46不对称钢板弹簧的刚度计算

1、不对称钢板弹簧的刚度计算东风汽车工程陈耀明2008 年 6 月 15 日不对称钢板弹簧的刚度计算1、垂直变形的刚度图 1 的符号意义如下：Df根部变形Df1短端部变形Df 2长端部变形DP根部载荷增量DP1DP2短端部载荷增量长端部载荷增量板簧短端半长l1板簧长端半长l2q板簧倾角变化2从图中的变形，可导出：Df 2 - Df1 = Df- Df1-（1）l1 + l2l1从力的平衡，有：DP2 × l2 = DP1 × l1-（2）已知：= DP1-（3）C1Df1= DP2-（4）C2Df2式中C1 、C2 分别为板簧短端、长端的刚度令： l = l2称为半长比l1=

2、C2C1称为刚度比K定义：C = DP-（5）Df称为板簧刚度。将式（3）、（4）、（5）代入式（1），得：DP2 - DP1C2C1 = l1 + l2= 1 + lDP - DP1CC1DP2 - DP1C2C1l1= (1 + l)( DP - DP1 )CC1-（- 6）从式（2），将DP1 = DP2 × l 代入式（6），得：3DP2 - DP2C2C1× l = (1 + l)( DP - DP2 × l)CC1整理后，得：2DPCD) = (1 + l) ×-（7）1从平衡条件，有：DP = DP1 + DP2代入式（7）：-（8）DP

3、+ DP2) = (1 + l ) ×12 DC1C = 1 + l× DP1 + DP2l2DP1+2C2C1= 1 + l× (1 + DP1 )l2DP1+2C2C1= 1 + l× (1 + l)+ l21C2C1(1 + l)2=-（9）l21+C1C2= C2C1若将刚度比K代入，则：= (1 + l)2 × K ×= (1 + l)2-（- 10）× C2CC11 + Kl21 + Kl2此计算式与混合式空气悬架的刚度计算公式完全一样。42、变形后的倾角变化从图 1 可见，变形后的倾角变化为：tanq = Df

4、- Df1-（11）l1将式（3）、（5）以及式（10）的式代入式（11），经整理后得：DP- K × l × (1 + l) ùétanq =ê1úC × l(1 + Kl2 )1 ëûéùDPL × K × l-（12）=ê1 - lúC × l× (1 + Kl )21 ë1û式中L = l1 + l2 为板簧全长。3、侧倾角刚度不对称板簧垂直变形时伴有倾角变化，当侧倾时，左、右两侧板簧垂直变形方向相

5、反，似乎要伴随着相反的倾角变化。由于车轴或车桥的扭转刚度很大，左、右板簧根部要维持不变的相对角度，这时就强迫板簧反扭一个q 角，从而产生了端点反力的变化。图 2 的符号意义如下：Df1¢Df 2¢DP1¢DP2¢反扭后短端部的附加变形反扭后长端部的附加变形短端部对应的载荷增量长端部对应的载荷增量DP¢根部对应的载荷增量由于q 角很小，不考虑变形或力的轻微偏转所产生的影响。亦不5考虑变形前后弦长的变化。从图 2，可导出：Df ¢ = l × tanq = DP éL × K × lù&#

6、234;1 -（13）ú11l × (1 + Kl2C)ë1ûDf ¢ = l × tanq = DP × l é- L × K × lù-（14）ê1ú22l × (1 + Kl )2Cë1û与式（3）、（4）类似，有：DP1¢ = Df1¢ × C1DP2¢ = Df 2¢ × C2-（15）-（16）将式（13）、（14）代入式（15）、（16），得：6= DP 

7、5; C1 éL × K × lùDP¢ê1 - l-（17）ú1× (1 + Kl )2Cë1û= DP × l × C2é L × K × lùDP¢ê1 - l-（18）ú2× (1 + Kl )2Cë1ûDP¢ = DP1¢- DP2¢L × K × l= DP éùê1 - l×

8、 (C - l × C )-（19）ú× (1 + Kl )122Cë1û左、右悬架的根部载荷增量DP¢ ，其大小相等，方向相反，因而抗侧倾的力矩增量为：DM = DP¢× D而侧倾角刚度的增量为：= DM = DP¢× D-（20）DCfff无倾角反扭时的侧倾角刚度为：= DP × D-（21）Cf 0f式中左、右板簧跨距Df侧倾角将式（19）代入式（20），得：= DP × D × éL × K × lù× (C

9、 - l × C )-（22）DCê1 - lúfC ×f× (1 + Kl )122ë1û将式（21）代入式（22），得：× é- L × K × lù × (C= Cf 0C- l × C )-（- 23）DCê1ú1fl × (1 + Kl )22ë1û最后，侧倾角刚度为：Cf = Cf 0 + DCf7× éL × K × lù1= Cê1

10、 + C (1 - l) × (C - l × C )-（24）2 úf 0× (1 + Kl12)ëû1上述公式的物理意义是：侧倾时，某一侧板簧变形Df 时拟发生倾角变化q ，由于车轴或车桥不能扭转，强制板簧反扭q 角，也就是使板端变形相等， Df1 + Df1¢ = Df2 - Df2¢ ，而且与根部变形Df相等。这时端部产生载荷变化，其差值则成为根部的载荷增量DP¢ 。这时，由长、短端反扭产生的力矩DP1¢× l1 + DP2¢ × l2 由另一侧板簧的反作用

11、力矩通过车轴或车桥来平衡。而增量DP¢ 必须靠侧倾力矩的增大才能维持在Df 变形的位置上，这就是不对称板簧侧倾角刚度增大的。还可以用另法求侧倾角刚度，即：分别以短端和长端的刚度计算各自的角刚度，再叠加：C = C+ C= 1 (C × D2 + C × D2 )-（- 25）ff1f 2122可以理解成是按照图 2 所示的两端点和根部的变形都这种相等来推导的，也就是：Df = Df1 + Df1¢ = Df2 - Df2¢-（26）将式（10）的C1 、C2 代入式（25），得：CD 2 é1 + K × l2ù1

12、Cf =× ê× (+ 1)úK(1 + l)22ëûé1 + K × l2ù1-（27）=Cf 0 × ê× (+ 1)úK(1 + l)2ëû将已知的参数和刚度值代入式（24）和（27），可以证明，这两式完全相同，只是表达形式有差异。此外，将l = 1 、K = 1代入式（24）和（27），求到对称钢板弹簧的角刚度：Cf = Cf 08代入式（10），求到对称钢板弹簧的刚度：C = 2C1 = 2C2。代入式（12），求到对称钢板弹簧的倾角变

13、化：q = 0 。【附录】（1）验证式（24）和式（27）的同一性从式（10）求到的C1 、C2 代入式（24）的括号内：1 éK × L × lù1 +ê1 -Cl× (C - lC )ú× (1 + Kl )122ë1û1 éK × L × lé1 + Kl2ùù1× (- l) × Cú K= 1 +ê1 -Cl×ú ê× (1 + Kl )(1 +

14、l)22ëûëû11 + K × l2 1 - K × lLK × l1 - K × l= 1 +×-××(1 + l)2l(1 + l)2KK11 - K × l é1 + K × l2 K × l ù(1 + l) ×= 1 +× ê-ú(1 + l)2(1 + l)K2ëû1 - K × l é1 + K × l2 - Kl - Kl2 &#

15、249;= 1 +× êú(1 + l)2Këû(1 - K × l)2K × (1 + l)2= 1 +K × (1 + 2l + l2 ) + 1 - 2K × l + K 2 × l2K × (1 + l)2= 1 + K + K × l2 + K 2 × l2K × (1 + l)2从式（27）的括号内：91 + K × l21× (+ 1)(1 + l)2K= 1 + K × l2 × 1 + K(1 +

16、l)2K= 1 + K + K × l2 + K 2 × l2K × (1 + l)2可见两式完全相同。也可将式（24）或（27）写成更简练的形式，如：é(1 - K × l)2 ùCf = C× 1 +-（28）f 0 êúK × (1 + l)2ëû（2）不对称多片钢板弹簧的计算公式由于多片簧的形状系数、根部惯性矩等，两端都相同，只有长、短端的半长不同，所以可以利用本文导出的公式来推出不对称多片簧的计算公式。变截面板簧可能两端形状系数不同，只能分别求出刚度之后，代入本文的相关公式进行计算。 垂直变形刚度多片簧两端的刚度为：1 × 3E × I 0C =-（29）1dl 311 × 3E × I 0C =-（30）2dl 32d式中形状系数根部总惯性矩I 0材料弹性模数E10K = C2 =C1l3-（31）1将式（29）、（30）、（31）代入式（10），得：C = (1 + l) × C = (1 + l) × ( 1 × 3E × I 0 )-（- 32）l21l2dl 31或