9年级上册数学第四章《相似三角形2》讲义(共11页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上【第四章 相似三角形2】【五、三角形相似的判定方法】1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似 简述为：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相 似 简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三

2、角形相似 简述为：三边对应成比例，两三角形相似【六、几种基本图形的具体应用】（1）若DEBC（A型和X型）则ADEABC（2）射影定理 若CD为RtABC斜边上的高（双直角图形） 则RtABCRtACDRtCBD且AC2 =AD·AB，CD2 =AD·BD，BC2 =BD·AB； （3）满足1、AC2 =AD·AB， 2、ACD=B， 3、ACB=ADC，都可判定ADCACB（4）当或AD·AB=AC·AE时，ADEACB 【六、相似三角形的性质】1、相似三角形对应角相等，对应边成比例2、相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分

3、线的比都等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方 注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等【七、相似三角形中有关证（解）题规律与辅助线作法】1、证明四条线段成比例的常用方法：(1) 线段成比例的定义 (2) 三角形相似的预备定理 (3) 利用相似三角形的性质 (4) 利用中间比等量代换 (5) 利用面积关系2、证明题常用方法归纳：(1) 总体思路:“等积”变“比例”，“比例”找“相似” (2) 找相似：通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几 个字母不在同一条直线上，能够组成

4、三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相似，然后由相似 三角形对应边成比例即可证的所需的结论. (3) 找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条 直线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、 等积代换.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。 (4) 添加辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例，以上步骤可以 不断的重复使用，直到被证结论证出为止. 注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角

5、坐标系中通常是作垂线（即得平行 线）构造相似三角形或比例线段。 （5）比例问题：常用处理方法是将“一份”看着k；对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。 （6）对于复杂的几何图形，通常采用将部分需要的图形（或基本图形）“分离”出来的办法处理。【八、画位似图形的一般步骤：】1、确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点） 2、分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）. 3、根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置. 4、顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. 注： 位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。

6、 外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形） 内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）5、在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）, 那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),【九、相似三角形中的九大考点】 考点一、比例的变形及求值 考点二、黄金分割的应用 考点三、相似三角形中的线段、面积问题 考点四、相似三角形中的定值问题 考点五、相似在实际生活中的应用 考点六、巧证比例线段 考点七、添加辅助线构造相似三

7、角形求线段长度、证明 考点八、在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图 考点九、相似三角形的综合题【考点题型解析】考点一、比例的变形及求值1、若=，则的值为（ ） A. B. C. D. 2、已知，且3a-2b+c=3，则2a+4b-3c= 考点二、黄金分割的应用1、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点 （即AC是AB与BC的比例中项），支撑点D是靠近点A的黄金分割点（即BD是AB与AD的比例中项）， 则AC= ，CD= （保留根号）2、美是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近美是一种感觉，当人体下半身长与身高的 比值越接近

8、0.618时，越给人一种美感，如图，某女士身高165 cm，下半身长x与身高l的 比值是0.60，为尽可能达到最好效果，她应穿的高跟鞋的高度大约为（ ） A4cm B6 cm C8 cm D10 cm考点三、相似三角形中的线段、面积问题1、如图，E为平行四边形ABCD的边DC延长线上的一点，且CEDC，连接AE分别交BC、BD于点F、G 若BD12 cm，求DG的长2、如图所示，ABC是等边三角形，被一有两边平行于BC的矩形所截，AB被截成三部分，则图中的阴影部分的面积 是ABC的面积的（ ） A B C D第2题第3题3、如图为ABC与DEC重叠的情形，其中E在BC上，AC交DE于F点，且A

9、BDE若ABC与DEC的面积相等， 且EF=9，AB=12，则DF= 4、已知：如图，在ABC与CAD中，DABC，CD与AB相交于E点，且AEEB=12，EFBC交AC于F点， ADE的面积为1，求BCE和AEF的面积5、如图，在RtABC内有边长分别为a、b、c的三个正方形，则a、b、c满足的关系式是 A. b=a+c B.b=ac C. b2=a2+c2 D. b=2a=2c6、如图所示，在RtABC中，ABAC，AB=3，AC=4，P是BC边上一点，作PEAB于E， PDAC于D，设BP=x，则PD+PE=（） A. +3 B. 4- C. D. 7、在正方形ABCD中，过点D作DP交

10、AC于点M，交AB于点N，交CB的延长线于点P。若MN=1，PN=3，求DM的长度。第8题第9题第10题8、如图，M是ABC内一点，过点M分别作直线平行于ABC的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4，9，49， 则ABC的面积是 9、（2006年温州）如图，在直线m上摆故着三个正三角形:ABC、HFG、DCE,已知BC=CE，F、G分别是BC、CE 的中点，FMAC，GNDC设图中三个平行四边形的面积依次是S1,S2,S3,若S1+S3=10，则S2= .10、（2008年温州）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OB上，且A1B1A2B2A3B3，A2B1

11、 A3B2A4B3若A2B1B2，A3B2B3的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和为 11、（2009温州）一张等腰三角形纸片，底边长15cm，底边上的高长22.5cm现沿底边依次从下往上裁剪宽度均 为3cm的矩形纸条，如图所示已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第 张 第11题 第12题 12、如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则AFD与四边形DFEC的面积之比是 9：11-考点四、相似三角形中的定值问题1、如图所示，已知矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P是AD的中点，PEAC于E，PFBD于F，AB

12、=3，BC=4 （1）求PE+PF的值； （2）当点P在AD上移动时，（不与AD的中点重合），则PE+PF的值是否会变化？ 若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由。2、如图，已知平面直角坐标系中，直线交x轴于点B，交y轴于点C。M为第一象限内一点，且MC垂直 于OC，连OM，作CPOM于点P，连BP，过P点作EPBP交y轴于点E， 问：当点M运动时，的值是否发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。考点五、相似在实际生活中的应用1、一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm 45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从

13、另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 2、如图所示，已知零件的外径为a，要求出它的厚度x，需先求出内径AB，但又不能直接量出AB，现有一个交叉卡 （两条直尺长ACBD）去量，若，且量得CDb，求厚度x3、某生活小区的居民筹集资金1600元，计划在一块上、下底为10m，20m的梯形空地上种植花木（如图1） （1）他们在AMD和BMC地带上种植太阳花，单价为8元/m2，当AMD地带种满花后（图1中阴影部分），共花 了160元，请计算种满BMC地带所需的费用； （2）若其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m

14、2和10元/m2，应选择哪种花木， 刚好用完所筹集的资金；（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得APB DPC且SAPD=SBPC，并说出你的理由考点六、巧证比例线段1、如图所示，B=C，求证：（1）；（2）BE×CF=CD×BF2、如图所示，在ABC中，AB=AC，B=E，求证：AB2=AD×AE3、如图所示，点E是平行四边形ABCD的一边DA的延长线上的一点，CE交BD于点F，交AB于点G。 求证：CF2=EF×GF4、如图，在O的内接ABC中，AB=AC，D是上一点，AD的延长线交BC的

15、延长线于点P，（1）求证：AB2=AD×AP（2）若O的直径为25，AB=20，AD=15，求PC和DC的长5、如图，在ABC的外接圆O中，D是的中点，AD交BC于点E，连接BD。（1）列出图中所有相似三角形；（2）连接DC，若在上任取一点K（点A，B，C除外）， 连接CK，DK；DK交BC于点F，DC2=DF·DK是否成立？ 若成立，给出证明；若不成立，举例说明。6、（1）如图1，在ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE/边长，AQ交DE于点P,求证：= （2）如图，ABC中，BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上，连接AG,AF

16、分别交DE于M,N两点。 如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长； 如图3，求证：MN=DM·EN考点七、添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明1、如图，ABC中，D是AB上的点，E是AC上的点，延长ED与射线CB交于点F若AEEC=12， ADBD=32求：FBFC的值2、如图所示，点M、N分别在ABC的边AB、AC上，且BM=CN，MN、BC的延长线交于点P， 求证：AC×NP=AB×MP3、如图所示，在等边三角形ABC中，P是BC上任意一点，线段AP垂直平分线分别交AB、AC于点M、N， 求证：BP×CP=BM×CN考点八、在平面直

17、角坐标系中的位似变换及位似作图1、如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似， 且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（ ） A(3，2) B(2，3) C(2，3)或(2，3) D(3，2)或(3，2)OABCyx462、如图，正方形ABCD和正方形OEFG中, 点A和点F的坐标分别为 (3,2)，(1,1)，则两个正方形的位似中心 的坐标是_ 3、如图所示，已知等边三角形ABC，求作等边三角形DEF，使它的三个顶点分别在三角形ABC的边上，且EFBC考点九、相似三角形的综合题1、如图，ABC

18、D，A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点(不与A、D重合)，PEBP，P为垂足，PE交DC于点E， (1) 设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围； (2)请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由.2、如图，在ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PEAB交AC于E，PFAC交AB于F. (1) 设BP=x，PEF的面积为S，求S与x的函数解析式和x的取值范围； (2) 当P在BC边上什么位置时，S值最大.3、如图所示，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EFEC交AB于点F，连接FC（ABAE） （1）AEF与EFC是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由； （2）设，是否存在这样的k值，使得AEF与BFC相似 若存在，证明你的结论并求出k的值；若不存在，说明理由。4、如图，在ABC中，C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一边QP在边上，E、F两点分别在AB、AC上， AD交EF于点H。 （1）求证：; （2）设EF=，当为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求其最大值； （3）当矩形EFPQ的面颊最大时，该矩形EF