高中数学基本不等式课件教学内容

1、高中数学基本不等式课件高中数学基本不等式课件ICM2002会标会标赵爽：弦图赵爽：弦图ADBCEFGHab22ab不等式：不等式： 一般地，对于任意实数一般地，对于任意实数a、b，我们有，我们有当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。222ababABCDE(FGH)ab基本不等式：基本不等式：(0,0)2ababab当且仅当当且仅当a=b时，等号成立。时，等号成立。注意：注意：（1）两个不等式的）两个不等式的适用范围适用范围不同。不同。（2） 称为正数称为正数a、b的几何平均数的几何平均数 称为它们的算术平均数。称为它们的算术平均数。 zxxkab2ab例例1.1.用篱笆围一个面积

2、为用篱笆围一个面积为100m100m2 2矩形菜园，矩形菜园， 问这个矩形的长、宽各为多少时，所问这个矩形的长、宽各为多少时，所 用篱笆最短，最短的篱笆是多少？用篱笆最短，最短的篱笆是多少？Ex1: Ex1: 已知直角三角形的面积等于已知直角三角形的面积等于5050， 两条直角边各为多少时，两条直两条直角边各为多少时，两条直 角边的和最小，最小值是多少？角边的和最小，最小值是多少？结论结论1 1：两个正数积为定值，则和有最小值两个正数积为定值，则和有最小值解：设这个矩形菜园长、宽各为解：设这个矩形菜园长、宽各为xm，ym；所用篱笆；所用篱笆为为Lm；故故xy=100；L=2x+2y=2（x+y

3、）4 =40；（当且仅当（当且仅当x=y=10时，等号成立）；时，等号成立）；故当这个矩形菜园长、宽各为故当这个矩形菜园长、宽各为10m时，所用篱笆最短时，所用篱笆最短；最短的篱笆是；最短的篱笆是40m最小值是最小值是20m例例2.2.用一段长为用一段长为36m36m的篱笆围成一个矩形的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？时，菜园的面积最大，最大面积是多少？Ex:Ex:用用20cm20cm长的铁丝折成一个面积最大长的铁丝折成一个面积最大的矩形的矩形, ,应当怎样折应当怎样折? ?结论结论2 2：两个正数和为

4、定值，则积有最大值两个正数和为定值，则积有最大值解：设矩形菜园的长为解：设矩形菜园的长为xm，宽为，宽为ym，则，则2x+2y=36S=xy =81，当且仅当当且仅当x=y，即：，即：x=9，y=9时，面积时，面积S取得取得最大值，且最大值，且Smax=81m2所以：当矩形菜园的长为所以：当矩形菜园的长为9m，宽为，宽为9m时，时，面积最大为面积最大为81m222yx长为长为5cm，宽也是，宽也是5cm时，面积最大为时，面积最大为25cm2（1）a和和b都必须是正数都必须是正数（2）a与与b的和或积必须是常数（定值）的和或积必须是常数（定值）（3）等号成立的条件必须成立）等号成立的条件必须成立

5、定理：定理：（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正应用要点：一正 二定二定 三相等三相等（1）a和和b都必须是正数都必须是正数（2）a与与b的和或积必须是常数（定值）的和或积必须是常数（定值）（3）等号成立的条件必须成立）等号成立的条件必须成立定理：定理：（1 1）两个正数积为定值，和有最小值。）两个正数积为定值，和有最小值。（2 2）两个正数和为定值，积有最大值。）两个正数和为定值，积有最大值。应用要点：一正应用要点：一正 二定二定 三相等三相等. 2, 2121:;1,

6、0) 1 (原式有最小值解的最值求已知xxxxxxx例例3.判断一下解题过程的正误判断一下解题过程的正误. 221,11,2121:;1,21)2(22222xxxxxxxxx有最小值时即当且仅当解的最小值求时已知.,2,4. 4, 4424:.4, 3)3(等号成立时即当且仅当原式有最小值解的最小值求已知xxxxxxxxxx_;94 ,_, 0) 1 (有最小值时则当若aaaa_;lglg,20,)2(的最大值满足正数yxyxyx._, 22,)3(的最大值是且都为正数xyyxyx看谁做得快看谁做得快2：求以下问题中的最值：求以下问题中的最值2321122课下思考课下思考_;141, 1)

7、1 (的最小值是设xxx4(1).1,_.1xxx变式设的最小值是_;)1 (, 10)2(的最大值是则函数设xxyx1(2).0,(1 2 )_.2xyxx变式设最大值是例例4.求以下问题中的最值求以下问题中的最值451418小结小结1、当、当a，bR时，时， 2、当、当a，bR+时，时， 等号成立的条件均为：等号成立的条件均为：a=b 3、两个正数、两个正数积积为定值，和有最小值。为定值，和有最小值。 两个正数两个正数和和为定值，积有最大值。为定值，积有最大值。4、一正二定三相等。、一正二定三相等。222abab2a bab 222abab课堂练习：课堂练习：1. 已知已知x0，若，若 的

8、值最小，则的值最小，则x为（为（ ）.A 81 B 9 C 3 D16 2. 若实数若实数a，b，满足，满足a+b=2 ，则，则 的最小的最小值是（值是（ ）. A18 B6 C D 3. 已知已知x0，当，当x=_时，时， 的值最小，最的值最小，最小值是小值是_.4. 做一个体积为做一个体积为32 ，高为，高为2m 的长方体纸盒的长方体纸盒，底面的长为，底面的长为_ _，宽为，宽为_ _时，用纸最少时，用纸最少.81xx2281xx33ab3m2 33 2BB3184m4m课后作业课后作业 1. （1）把）把36写成两个正数的积，当这两写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？个正数取什么值时，它们的和最小？（2）把）把18写成两个正数的和，当这两个写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？正数取什么值时，它们的积最大？2. 一段长为一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠墙的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长的矩形菜园，墙长18 m，问这