以，命题得证.例2.74证明：当时,证明: 原命题等价于：，构造，所以严格单调上升，即原命题得证。例7. 证明:当时,证明:令，由得，；所以，当时，即，即，成立。单元练习题21。2=。3设，确定，则=。4若在可导，且为其极大值，则曲线在点）处的切线方程是。5如果满足，且，则

17、=。6函数的极值点为，它的图形拐点为：。7的渐进线为：，垂直渐进线为：。8设二阶可导，且，又，则与相差是。9由确定，则。10函数的凹区间为。11.。12则。13函数f为可导函数，则，则=。14函数由方程所确定，则曲线在点（0，1）处的切线方程为：。15设在处可导，则（A）(B) 为任意实数（C）（D）为任意实数16设函数在处可导，则函数的绝对值在处不可导的充分条件是：（A）（B）（C）（D）17,则使存在的最高阶导数为:（A）（B）（C）（D）18则下列正确的是：（A）（B）（C）（D）19曲线的凸区间为：（A）（B）（C）（D）20函数在区间上满足罗尔定理的（）（A）（B）（C）（D）21设

18、，且极限存在，则（）（A） (B) (C ) (D) 22. 设可导，则（A） (B) (C) (D) 23 若直线L与OX轴平行，且与曲线相切，则切点坐标为：（）（A） (B) (C) (D) ，则下列式中正确的是（）（A）(B) (C)(D)不存在,求.26.,求27.,求由确定,求29.,求已知二阶可导函数,求的二阶导数.31.,求.32.,求,由方程组确定，求该曲线在时的斜率。34.,求.35.,求.36.,求.37.,求 .38.，求.39.,求.40.，求.41.,（1）求, （2）求在处是否连续.42.方程确定,求43.设，求。44.，其中具有二阶连续导数，且求（1）；（2）讨论

19、的连续性。45.证明曲线，的切线介于坐标轴之间的长度为一常数.46.已知,求.47.已知,其中有二阶连续导数,且.（1）确定值，使在处连续；（2）求。48设有二阶连续导数，且，。证明：有一阶连续导数。49求下列极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）50证明下列不等式（1）当时，（2）当时，（3）当时，（4）当时，（5）当时，（6）设，证明不等式51分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。52分析函数的单调性、凹凸性、极值、拐点及渐近线。53求内接于半径为的半圆的矩形的最大面积。54已知三角形高，底边长为，求一边落于底边的内接矩形的最大面积。55把一根长为的铅丝切成两段，一段围成圆形，一

20、段围成正方形，问这两段铅丝各多长时，圆形面积与正方形面积之和最小？56用面积为的一块铁皮做一个有盖圆柱形油桶，问油桶直径为多长时，油桶的容积最大？又这时油桶的高是多少？图示2.657已知、两地相距30公里，如下图所示。在它们之间铺设一条管道，由于地质条件不同，在地区，铺设管道费用为元/公里，在地区，铺设管道费用为元/公里。求最经济的铺设路线。58在直角坐标系的第一象限内作的切线，使其与两坐标轴所构成的三角形面积最小，求切点坐标。59一商家销售某种商品价格，其中为销售量（单位：），商品的成本是（百元）（1）若每销售商品，政府要征税（百元），求商家获得最大利润是的销售量？（2）商家获得最大利润前提

21、下，为何值时，政府的税收总额最大？历年真考题1、（2001）若，且在内：，则在内必有（ ）A. B. C. D. 2、（2001）设参数方程为；则。3、（2001）已知，求。4、（2001）已知，求。5、（2001）已知曲线经过原点，并且在原点的切线平行于直线，若，且在处取得极值，试确定的值，并求出函数的表达式。6、（2001）设函数，具有二阶连续导数，且，（1）求，使得在连续；（2）求。7、（2002）已知是可导函数，则（ ）A. B. C. D. 8、（2002）若，则（ ）A. B. C. D. 9、（2002）已知在内是可导函数，则一定是（ ）A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶

22、函数 D. 不能确定奇偶性的函数10、（2002）设函数由方程确定，则。11、（2002）函数的单调增加区间为。12、（2002）已知，求。13、（2002）设，且在点连续。求（1）的值；（2）。14、（2002）证明：当时，成立。15、（2002）已知某厂生产件产品的成本为（元），产品产量与价格之间的关系为：（元），求：（1）要使平均成本最小，应生产多少件产品？（2）要企业生产多少件产品时，企业可获最大利润，并求最大利润。16、（2003）已知，则（ ）A. 2 B. 4 C. 0 D. 217、（2003），则下列说法正确的是（ ）A. B. C. D. 18、（2003）已知函数为连续函

23、数，则满足（ ）A. 为任意实数 B. C. D. 19、（2003）由确定，则。20、（2003）函数的凹区间为。21、（2003）已知，求。22、（2003）证明：在内有且仅有一个实根。23、（2003）设计一个容积为立方米的有盖圆柱形贮油桶。已知单位面积造价：侧面是底面一半，盖又是侧面的一半，问贮油桶的尺寸如何设计，造价最低？24、（2004）直线L与x轴平行且与曲线相切，则切点的坐标是 A（1，1） B、（1，1） C、（0，1） D、（0，1）25、（2004）设，则。26、（2004）设函数yy(x)由方程所确定，求的值。27、（2004）甲乙二城位于一直线形河流的同一侧，甲城位于

24、岸边，乙城离河岸40公里，乙城在河岸的垂足与甲城相距50公里，两城计划在河岸上合资共建一个污水处理厂，已知从污水处理厂到甲乙二城铺设排污管的费用分别为每公里500元和700元。问污水处理厂建在何处，才能使铺设排污管的费用最省？28、（2005）设x2是函数的可导极值点，则a（） A、1 B、 C、 D、129、（2005）30、（2005）对函数在闭区间1,e上应用Lagrange中值定理，求得的_。31、（2005）设函数在x0处连续，其中求a。32、（2005）设函数是由参数方程所确定，求。33、（2005）证明方程在-1,1上有且仅有一个实根。34、（2005）设函数的图形上有一拐点P（

25、2，4），在拐点P处曲线的切线斜率为3，又知该函数的二阶导数求此函数。章节测试1. ，则， 。2，则。3在点 处的切线方程 。4. 。5已知是 的极值点，则。6的拐点是 。7曲线 的渐近线是， 的水平渐近线是 。8设函数，则方程有（ ） A 一个实根 B两个实根 C三个实根 D无实根9在上的极小值为（ ） A0 B1 C 2 D不存在10函数（ ） A没有拐点 B有一个拐点 C有两个拐点 D有三个拐点11函数（ ）A只有水平渐进线 B只有铅直渐近线C没有渐近线 D有水平并有垂直渐近线12函数的极小值为（ ）A0 B1 C2 D313在区间-1，1上，下列函数不满足罗尔定理的是（ ）A B C

26、D14是函数在点处有极值的一个（ ） A必要条件 B充要条件 C充分条件 D无关条件15在区间（0，4）内（ ） A上凹 B下凹 C既有上凹又有下凹 D直线段16下列条件中，对一切均成立的是（ ） A B C D17设，若存在，且，则（ ） A B 18下列函数在点处连续且可导的是（ ） D19. 20. ，求。21. ，求22. ，求23. ，求24. ,求25. ，求26. ，求27. ，求28. ，求29. ，求30. 求31. 32.33. 分析的单调性、凹凸性、极值、拐点34. 讨论函数在点处是否可导？有没有极值？如果有求出其极值。35. 设生产某种产品个单位时，成本函数为（万元/单

27、位）。当=？时，平均成本最小？36. 某厂生产某产品，年产量为（百台），总成本(万元)，其中固定成本为2万元，每产100台成本增加1万元，市场上每年可销售此种产品4百台，其销售总收入是的函数，。问每年生产多少台时总利润最大？37. 某工厂每天生产台袖珍收音机总成本为（元），该种收音机独家经营，市场需求规律为，其中为单价，问每天生产多少台时获利最大？此时每台收音机价格如何？38. 求函数在区间上的最大值与最小值。39试证：若，则40设，证明：41证明不等式： ，（）。单元练习题2答案1、，2、，3、，4、，5、16、，7、，8、，9、，10、，11、12、，13、，14、15、，16、，17、，

28、18、B，19、，20、，21、，22、，23、，24、25、，26、，27、28、，29、30、解：31、解：设，32.33. 解：，34. 解：， 35. 用莱布尼茨公式。36.37. 解：，。所以 不存在。38、解，因 故不存在39、解：40、解：故，不可导;时，不可导41、解（1），故（2）不存在故在处不连续42、解，方程两边对求导对（*）两端再次对求导，得43、解：，函数在时间断，故时，不可导。44、解：（1），（2）当时，由的连续性知连续在处连续。综合得在上处连续。45证明：设切点为且满足，切线方程为令得，令得。切线于坐标轴之间的长度：46解：，47解：（1）由处连续，可知（2）当时，48解：当时，在处连续 因所以，故在=0处连续。综上所述g(x)有一阶连续导数。49(1).原式=. （2）原式= (3) 原式= (4) 原式=。 (5)