微专题之等与线

1、微专题之平面向量基本定理系数的等和线【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】（一） 平面向量共线定理已知6*6总OC，若 -1，则A,B,C三点共线；反之亦然（二） 等和线平面内一组基底OA,OB及任向量OP，OP二 OAiOB（ ,R），若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则 - k （定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。（1）当等和线恰为直线 AB时，k=1 ；（2）当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)；（3）当直线AB在点O和等和线之间时，k（1,：）；（4）当等和线过O点时，k

2、=0 ；（5）若两等和线关于 0点对称，则定值k互为相反数；【解题步骤及说明】1、确定等值线为1的线；22、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研 究的代数式为基底的系数和。【典型例题】例1、给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为1200，如图所示，点 C在以O为圆心的圆弧 AB上变动。若 OC =xOA yOB，其中 x,

3、 y R则x y的最大值跟踪练习：已知O为 ABC的外心，若cos ABC，AOABAC，则的最大值为 3例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点 代B满足|OA|=|OB|=OA'OB = 2，则点集PI OP=丸应+#OB,i丸|+岸|兰i入，r所表示的区域面积为例3、如图，在扇形OAB中，.AOB =60°, C为弧AB上不与A,B重合的一个动点,OC =xOA yOB，若u =x y （ 0）存在最大值，则的取值范围为跟踪练习：在正方形 ABCD中，E为BC中点,P为以AB为直径的半圆弧上任意一点,设AE二xAD yAP，则2x y的最小值为【强化训练】1、在正

4、六边形 ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设AP 二 xAB yAF，贝U x的取值范围2、如图，在平行四边形 ABCD中，m,N为CD边的三等份点，S为AM , BN的交点，P为边AB上的一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQyBN，贝V x y的取值范围3、设D,E分别是 ABC的边AB , BC上的点,ADAB ,2BE BC，若 DE TAB 2AC3('1, '2为实数)，U '12的值为4、梯形 ABCD中，AD _ AB , AD = DC = 1 , AB = 3 , P为三角形 BCD内一点（包括边界），T T TAP =xAB

5、 +yAD，贝U x + y的取值范围 .5、已知|OA| = 1,|OB h . 3, OA OB =0 ,点 C 在 Z AOB 内，且 Z AOC = 30° ,设 OC =mOA nOB ,则m的值为.n6、在正方形 ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心， AB为半径的圆弧上的任意一点，设T T TAC =xDE +yAP，贝U x + y的最小值为 .7、已知|形，贝U x y取值的集合为。8、平面内有三个向量 Oa,OB,Oc，其中OA,OB夹角为1200, OA,OC的夹角为30°，且|T 厂 T T T| OC | = 2 :3，若 OC = mOA nOB ,则 m n 的值为T T -I T1二,OM |=|0N| = 1, OP=xOM - yON(x, y为实数)。若 PMN为以M为直角顶点的直角三角9、如图，代B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D ,若OC= mOA nOB则m+n的取值范围为OA10、已知O为:ABC的外心，若A(0,0),B(2,