一道中考压轴题的思考与拓展

1、一道中考压轴题的思考与拓展题目：2021北京如图，在平面直角坐标系 xOy中，ABC三个机战的坐标分别为 A 6,0 , B 6,0 ,1C 0,4.3，延长AC到点D,使CD= AC ,过点D作DE / AB交BC的延长线于点E. 21求D点的坐标；2作C点关于直线DE的对称点F,分别连结DF、EF,假设过B点的直线y kx b将四边形CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；3设G为y轴上一点，点P从直线y kx b与y轴的交点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴 上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P点按照上述要求到达 A点

2、所用的时间最短。要求：简述确定 G点位置的方法，但不要求证明 答案：1D点的坐标为3,6.3.2求点M0,63可得直线BM的解析式为y . 3x 6込.3确定G点位置的方法：过A点作AH丄BM于点H 那么AH与y轴的交点为所求的G点.由 OB 6, OM 6.3 ,可得 OBM 60° , BAH 30° .在 RtOAG 中，OG AO?tan BAH 2、3. G点的坐标为0,2 3.或G点的位置为线段 OC的中点思考：G的方法，并没有给第3小题对学生的合情推理能力要求较高，答案只给出了找点 出严格的证明，那么种方法具有一般性吗 ？如果改变点B的位置，那么过A点作AH丄

3、BM 于点H , AH与y轴的交点要发生改变，即点 G的位置要发生改变，事实上点 M与A的 位置没有改变，所以点 G的位置一定不会发生变化，可见这种方法没有一般性.笔者不禁思考，有其他的方法吗？如果作OAG 30，交y轴于点G 与点M在y轴的同侧，也可以找到点 G,那么这种方法是否具有一般性呢？笔者将题目进行了拓展探究。拓展:1.假设点B为y轴上的一点，点 A为x轴上的一点，设 G为y轴上一点，点 P从B点 出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的2倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。(1)当 OAB 30

4、时，作 OAG 30，交y轴于点G (点G与点B在y轴的同 侧)，点G就是所求的点，简要证明如下：在线段BG上任取一点D，连结AD，作知 AGO 60 , DGF30，在 Rt DFG 中,GM AG，交AD于点M，作DF GM，垂足为F。 在Rt AGM中，AM>AG，因为点P在两条线段 上运动的速度相同， 所在点P在AG上运动的时间 比在AM 上运动的时间短；由 OAG 30，可11DF= DG，而 DM>DF，所以 DM> DG，因为点22P在DG上运动的速度是 DM上的两倍，所以点 P 在线段DG上运动的时间比在 DM上运动的时间 短，而BD是公共的局部，所以点 P从

5、Bt Gt A 比从Bt DtA的时间短。在线段OG上任取一点E,连结AE ,作EN AG ,垂足为N。在Rt AEN中，AE>AN , 因为点P在两条线段上运动的速度相同， 所以点P在AN上运动的时间比在 AE上运动一 1的时间短；易证 GEN 30，在Rt GEN中，GN=?ge，因为点P在GE上运动 的速度是GN的两倍，所以点P在线段GN和GE上运动的时间相同；而 BG是公共部分，所以点 P从Bt Gt A比从Bt Eta的时间短。(2)当 OAB 30时，点B就是所求的点(即 点G与点B重合)，简要证明如下：在线段OB上任取一点E ,连结AE ,作EN AG ,垂足为 N。在 R

6、t AEN 中，AE>AN ,因为点P在两条线段上运动的速度相同，所以点P在AN上运动的时间比在 AE上运动的时间短；由 OAB 30易证 GEN OAB 30，在1Rt GEN中，GN -GE,因为点P在GE上运 2动的速度是GN的两倍，所以点 P在GN上运动 的时间小于或等于在 GE上运动的时间；可见点P从Bt A比从Bt EtA的时间短。2 .假设点B为y轴上的一点，点 A为x轴上的一点，设 G为y轴上一点，点 P从B点出发，先沿y轴到达G点，再沿GA到达A点，假设P点在y轴上运动的速度是它在直线 GA上运动速度的n倍，试确定G点的位置，使P点按照上述要求到达 A点所用的时间最短。

7、如果n 1，很明显，点P沿BA运动的时间最短，这时点 G与点B重合。如果n 1, 分两种情讨论：1(1)当 sin OAB 时，作 n1OAG,使sin OAG ，交y轴于点G 点G与点 nB在y轴的同侧，点G就是所求的点，简要证明如下: 在线段 BG上任取一点 D，连结 AD，作GM AG，交AD于点M，作DF GM，垂足 为F。在Rt AGM中，AM>AG，因为点P在 两条线段上运动的速度相同，所在点 P在AG 上运动的时间比在 AM上运动的时间短；由DGF OAG 90 AGO ，可知11sin DGF ,在 Rt DFG 中，DF= DG, nn1而DM>DF，所以DM&g

8、t; DG，因为点P在DGn上运动的速度是 DM上的n倍，所以点P在线 段DG上运动的时间比在 DM上运动的时间短， 而BD是公共的局部，所以点 P从Bt Gt A 比从Bt DtA的时间短。在线段 OG上任取一点 E，连结AE，作EN AG，垂足为N。在Rt AEN 中, AE>AN， 因为点P在两条线段上运动的速度相同， 所以点P在AN上运动的时间比在 AE上运动1的时间短；易证 GEN BAG 90 AGO，在Rt GEN中，GN= ge，因 n为点P在GE上运动的速度是 GN的n倍，所以点P在线段GN和GE上运动的时间相同；而BG是公共局部，所以点P从Bt Gta比从Bt Eta的时间短。点P在AN上运动的时间比在AE上运动的时间短；由GENOAB90OBA 可知sin1 BEN -，在Rt GEN 中，1nGN -GE，因为点 P在GE上运动的速度是nGN的n倍，所以点P在GN上运动的时间小 于或等于在 GE上运动的时间；可见