各个机构答案精通1

1、专升本辅导轻奢品牌2020 年浙江普通“专升本”高等数学答案解析一、选择题1.D(1+ 1 )n - e【解析】：要计算 I = limn，利用洛必达法则之前先进行变量替换，1nn®¥令 x = 1 ，则n11 ln(1+ x)1 ln(1+ x)-1I = lim (1+ x) x - e = lim e x- e = e lim e x-1xxxx®0x®0x®0= e lim ln(1+ x) - x = e lim- x= - ex®0 2x(1+ x)2x2x®02.B【解析】：因为 f (x) 在 x = 0 处

2、可导，f (a + x) - f (a - sin x)则limxf (a + x) - f (a) + f (a) - f (a - sin x)x®0= limxx®0f (a + x) - f (a) + lim f (a - sin x) - f (a) × sin x= lim- sin xxxx®0x®0= f '(a) + f '(a) = 2 f '(a)3.Bx 1x【解析】：令 F (x) =f (t)dt +òòdt ，则 F (x) 在a,b 上连续，abf (t)a 1a 1

3、a且 F (a) =f (t)dt +òòdt =òdt < 0abbf (t)f (t)1专升本辅导轻奢品牌b 1bbF (b) =f (t)dt +òòdt =f (t)dt > 0òabf (t)a根据零点定理得，在(a, b) 内至少有一点x使 F (x) = 01又 F '(x) = f (x) +³ 2 > 0f (x)因此 F (x) 在a, b 上单调递增，故只有一个零点.4.C【解析】：¥uu121) ，且正项级数åun 收敛，故n=1因为 (-1)=n

4、3;(u +n2 nnn2 + a2n2 + a2n2 + a2¥¥1¥unåån=1也收敛，通过比较判别法知å(-1)n=12nu 收敛，级数绝对收敛.nn + a22n + a22n=15.D【解析】：由一阶线性方程的通解公式，得 y = e-ò f '( x)dx (ò f (x) f '(x)eò f '( x)dxdx + C)= e- f (x) (ò f (x)de f (x) + C)= Ce- f ( x) +二、填空题6. - 2f (x) -1f (

5、1) - (1- x) = 0 - (-1) × f ¢(1) = -1 Þf ¢(1) = -2【解析】： lim2x2x®0因为 f (x) = f (x + 4)所以 f (x) 是周期为 4 的周期函数，故 f ¢(x) 也是周期为 4 的周期函数k切 = f ¢(5) = f ¢(1) = -22专升本辅导轻奢品牌7. 0【解析】： y¢ =1× - (1+ x) - (1- x) +× (1- x) + (1+ x)11+ (1- x )21+ (1+ x )2(1+ x)

6、2(1- x)21+ x1- x- 2112=×+×(1- x)2(1+ x)2(1+ x)2(1- x)21+(1+ x)21+(1- x)2- 22=+= 0(1+ x)2 + (1- x)2(1- x)2 + (1+ x)28. e2 f ( x )f (x )f ( x) x2= lim= 4 ,得lim= 2 ，【解析】：由lim1 x2x®0 1 - cosxx®0x®02 x ´ f ( x)æf ( x) ö f ( x)x2故有limç1 += e 2 .÷øxx&#

7、174;0 è9. 12【解析】： lim f ( x)= lim (eax - a) = 1- a ,x®0-x®0-lim f ( x) = lim (acos2x + x) =a ,x®0+x®0+f ( x ) 在 x = 0 连续，因为函数则有 a = 1 - a ，即 a = 1 .210. 0ddxbbòòarcsin xdx = 0 .【解析】： arcsin xdx 是一个常数，所以其导数值为零，即aa11. æ 0, 1 öç4 ÷èø1x【解析

8、】：令 f ¢( x) = 2 -= 0 ，3专升本辅导轻奢品牌解得驻点 x = 1 ，函数 f ( x ) 在(0, +¥) 内无不可导点.4且当 x Îæ 0, 1 ö 时，f ¢( x ) < 0 ，ç4 ÷èø当 x Îæ 1 , +¥ö 时，f ¢( x ) > 0 .ç 4÷èøæ1 ö( )故函数 f x 的单调减区间为 0,.ç4 ÷

9、32;ø12. 3121æ 1 öæ ö11ò= arcsin- arcsin -=- -=.【解析】：dx= arcsin x 2ç 2 ÷ç 6 ÷12- 12èø6èø31 - x-223213.33【解析】: a ´ b=a × b × sinq= 1×1×=2214. f (x) = 2e2x - ex (2 + x)【解析】:对上式左右两边同对 x 求导得 f ¢(x) = 2 f (

10、x) + (1 + x)ex ,根据一阶线性微分方程通解:y = eò2dx C + ò (1 + x)exeò-2dxdx = e2xC + ò (1 + x)e-xdx = e2xC + ò (e-x + xe-x )dx= e2xC - e-x - xe-x - e-x = Ce2x - ex (2 + x) ，又 f (0) = 0 所以代入通解得C = 2 ,所以 f (x) = 2e2x - ex (2 + x)1bn15.æ 1öæ1 ö1æöæö11

11、11111【解析】： S = ç-÷ + ç-÷ + ç-÷ +L + ç-÷ =-，bbbbbbbbbnbè 12 øè 23 øè 34 øè nn+1 ø1n+14专升本辅导轻奢品牌¥ æöæ 1ö1111b1所以级数åç-÷lim Sn = limç-÷ =n=1è bn三、计算题bn+1 øn®&#

12、165;n®¥è b1bn+1 ø1 (2x)21 (2x)21- cos2x2= lim 2= lim= -616.【解析】： limx®0 1 (-sin2 x)x®0 1 (-x2 )x®0 3 1- sin2 x -13317.【解析】：将 x = 0 带入方程arcsin x × ln y - e2x + y3 = 0 得 y= 1x=0方程arcsin x × ln y - e2x + y3 = 0 两边同时对 x 求导得1× ln y + arcsin x × dy -

13、2e2x + 3y2 × dy = 0ydxdx1- x2dydy23将 x = 0 ， y= 1代入上式得- 2 + 3= 0 Þ=x=0dx x=0dx x=018.【解析】：ìex-3 ,x - 3 > 0,x - 3 £ 0.f ( x)=íf ¢( x ) = ex-3 ；y =当 x > 3 时，îe3- x ,当 x < 3 时， f ¢( x ) = -e3-x ；当 x = 3 时，x-33- xe-1e-1( )( )¢¢fx = lim= 1fx = li

14、m= -1，+-x - 3x - 3x®3+x®3-f ( x ) 在 x = 3 处不可导.可见该函数没有驻点.计算 f (5) = e2 ， f (-5) = e8 ， f (3) = e0 = 1.通过比较上述函数值得函数 y = e x-3 在区间-5, 5 上的最大值为e8 ，最小值为 1.04òò=x- xdx +x xdx19.【解析】：原式-10304= -òò(-x) dx +x 2 dx3-105专升本辅导轻奢品牌45220ò=(-x) d (-x) +x35-100526462=(-x) 25+=55-

15、15 0256462(-x)2=+=55-1®®20.【解析】：直线l 的方向向量 s = ，平面p的法向量 n = ，- 2,-7,34,-2,-2® ®®®由于 s × n = -8 + 14 - 6 = 0 ，故 s n ，所以直线与平面的关系为平行，又直线上的点(-3,-4,0) 不在平面p上，故直线与平面的关系为平行但l 不在p上。¥xn21.【解析】：因为e = å n! , - ¥ < x < +¥ ,xn=0(-t 2 )n(-1)n(-1)nx ¥

16、;¥¥x-t 2x 2n故 f (x) = ò0 edt = ò0 ådt = ån=0dt = å n!(2n + 1) x2n+1ò< ¥)t( xn!n!0n=0n=0f ( x ) = x ln x ， x > 0 .22.【解析】：设f ¢( x ) = ln x + 1 ， f ¢( x) = 1 . 当 x > 0 时， f ¢( x) = 1 > 0 ，x所以 f ( x ) = x ln x 在(0, +¥) 上是凹函数.x

17、f (a ) + f (b )a + ba + ba ln a + b ln b，即ln<，f æ a + b ö <则有ç÷222è2ø2æ a + b öa+bæ a + b öa+b< ln aabb ，则有 aabb > ç整理得 ln ç÷÷.è2øè2ø6专升本辅导轻奢品牌23.【解析】：方程变形为 y¢ = 2- y ，此方程为齐次方程.yxx令u = y ，有 y =

18、 ux ，两边对 x 求导得 y¢ = u + xu¢ ，x代入求解方程得u + xu¢ = 2u - u ,du= dx ，x即 xu¢ = 2 u - 2u 分离变量得2 u - 2ud( u -1)1- u du dudx两端积分ò 2= òu - 2u2u ) = ò=ò，u (1-x得-ln (1 - u ) = ln x - ln C ，整理得 x (1 - u ) = C ，回代u = y ，得原方程的通解为 x - xy = C .x四、综合题（每小题 10 分，共 30 分）24.【解析】：设曲线

19、 y = f (x) 与 y = -x2 + px + q 在(a, b) 内的交点为(x , f (x ) ，00则 a < x0 < b ，取辅助函数 F (x) = f (x) - (-x + px + q) .2由题设条件知 F (x) 在a, b 上也有二阶导数，且 F (a) = F (x0 ) = F (b) = 0由罗尔定理知，存在x1 Î(a, x0 ) ，x2 Î(x0 , b) ，使 F '(x1 ) = f '(x1 ) + 2x1 - p = 0 ， F '(x2 ) = f '(x2 ) + 2x2 -

20、 p = 0再对 F '(x) 在x1 ,x2 上应用罗尔定理知，存在xÎ (x1 ,x2 ) ，使得 F '(x) = f ''(x) + 2 = 0 ，即 f ''(x) = -225.【解析】：假设方程在区间0,1内有两个不同的实根 x1, x2 ,且 x1 < x2令 f (x) = x3 - 3x2 + C ，则 f (x ) = f (x )12且 f (x) 在x1, x2 上连续，在(x1, x2 ) 内可导，7专升本辅导轻奢品牌由罗尔定理得，存在xÎ(x1, x2 ) Ì (0,1) 使得 f