函数的基本性质单调性最值（Word）

1、（一）函数单调性的定义1. 增函数与减函数一般地，设函数yf（x）的定义域为I，增函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是增函数。减函数：如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），那么就说f（x）在区间D上是减函数。说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：不能说是原函数的单调递减区间；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f（x1）f（x2

2、）或 f（x1）f（x2）。2. 函数的单调性的定义如果函数yf（x）在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数yf（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做yf（x）的单调区间。例1 观察下列函数的其图象，指出其单调性（1）；（2）； 例2 指出下列常见函数的单调性：（1）（为常数）；【析】不随的增大而改变，无单调性（2）（）；【析】，函数在上递增；，函数在上递减（3）（）；【析】，函数在上递减，在上递增；1 / 9，函数在上递增，在上递减（4）（）；，函数在上递减，在上递减；，函数在上递增，在上递增（5）；函数在上递减，在上递增（6）函数在上递增3. 判断函数单调性的方法和步骤（1）

3、利用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤：任取x1，x2D，且x1x2；作差f（x1）f（x2）；变形（通常是因式分解和配方）；定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）；下结论（即指出函数f（x）在给定的区间D上的单调性）。（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。例题分析证明：函数在上是减函数。证明：设任意，（0，+）且，则，由，（0，+），得，又，得，即所以，在上是减函数。练习：1根据单调函数的定义，判断函数的单调性。2根据单调函数的定义，判断函数的单调性3函数是单调函数时，的取值范围（ ）A B C D 2在区间上为增函数的是（ ）A

4、BC D6函数在和都是增函数，若，且那么（ ）A BC D无法确定7函数在区间是增函数，则的递增区间是（ ）A B C D8函数在实数集上是增函数，则（ ）A B CD9定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（ ）A BC D（3）复合函数的单调性的判断： 设，都是单调函数，则在上也是单调函数。若是上的增函数，则与定义在上的函数的单调性相同。 若是上的减函数，则与定义在上的函数的单调性相同。即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）例6 判断下列函数的单调性，并写出函数的单调

5、区间（1）；【析】，其定义域为令，则，列表如下：所以函数的单调增区间有和，无单调减区间【注】求函数单调区间必须先求函数定义域分式函数常采用部分分式法，使得自变量只出现在单个分母上（2）；【析】，其定义域为令，则，列表如下：所以函数的单调增区间为，单调减区间为【注】当函数局部出现二次函数时，可以利用配方法确定确定对应二次函数的对称轴，把定义域分成若干个区间讨论单调性练习：（1）函数的单调递减区间是 ，单调递增区间为 （2）的单调递增区间为 3、函数单调性应注意的问题：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，

6、可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数例1.下列命题正确的是（ ）A. 定义在上的函数，若存在，使得时，有，那么在上为增函数. B. 定义在上的函数，若有无穷多对，使得 时，有，那么在上为增函数. C. 若在区间上为减函数，在区间上也为减函数，那么 在上也一定为减函数. D. 若在区间上为增函数且（）,那么.思维分析：根据单调性定义逐一判断，特别注意定义中“任意”“都有”表达的含意.解：A错误，只是区间上的两个值，不具有任意性；B错误，无穷并不代表所有，任意；C错误，例如函数在和

7、上分别递减，但不能说在上递减；D正确，符合单调性的定义.故答案为D.方法点拨:函数单调性的定义是作此类题的依据.（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反； 在公共定义域内：增函数增函数是增函数；减函数减函数是减函数；增函数减函数是增函数；减函数增函数是减函数例1：判断函数在区间上的单调性，并用定义证明。思路分析：1）题意分析：用定义证明一个分式函数在上的单调性2）解题思路：按照用定义证明函数f（x）在给定的区间D上的单调性的一般步骤去做即可。解答过程：在区间上单调递减。设，则。已知，所以，所以，即原函数在上单调递减。解题后的思考：用定义证明函数f（x）在

8、给定的区间D上的单调性的关键在于变形（通常是因式分解和配方）和定号（即判断差f（x1）f（x2）的正负）。（二）函数最大（小）值的定义1. 最大值与最小值一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，称M是函数yf（x）的最大值。一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的xI，都有f（x）M；（2）存在x0I，使得f（x0）M那么，称M是函数yf（x）的最小值。 注意：函数的最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0I，使得f（x0）M；函数的最大（小）值应该是所有函数

9、值中最大（小）的，即对于任意的xI，都有f（x）M（f（x）M）。2. 利用函数的单调性判断函数的最大（小）值的方法利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值利用图象（数形结合法）求函数的最大（小）值利用函数的单调性判断函数的最大（小）值如果函数yf（x）在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数yf（x）在xb处有最大值f（b）；如果函数yf（x）在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数yf（x）在xb处有最小值f（b）。例7 求下列函数的最值，并指出函数的值域（1），【解】函数在区间上单调递减，所以，所以当且仅当时，；时，函数的值域为（2），【解】函数在区间上单调递减，当时，当时，所以，所以当且仅当时，；时，函数的值域为【注】（1）（2）都告诉我们：函数在闭区间上单调，必在两端点取最值（3）；【解】该函数的定义域为注意到，且当时，由于函数在区间上单调递减，所以，；函数在区间上单调递增，所以，所以，当且仅当时，所以该函数在上的最小值为当及时，所以函数在上无最大值（或者说最大值为）该函数值域为例3：已知，求函数的最值。思路分析：1）题意分析：本例要求在指定的半开半闭区间内求一个分式函数的最大（小）值；2）解题思路：先分离常数，再利用函数的单调性求函数的最值。解答过程：已知函数式可化为，先判断函数在上的增减性。设，则，。，即函