(精)2018年中考数学真题分类汇编第三期39开放性问题试题含解析20190124377

1、开放性问题解答题. (08·湖北十堰·12分）已知抛物线y2+bx+c经过点(2，0）,（、)与x轴交于另一点,连接BC（1）求抛物线的解析式；()如图,P是第一象限内抛物线上一点,且SPBC,求证:PBC;(3)在抛物线上是否存在点，直线BD交x轴于点，使AE与以A,B，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】(1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作PO和B的高线，根据面积相等可得OECF,证明OEGCG，则OG=CG=,根据三角函数列式可得的坐标，利用待定系数法求一次函数P

2、和BC的解析式,k相等则两直线平行；()先利用概率的知识分析,B，C，中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与ABE有可能相似,即ABC和CE，当AE与以A，B，中的三点为顶点的三角形相似，如图,根据存在公共角AEBAC，可得AEB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线B的解析式，与抛物线列方程组可得交点的坐标;当BE与以B，E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论.【解答】解：(1）把点A（,0）,(0、4)代入抛物线yx2bx+c中得:，解得:,抛物线的解析式为：yxx4；(2）当y时,x2x4=0,解得:x或4,C(,0）,如图1，过O作OBP于E，过作FB于F，设P交x轴

3、于G，SPO=SPC，OEC，易得EGCFG,OG=C2,设（,2x4）,过P作M轴于M，nPB=,BM=2PM,4+x2x=2，6x=0,x(舍),x2=6,P（6,8)，易得A的解析式为：y=x+2，BC的解析式为:y,APB;(3）以，C，E中的三点为顶点的三角形有ABC.BE.E.E,四种，其中AB重合,不符合条件，AC不能构成三角形,当AB与以A，B，C,中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形:B和BE，当ABE与以A，B，中的三点为顶点的三角形相似，如图2,BAEAC,ABEABC，AB=B=45°,EACB,AE=，（，)，（0,4），易得BE:y=,则x2x44,

4、x（舍）,2=，（,)；当ABE与以B,C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图,A=BE，当ABEBE时,BECE，=,设B=2m，CE=4,RtO中，由勾股定理得：BE=OE2+B，3m8m=，（m2)（3m）=,m=2,2=,OE4m4=或，O2，AEB是钝角,此时ABE与以B,.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4,(12，0）;同理得BE的解析式为:y=x4,x4=x2x，x或0（舍）（，)；综上,点的坐标为（，）或(,).【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及

5、勾股定理，第3问有难度，确定三角形与AB相似并画出图形是关键.(208·湖北江汉·1分）抛物线x+x1与x轴交于点A,B(点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,其顶点为D将抛物线位于直线l：y=t(t）上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象.(）点A,B，D的坐标分别为（，0) , (3，） , （,) ;（2)如图,抛物线翻折后，点D落在点E处当点E在BC内(含边界)时,求t的取值范围；（3）如图,当t0时，若Q是“”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.【分析】

6、（1)利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.的坐标利用待定系数法可求出直线B的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在,设点的坐标为(m，0)，则点Q的横坐标为m,分m或>及3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标，此题得解【解答】解:(）当y=0时,有x2x1=0,解得:x=，x,点A的坐标为(,），点B的坐标为(3,0)y=x+x1=(2x）1(x)2，点

7、的坐标为（,).故答案为:(,）;(3，）；（，）（2)点E.点关于直线y=t对称，点的坐标为（，2t）当x0时,y=2+x1=1,点的坐标为(0，)设线段BC所在直线的解析式为y=kxb,将B(，0）、C（0，1)代入ykx+b,解得:，线段BC所在直线的解析式为y=x.点E在ABC内（含边界)，,解得:t.（3)当<或x>3时，=x+x；当x3时,y=xx+1假设存在,设点P的坐标为（，0），则点的横坐标为m.当或m时，点Q的坐标为（m,2+x1)（如图1）,以CQ为直径的圆与轴相切于点P，CP，CQ2=CP2+PQ，即m2+（m+m）2=m21+2（m+m1）,整理，得：m1

8、,=,点P的坐标为（，)或（,）;当m3时，点Q的坐标为（，x2+)（如图2），以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，CPPQ,CQ2CP+Q，即m2+(mm+2）m2+1m+（m1），整理，得:11m228+12=,解得:m3，m4=,点P的坐标为（，0）或（1，0)综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为(,0)、（，0）、（,0)或(,0）3（208·辽宁省盘锦市)如图1,点E是正方形ABD边上任意一点,以DE为边作正方形DEFG,连接F，点是线段BF中点，射线M与B交于点H,连接M.(1）请直接写出CM和EM的数量关系和位置关系;（2)把图1中的正方形DF绕点

9、D顺时针旋转45°,此时点恰好落在线段CD上，如图2,其他条件不变,（1)中的结论是否成立，请说明理由;(3）把图1中的正方形EFG绕点顺时针旋转90°，此时点E.恰好分别落在线段D.C上，如图,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由.【解答】解：（）如图1,结论：CM=EM，MEM理由:AEF,DBC,CEF，EFMHBM.在FM和BMH中，FMEBMH,HM=E，E=BH.CD=BC,CECHHC=90°，H=EM，CMME，CME.(如图,连接AE,四边形BC和四边形EDGF是正方形,FDE=45°,CBD=4°,点B.D在同一

10、条直线上C=90°,F=90°,M为F的中点,CM=F,=AF，CM=ME.FD=°,EFC=5°.C=FM=，MCFMFC,ME=MEF，MCF+MF=13°，CME=36°135°15°=90°，CM.（)如图3,连接CF,G,作MNCD于N,在EDM和GDM中,，EDMGDM，MMG,=MGM为BF的中点，FGMNBC,GN=N,又CD,MCMG,MD=M,MG=MC.G+MGD=1°，CG+MED=18°，CE+CDE=10°CDE=90°，C90°

11、;,(1）中的结论成立4. (8乐山2分)已知AB中，AC90°，点D.E分别在B.AC边上，连结BE.A交于点P,设ACkBD，CD=kE，为常数，试探究AP的度数:（1）如图，若k=1,则AP的度数为 ;(）如图2,若=,试问（1)中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出APE的度数.(3)如图3，若k=,且D.E分别在CB.CA的延长线上,（2）中的结论是否成立，请说明理由解:(1）如图1，过点A作AFB，过点B作BFD相交于F，连接EF,FBE=APE,FC=C0°,四边形ADBF是平行四边形,BD=AF，BF=ADABD,CD=E,AF=ACAC=90

12、°,FAAD,EF=ADB,FEA=ADAD+CAD=0°，FEA+CAD90°=EHD.DB，E=°.F=B,FBE5°，A=45°. 故答案为:45°.(2)(1)中结论不成立,理由如下：如图2,过点A作AFCB,过点B作BAD相交于,连接E,FBE=PE，F=C=9°,四边形ABF是平行四边形，BDA,BF=A.AC=BD,CD=AE,D=，FACC=0°，FAAC,FEAAD.DC+CAD90°,FEA+CAD=90°=MD.DB，EFB=90°.在RtFB中,anF

13、E=,FBE=30°，APE=0°,（)(2)中结论成立，如图3,作EHD,DB,EH,DH相交于H，连接AH，EADH,HC=C=90°，四边形EDH是平行四边形,E=DH,EH=BD.AC=BD,CD=E，.HE=C=0°，ADHEA，ADHAD+AD=90°，HAE+AD90°,HAD90°.在RDAH中,anAH=,AD=0°,PE=30°. （2018莱芜12分)如图,抛物线yax2+bxc经过A(1,0)，(,)，C(0,3)三点,为直线B上方抛物线上一动点，EBC于E（1）求抛物线的函数表达

14、式;(2）如图1,求线段E长度的最大值；（3）如图2,设A的中点为F,连接C,CF，是否存在点D,使得CD中有一个角与CFO相等？若存在，求点D的横坐标;若不存在，请说明理由.【分析】(1)根据待定系数法，可得函数解析式;(2）根据平行于轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标,可得DM,根据相似三角形的判定与性质，可得DE的长,根据二次函数的性质，可得答案；（3）根据正切函数，可得CFO,根据相似三角形的性质,可得H,BH,根据待定系数法,可得CG的解析式,根据解方程组,可得答案.【解答】解：(1)由题意,得,解得，抛物线的函数表达式为y=x+x+；（2）设直线BC的解析是为y=k+b,解得y=x3，设D（a，a+a+3),（0a），过点作DMx轴交BC于M点，如图1,M（，a+3),DM=（a2+a3)(a+3)=2+3a，DME=OCB，DM=BOC，DEMBOC,OB=，OC3，BC5，DMD=a2+a(a2)2+，当a=时,D取最大值，最大值是，（）假设存在这样的点D，C使得中有一个角与CFO相等,点F为A的中点，OF=,nCF=2,过点B作BGBC，交D的延长线于G点,过点G作G轴,垂足为，如图2，若DCE=CFO,taDCE=2，BG=1,GBHBO,=，GH=,H=6,G（0，8）,设直线CG的解析式为y=+b,解