全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法

1、全等三角形问题中常见的辅助线的作法例2、如图，ABC中，E、F分别在ABAC上，DELDF,D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等。常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形.2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形.3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自

2、角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明.这种作法，适合于证明线段

3、的和、差、倍、分等类的题目.6）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来,例3、如图，ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/BAE.1、以ABC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtABD和等腰RtACE,BADCAE90，连接deMN别是BGDE勺中点.探究：AMTDE勺位置关系及数量关系.（1）如图当ABC为直角三角形时，AMIDEE勺位置关系是,线段AMWDE勺数量关系是;（2）将图中的等腰RtABD绕点a沿逆时针方向旋转（0AC,

4、/1=/2,P为AD上任意一点，求证；AB-ACPB-PC2、如图，AD/BGEA,EB分别平分/DAB,/CBACD过点E,求证;AB=AD+BC应用：如围.在四边形AllCD中.加少或点且是AB上一个前点.若日二口）祈=附,且，师判断。十ME号呢的关系并证明你的结治.3、如图，已知在VABC内,0BAC60,40,P,Q分别在BC,CA上，并且AP,BQ分、平移变换4、如图，在四边形 ABCD43, BO BA,AD= CQ BD平分 ABC ,求证： A C 180BC例1 AD为 ABC的角平分线，直线 MNL AD于A.E为MNLh一点， ABC周长记为PA , EBC周长记为PB.

5、求证PB PA.例2如图，在 ABC的边上取两点D、E,且 BD=CE 求证：AB+ACAD+AE.A1、如图，已知在 ABC中，/ B=60 , ABC的角平分线 AD,CE相交于点O,求证：OE=ODB DE C别是BAC,ABC的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP1、已知四边形 ABCD 中，AB AD, BC CD, AB BC , / ABC 120, / MBN 60o（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=a , AC=b ,求AE、BE的长.立,明./MBN绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长线）于当/MBN绕B点旋转到 AE CF时（如图1）,易证

6、AE CF EF .当/MBN绕B点旋转到AE 请给予证明；若不成立，线段CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成AE, CF , EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证2、如图，ABC中，AD平分/BACDGLBC且平分BC,DHAB于E,DF，AC于F.(图1)应用:1、如图，OP是/MON勺平分线，请你利用图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在ABC43,/AC超直角，/B=60,ADCE分别是/BAC/BCA勺平分线，ADCE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；（2）如图，在AB

7、C43,如果/ACM是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。（第23题图）2、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点MkN,D为VABC外一点，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：当MN分别在直线ABAC上移动时，BMNGMN之间的数量关系及AMN的周长Q与等边ABC的周长L的关系.（I）如图1,当点MN边ABAC上，且DM=DNf,BMNGMN间的数量关系是此时-;L（II）如图2,点MN边ARAC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3,当MN分别

8、在边ARCA的延长线上时，若AN=X,则Q=（用X、L表示）.五、旋转例1D为等腰(1)(2)RtABC斜边AB的中点，DMLDN,DM,DN别交当MDN绕点D转动时，求证DE=DF若AB=2,求四边形DECF勺面积。已知，如图，三角形ABC是等腰直角三角形，/ACB=90,F是AB的中点，直线l经过点C,分别过点AB作l的垂线，即ADLCE,B已CE(1)如图1,当CE位于点F的右侧时，求证：ADeACEB(2)如图2,当CE位于点F的左侧时，求证：ED=BE-AD(3)如图3,当CE在ABC的外部时，试猜想EQADBE之间的数量关系，并证明你的猜想.已知RtzXABC中，ACBC,/C90

9、,D为AB边的中点，EDF90,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.1当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图1),易证SzxDEFSacef-Saabc.2当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立,不需证明.Sadef、Sacef、SaABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想,F图1.如图1,四边形ABC虚正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D,且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A,B重合)，另一条直角边与/CBM的平分线BF相交于点F.如图141,当点E在AB

10、边的中点位置时： 通过测量DEEF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是; 连接点E与AD边的中点N,猜想NE与BF满足的数量关系是; 请证明你的上述两猜想.如图142,当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N,使得NE=BF进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系并证明受数学课上，张老师出示了问题：如图1,四边形ABC虚正方形，点E是边BC的中点.AEF900,且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证：AE=EF.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME则AMfEC易证AMEAECF,所以AEEF.在此基础上，同学们作了进一步的研究：(1)小颖提出

11、：如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”，其它条件不变，那么结论AE=EF仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；(2)小华提出：如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理I如图14-1,在4ABC中,BC边在直线l上，AC1BC,且AC=BC.EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP.(1)在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系

12、；(2)将4EFP沿直线l向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q连结AP,BQ猜想并写出BQWAP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；(3)将4EFP沿直线l向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q,连结AP,BQ你认为(2)中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.1.直线CD过BCA的顶点C,CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且BECCFA(1)若直线C*过如图1,若如图2,若BCA0(2)如图3,若直线量关系，并给予证明.BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题:90,90,贝UEFB

13、EAF(填“BCA180,若使中的结论仍然成立，则C*过BCA的外部,BCA,请探究EF、与BCA应满足的关系BEAF三条线段的数A(E)C(F)图14-13.已知ABC为等边三角形，点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合)，以AD为边作菱形ADEF(A、DE、F按逆时针排列)，使/DAF=60,连接CF.(1)如图1,当点D在边BC上时，求证：BD=CFAC=CF+CD(2)如图2,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD1否成立？若不成立，请写出AGCF、CD之间存在的数量关系，并说明理由；.在RtMBC中,AC=BC,/ACB=90,(1)如图1,E为线段DC

14、上任意一点，点LFC,交直线AB于点H.求证：DG=DC判断FH与FC的数量关系并加以证明.D是AC的中点,DGLAC交AB于点G.F在线段DG上，且DE=DF连结EF与CF,过点F作FH(3)如图3,当点D在边BC的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出间存在的数量关系.ACCF、CD之(2)若E为线段DC的延长线上任意一点，点F在射线DG上,(1)中的其他条件不变，借助图2画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在小题直接写出结论，不必证明)中得出的结论是否发生改变.(本（图2）已知四边形ABCD中，ABAD,BCCD,ABBC,/ABC120,/MBN60o,/MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD,DC（或它们的延长线）于E,F.当/MBN绕B点旋转到AECF时（如图1）,易证AECFEF.当/MBN绕B点旋转到AECF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE,CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（2）如图8,AOAB固定不动，保持AOCD勺形状和大小不变，将AOC噬着点O旋转（AOAB和AOCM能重叠），求/AEB的大小.如图1,现有一正方形ABCD将三角尺的指直角顶点放在A点处，两条直角边也与CB的延长线、DC分别交于点E、F.请你通过观察、测量