函数与多元函数的差异与统（Word）

1、一元函数与多元函数的差异与统一 作者:蔡平梅 指导老师:杨翠摘要 本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，具体讨论了在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且较为系统的比较了二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.归纳了一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.关键词 极限 连续 微分 积分 统一 差异1 引言有关函数的概念，我们已经有了较深刻的认识，首先我们来回顾一下函数的定义：给定两个实数集和，若有对应法则，使对内每一个数，都有唯一的一个数与它相对应，则称是定义在数集上的函数.其中为自变

2、量，为因变量.一元函数就是自变量只有一个的函数，有两个或两个以上的自变量的就叫多元函数.一元函数是两个数集之间的关系，而多元函数则是有序数组（二元数组，三元数组，元数组）的集合与数集之间的函数关系.多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了维空间（），是研究问题更加复杂化，研究方法更加多样化.在研究多元函数的内容时，需要经常与一元函数相关内容做比较，即比较两者之间的差异与统一.由已知一元函数的某些概念、公式引出多元函数的相关内容.在实际中，有时也可以正好相反，可以把多元函数的某些概念、性质应用到一元函数中.而这些都是在两者相互比较中实现

3、的.比如，多元复合函数的偏导数的链法则，就可以应用到一元函数中.进而在极值、极限、微分、积分等方面就一元函数与多元函数的差异与统一展开详述， 以使得在以后数学分析与高等代数的学习过程中更好的区分这两类函数，才能加深在数学分析与高等代数的学习中对这两类函数的极限、微分、积分等方面性质的理解，掌握以及运用.目前，关于一元函数与多元函数的差异与统一性的研究都已经取得了较为丰富的结果，然而在大学的数学分析或高等数学的教材中，只是做了简单的叙述.对于二者的差异与统一问题，我们还要进行具体系统的讨论.本文通过对一元函数到多元函数的基本性质的分析，以二元函数为例，与一元函数进行比较，再推广到多元函数的方法，

4、具体讨论在某些特定条件下一元函数与多元函数的统一性，并且比较二者在极限，连续，微分，积分等方面的差异.进而归纳一元函数中表达概念间的关系的命题的正确性在多元函数中能否得以保持的规律.2 一元函数与多元函数的统一性多元函数是一元函数的推广，因此它保留着一元函数的许多性质，但也由于自变量的变化范围由一维空间扩展到了维空间（），是研究问题更加复杂化.下面我们具体讨论论二者的统一性.2.1 极限与连续的关系由多元函数的连续和有极限的定义中我们可以看出，这两个概念都是用多元法给出的.这样，一元函数在点处连续的表达式，就可以换成多元函数在点处的表达式（点和点为多维空间的点），.从而就使得一元函数在一点连续

5、则有极限的结论在多元函数中仍然成立2 / 25，即“连续有极限”的关系在多元函数中依然成立.2.2 关于微分(1)“可微可导” 的关系在多元函数中仍然成立在多元函数中，由于可微这一概念是用多元法给出的，在点处可微，即有（其中）成立.再由偏导数的定义，我们有如下定理.定理2.2.1 （可微的必要条件）若二元函数在其定义域内一点处可微，则在该点关于每个自变量的偏导数都存在，且.由上述定理我们很容易发现，“可微可导”的关系在多元函数中也成立.（2）二者可微性之间的关系多元函数微分学中很重要的一个内容，就是弄清多元函数与一元函数在极限，连续，微分等问题上的关系.关于连续，极限的问题，我们在之前已经讨论

6、过.现在，我们讨论一元函数可微性与多元函数可微性之间的关系.下面以二元函数为代表，再推广到多元函数中去.定理2.2.2 一元函数，对（某个），在可微（对，在可微），一元函数在可微（在可微）；且（或）在连续，则二元函数在可微.证明：不妨设在连续.而对，在可微 则有， 可改记为，则又在可微，同理而则，其中 ，其中现只需证明事实上，显然，而 在可微由上述定理我们可以看出，在一定条件下，一元函数与二元函数的可微性是统一的.接下来我们把定理2.2推广到元函数.定理2.2.3 一元函数，对，在可微，对，在可微，对，在可微，在可微，在连续，则元函数在可微.这样，在特定的的条件下，我们就把一元函数与多元函数的

7、可微性统一了.2.3 二者在极值与极值判别法上的统一（1）可导函数“极值点必为驻点”均成立首先，我们看一个关于一元函数的定理.定理2.3.1 （费马定理）设函数在点的某邻域内有定义，且在点可导.若点为的极值点，则必有.我们称满足方程的点为驻点.那么，从上述定理中可以得出“可导函数的极值点必为驻点”这一命题.而这一命题的正确性在多元函数中是否继续保持呢，我们看下面的定理.定理2.3.2 （极值的必要条件）若函数在点存在偏导数，且在取得极值，则有， （1）若函数在点满足（1）式，则称为的稳定点（驻点）.可见，对于二元函数来说，“可导函数的极值点必为驻点”这一命题依然成立.对于元函数来说，只要把点换

8、为维，（1）式变为，.即可发现，这一命题的正确性继续保持.从而一元函数与多元函数在这性质上是统一的.（2）无条件极值判别法的统一性正定二次型法设元函数在点具有二阶连续偏导数，则称矩阵为函数在点的Hesinn矩阵.由对二阶偏导数的连续性可知，是实对称阵.记梯度，称满足的点为元函数的驻点.分别称文献1的二元函数极值存在的充分条件，一元函数极值的第一和第二充分条件为引理1，引理2和引理3.定理2.3.3 （必要条件）设元函数在点具有偏导数并取得极值，则.定理2.3.4 （充分条件）设函数在点的某邻域内具有一阶及二阶连续偏导数，又，则1) 当是正定矩阵时，函数在点取得极小值；2) 当是负定矩阵时，函数

9、在点取得极大值；3) 当是不定矩阵时，函数在点不取得极值.推论2.3.3 当时，定理3.4与引理1等价；当时，定理2.3.4与引理3等价.证明：对于二元函数，令 则 正定,此时在取极小值；同理，负定,此时在取极大值.由上可见，定理2.3.4与引理1等价.对于一元函数，当时，正定，此时，在取极小值；负定，此时，在取极大值.由上可见，定理2.3.4与引理3等价.由推论3.3可见，二次型正定性法对元函数情形均成立，并且在函数具有二阶连续偏导数的条件下，引理1和引理3为定理2.3.4的特例，三者可统一由定理2.3.4表述.由极值存在的充要条件可知，在定义域内求元函数的极值可按下述步骤进行：1) 求出驻

10、点；2) 求出在点点的Hesinn矩阵，判定的正定或负定性.而的正定性通常是由矩阵的所有主子式符号来判定的，因此，定理5.1.2得到下述推论应用更方便.推论2.3.4（雅可比行列式法）设点为的驻点，且在驻点的邻域内有二阶连续偏导数.记驻点处的雅可比行列式为 1) 时，为极小值点；2) 时，为极大值点.证明：由矩阵正定的充要条件【10】，当时，定理2.3.4中的正定，在点取极小值，当满足2）中条件时，负定，为极大值点.二次行正定法和雅可比行列式法都可以方便解决大部分多元函数的极值问题，但也有一定的局限性.充分条件对或的要求很严格，当半正（负）定时，此法无效.对于半正（负）定，且函数又有两个以上驻

11、点的极值问题，情况比较复杂，目前还没有很好的解决办法，但有些问题可以用下面的梯度内积法求解.梯度内积法定理2.3.5 （充分条件）设是的一个映射，为驻点，是的一个邻域.若在上连续，在内可微，则有1) 当，有，则在点取得极大值；2) 当，有，则在点取得极小值.其中，“”表示中的一般内积.推论2.3.5 当时，1) 当时，在取极大值；2) 当时，在取极小值.推论2.3.6 当时，定理2.3.5与引理2等价，当时，定理2.3.5与二元函数极值定义等价.证明：设一元函数的驻点为，则对，条件与 异号等价，由定理2.3.5与引理2，均可得为的极小值点. 对于二元函数，设驻点为， 则，而其中为的高阶无穷小，

12、若，则，即由定理2.3.5和二元函数的极值定义，为极小值点同理，若，则为极大值点.由上述定理，推论表明，在函数可微的条件下，梯度内积法是一元函数和多元函数极值的统一判别法.例：求的极值.解：由题可得 ，从而为的驻点 从而为极小值点，且极小值为0.3 一元函数与多元函数的差异性3.1 极限、导数与微分的相关命题（1）关于极限在一元函数极限论中有定理：.但是，在多元函数（此处我们以二元函数为例）的极限论中，即使当动点沿过点的任何射线趋向于时，都趋于同一极限，也不能断言存在.只有当动点沿任意路线趋向于时，都趋于同一极限，才能说存在.例1：设，定点，求证：（1）沿着任何方向的方向极限都存在.（2）二重

13、极限不存在.证明：（1）任取过原点的一条射线，其中为常数， 为变量，点为射线上的动点，则（2）而从而二重极限不存在此外，累次极限，混合偏导数，累次积分是多元函数极限论中与一元函数极限论相比较而言的特殊点，从原则上讲是一个新概念，它在一元函数极限论终是没有的，所以是一个本质差异.（2）关于导数在一元复合函数的求导定理中有，在反函数存在的条件下有，但多元函数的偏导数理论中没有类似结果.例2：已知理想气体的状态方程，可证，此例说明了.（3）可导与连续的关系在一元函数理论中有定理【1】“若在点处可导，则在点处连续”.但在多元函数中“偏导数存在连续”的结论不一定成立.例如，在二元函数中，在点处的偏导数是

14、由一元函数中的导数推广来的，而偏导数远不及导数的功能丰富.因为和只是分别表示在点处沿平行于轴和轴的变化率，它们的存在只能保证点分别沿这两个特殊方向趋于时，函数值趋于，但不能保证点以任何方式，任何路径趋于时，函数值都趋于.例3：设，证明（1）；（2）在点处不连续.证明：（1），同理（2） 显然，极限不存在从而在点处不连续此外，“在点处连续偏导数存在”也不一定成立.例4：，证明（1）在点处连续；（2）在点处关于及的偏导数都不存在.证明：（1）令 则从而在点处连续（2） 所以不存在，同理不存在.（4）可导与可微的关系在一元函数微分学中关于可微和可导之间的关系有如下定理定理1 函数在点可微的充要条件是

15、函数在点可导.但是在多元函数微分学中有：在点处可微及存在；反之，及存在却不能推出在点处可微.例5：设，证明（1）；（2）在点处不可微.证明：（1）由题， （2），而 所以，在点处不连续，显然不可微.3.2 极值与最值问题在求一元可微函数在上的最大值和最小值时，只考虑两个端点和几个极值点即可.即若在内有稳定点，则但是，在求可微函数在二维有界区域上的最大值和最小值时，就要考虑无穷多个边界点.例6：试求在上的最大值和最小值（设）.解：（1）先求函数在区域内部的可疑点，令得，又因而方程组只有唯一解，（2）再求边界上的可疑点设，令得 而在上，所以，要使此方程有非零解，必要从而得（3）将上面求出的可疑值进

16、行比较，可得最大，最小值分别为一元函数与多元函数不仅在极值点的范围上有差异，多元函数在一元函数的极值点处也不一定取得极值，我们以二元函数为例.定理2 若二元函数在点处取得极值，则一元函数及在点处取得极值，但反之不一定成立.证明：若二元函数在点处取得极小值，则在的某一去心邻域中的一切点均满足，因而有或成立所以，一元函数与也在处取得极小值若在点处取得极大值，则同理可证反之，若一元函数及在点处取得极小值，且可导，则有，即使这两个等式成立，在点处也不一定取得极小值.如一元函数与都在点处取得极小值，且，但在点处不能取得极小值.因为在上，在点的去心邻域内，说明在两个方向上，二元函数在点处都不能取极小值.同

17、理说明在点处不一定取得极大值.以上说明了一元函数在点处取得极值，但二元函数在该点不一定取得极值，因此，二元函数的极值不能用一元函数的极值来判定.3.3 积分与广义积分（1）关于定积分与重积分在定积分的计算中，分割对象是有限区间，分割方式只有一种，即在区间内任意插入有限个分点，分割的任意性只体现在这些分点的自由选择上.但在二重积分的定义中，分割对象是平面上的有界闭区域，分割方式多种多样，千变万化，从理论上讲甚至有无穷多种.如直角坐标网分割，极坐标网分割，以及任意曲线坐标网分割等.因此给重积分的计算方法和技巧带来多样化.这是二者的又一差异.一元函数与多元函数的积分换元公式上也有差异，我们比较重积分

18、与定积分的换元公式.比较以上二式，定积分换元公式中，无绝对值，而在二重积分换元公式中带有绝对值.原因在于定积分是在有向线段上取的，而二重积分是在无向区域上取的，因而要加绝对值.（2）在广义积分上的差异一元函数与多元函数的积分性质有许多相似，但一元函数与多元函数的广义积分却存在显著差别.一元函数的收敛性并不蕴含其绝对收敛性，反之，对多元函数则不然.多于函数的广义积分的收敛性本身蕴含其绝对收敛性，也就是说多元函数的广义积分收敛性与其绝对收敛性等价.3.3.1一元函数广义积分的收敛（条件收敛）不能保证其绝对收敛性讨论一元函数广义积分的收敛性往往需要区别对待它的绝对收敛性与收敛性，因为收敛性仅指条件收

19、敛，而条件收敛与绝对收敛是两个完全不同的概念.例7：证明（1）收敛；（2）发散.证明：（1）对于 ， 从而为正常积分对于， ，单调下降且趋于由Dirichlet判别法知是收敛的综上所述，收敛（2）对于，由Dirichlet判别法知是收敛的，而发散，从而综上所述，发散3.2.2多元函数广义积分的收敛性与其绝对收敛性等价定理3.1 函数在无界区域上的反常二重积分收敛的充要条件是在上的反常二重积分收敛.为了证明定理的必要性，我们有一个引理.引理3.111 若函数在无界区域上非负，且在的任意有界闭子区域上可积，并且存在有界子区域列，满足，则.下面我们来证明定理3.1.证明：（充分性）由收敛，为此给出的

20、正部，负部函数所以有所以均收敛从而广义二重积分存在且有限（必要性）使用反证法证明，假设存在且有限，而发散，由引理3.1，存在有界闭子区域列，满足，则有不等式记，有又所以中至少有一个，不妨设为，使得由得积分定义，存在的一个分割，使得，其中是区域分割的部分，是在上的下确界.令，则在上，从而此外显然有那么于是此即表明，在上的广义二重积分也发散，这与题设相矛盾.同样对于无界函数广义二重积分仍然有相仿结果.引理3.2 若在有界闭区域上除点外有定义，是其奇点，则收敛的充要条件是存在,使得对任意的的邻域，于上可积，且.引理3.3若在有界闭区域上除点外有定义，是其奇点，是的任意邻域且于上可积，并存在的邻域序列

21、，满足，则有.定理3.2 若在在有界闭区域上，有定义，且是其奇点，则在上广义二重积分收敛的充要条件是在上的广义二重积分收敛.以上我们看到一元函数与多元函数在广义积分上的差异，必须正确的区分函数的这两类广义积分，才能更好的加深对函数积分的了理，解掌握及运用.4 关于曲线积分虽然沿平面曲线上的第一型曲线积分的定义与在上的定积分的定义完全类似，几何意义类似，而且还有许多类似性质.但是：，而另一方面，沿平面曲线上的第二型曲线积分的定义一般情况下与在上的定积分定义不相同（当为轴上的直线段时，二者才相同，即曲线积分是第二型平面曲线积分的特例）.4 综合分析与结语4.1 出现差异的原因（1）空间结构发生变化

22、.从一元到多元，函数的变化范围由一维空间扩展到维空间，发生了空间结构变化，使研究的问题更加复杂化，研究方法更加多样化，思维方式更加灵活.（2）研究问题的方法发生变化.在研究多元函数时我们采用了两种思想方法.一种是在多个自变量同时变化的情况下进行研究，我们称为多元法；另一种是在其中一个自变量变化，而其余自变量暂时看作常量的情况下尽心灌酒，我们称为单一法.多元函数中的概念有些是用多元法给出的，如极限，连续，可微等，有些是用单一法给出的，如偏导数，驻点等.而在一元函数的研究中，只有一个自变量，所以没有单一法与多元法之分，其概念也都是同一类.这恰恰使得一元函数中概念间的关系，在多元函数中有些会发生质的

23、变化，即出现新问题.4.2 一元函数与多于函数异同点的分析（1）若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用多元法给出的，而结论中所涉及的概念是用单一法给出的，则这个命题的正确性可得以保持.例如，在多元函数中，可微和极值点这两个概念是用多元法给出的，而可导和驻点这两个概念是用单一法给出的.所以，在一元函数中“可微可导”和“极值点必为驻点”这两个命题的正确性仍可保持.（2）若关于多元函数的命题，其题设条件和结论中所涉及的概念均是用多元法给出的，则这一命题的正确性，在多元函数中能够得以保持.例如，在多元函数中的极限，连续，可微，重积分，最大（最小）值等概念，均是用多元法给出的，所以，一元函数

24、中的“可微有极限”， “可微连续” ，“连续有极限”等命题的正确性在多元函数中仍然保持.一元函数的实数完备性定理可由“闭区间”推广到“闭区域”.（3）若关于多元函数的命题，其题设条件中所涉及的概念是用单一法给出的，而结论中所涉及的概念是用多元法给出的，则这一命题的正确性在多元函数中不再保持.例如，一元函数在处可导，则有“可导可微”， 可导连续”， 可导有极限”成立.而在多元函数中，偏导数概念是用单一法给出的，可微，连续，有极限等概念是用多元法给出的，则上述命题的正确性在多元函数中不再保持，即“偏导数存在可微”， “偏导数存在连续”， “偏导数存在有极限”不成立.参考文献1华东师范大学数学系.数

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