人教版二项式定理 典型例题解析

1、文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.人教版二项式定理概念篇【例U展开(2x2)5.2x2分析一：直接用二项式定理展开式.解法一：(2x)5=c0(2x)5+C5(2x)4(-3y)+C2(2x)3(-3)2+C3(2x)2(-3r)3+2x22x22x22x2C5 (2x)(一m)4-5(-2x二32x5 120x2+180 x3 )52x2135 405243丁 + 8732x10 '分析二：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法二：(2X-25二审二品C0(4x3)5+C1(4x3)4(

2、-3)+C5(4x3)3(3)2+C3(4x3)2(-3)3+C5(4/(3)4+uuxC5(3)5(1024x153840x12+5760x94320x6+1620x3-243)32x=32x5 120x2+180 x135 405243产+ 8X732x10 '说明：记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.【例2】求二项式(a-2b)4的展开式.a分析：直接利用二项式定理展开.解：根据二项式定理得(a-2b)4=C0a4+C4a3(2b)+C2a2(2b)2+C4a(2b)3+C4(-2b)4二a48a

3、3b+24a2b232ab3+16b4.说明：运用二项式定理时要注意对号入座，本题易误把2b中的符号“”忽略.【例3】在(x冬)10的展开式中，x6的系数是.解法一：根据二项式定理可知x6的系数是C40.解法二：(x-3)10的展开式的通项是Tr+1=C；0x10r(而)r.令10r=6,即r=4,由通项公式可知含x6项为第5项，即T4+1=C40x6(旧)4=9C40x6.x6的系数为9c40.上面的解法一与解法二显然不同，那么哪一个是正确的呢？问题要求的是求含x6这一项系数，而不是求含x6的二项式系数，所以应是解法二正确.如果问题改为求含x6的二项式系数，解法一就正确了，也即是c4

4、6;.说明：要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异.二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关.【例4】已知二项式(3xx-)10,3x(1)求其展开式第四项的二项式系数；(2)求其展开式第四项的系数；(3)求其第四项.分析：直接用二项式定理展开式.解：(3万2)10的展开式的通项是Tr+i=C；0(3jX)10r(-)r(r=0,1,，10).3x3x(1)展开式的第4项的二项式系数为C3o=120.(2)展开式的第4项的系数为Cw37(-)3=-77760.31(3)展开式的第4项为77760(4)77,

5、即77760Jx.X说明：注意把(3JX2)10写成34+(2)10,从而凑成二项式定理的形式.3x3x【例5】求二项式(x2+J)10的展开式中的常数项.2,x分析：展开式中第r+1项为C；0(x2)10r(2)r,要使得它是常数项，必须使“x”的指数为零，依据是x0=1,XW0.解：设第r+1项为常数项，则+1=。；0仅2)10 r(或六小5r15_一, , T9=C：0 ( 2 )8二452562(1)r(r=0,1,，10),令201r=0,得r=8.第9项为常数项，其值为我.256说明：二项式的展开式的某一项为常数项，就是这项不含“变元”，一般采用令通项Tr+1中的变元的指数为零的方

6、法求得常数项.【例6】(1)求(1+2x)7展开式中系数最大项；(2)求(12x)7展开式中系数最大项.分析：利用展开式的通项公式，可得系数的表达式，列出相邻两项系数之间关系的不等式，进而求出其最大值.解：(1)设第r+1项系数最大，则有C72r C7 12r 1,C72r C7 12r 1,7!2r7!2r1r!(7r)!(r1)!(7r1)!7!2r7!2r1r!(7r)!(r1)!(7r1)!163 Lnvv7c又0&r07,.r=5.13.3系数最大项为T6=C721一 o,r化简得r 8 r解得12. r r r 1x5=672x5.(2)解：展开式中共有8项，系数最大项必为

7、正项，即在第一、三、五、七这四项中取得.又因(12x)7括号内的两项中后两项系数的绝对值大于前项系数的绝对值，故系数最大值必在中间或偏右，故只需比4 /O4C3较T5和T7两项系数的大小即可.C6(2)6=3>1,所以系数最大项为第五项，即T5=560x4c7(2)6而说明：本例中(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法是通过对展开式多项分析，使解题过程得到简化，比较简洁.【例7】(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性确定二项式系数最大的项.解：T6=Cn(2x)5,T7=C6(

8、2x)6,依题意有C：25=C626,解得n=8.(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C4(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大，则有C72r C712r 1,C72r C712r1.5<r<6.r=5或r=6.系数最大的项为T6=1792x5,T7=1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大;n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，再解不等式的方法求得.应用篇【例8】若nCN*,(J2+1)n

9、=T2an+bn(an、bnCZ),则bn的伯：()A.一定是奇数B.一定是偶数C.与bn的奇偶性相反D.与a有相同的奇偶性分析一：形如二项式定理可以展开后考查.解法一：由(J2+1)n=V2an+bn,知V2an+bn=(1+J2)n=C0+Cn拒+C2(V2)2+C：(收)3+C：(V2)n.bn=1+C2(亚)2+C4(亚)4+bn为奇数.答案：A分析二：选择题的答案是唯一的，因此可以用特殊值法.解法二：nCN*,取n=1时，(72+1)1=(72+1),有b1=1为奇数.取n=2时，(/+1)2=2也+5,有b2=5为奇数.答案：A【例9】若将(x+y+z)10展开为多项式，经过合并同

10、类项后它的项数为()A.11B.33C.55D.66分析：(x+y+z)10看作二项式(xy)z10展开.解：我们把x+y+z看成(x+y)+z,按二项式将其展开，共有11“项”，即(x+y+z)10=1010k10kk(xy)z=C10(x+y)z.k0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式(x+y)10一k展开，不同的乘积Ck0(x+y)10一9(k=0,1,，10)展开后，都不会出现同类项.下面，再分别考虑每一个乘积Ck0(x+y)10kzk(k=0,1,，10).其中每一个乘积展开后的项数由(x+y)10k决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原

11、式展开后的总项数为11+10+9+1=66.答案：D说明：化三项式为二项式是解决三项式问题的常用方法.【例10】求(|x|+工一2)3展开式中的常数项.|x|分析：把原式变形为二项式定理标准形状.解：.(xl+±-2)3=(Txl-)6,|x|、|x|.展开式的通项是Tr+1=c6(vTxl)6r(-4=)r=(-1)rc6(vTx-l)62r.-Jx|若Tr+1为常数项，则62r=0,r=3.展开式的第4项为常数项，即T4=-C3=-20.说明：对某些不是二项式，但又可化为二项式的题目，可先化为二项式，再求解【例11】求(板一板)9展开式中的有理项.分析：展开式中的有理项，就是通项

12、公式中x的指数为整数的项.1127r解：=Tr+1=C9(x2)9r(x3)r=(1)rC9xk.令名CZ,即4+=CZ,且r=0,1,2,，9.66.r=3或r=9.当r=3时，2=4,T4=(1)3C；x4=84x4.6当r=9时，2=3,T10=(-1)9C9x3=-x3.6.3仅一38)9的展开式中的有理项是第4项84x4,第10项一x3说明：利用二项展开式的通项Tr+1可求展开式中某些特定项.【例12若(3x1)7=a7x7+a6x6+a1x+a。,求(1)a1+a2+a7；(2)a1+a3+a5+a7；(3)a0+a2+a4+a6.分析：所求结果与各项系数有关可以考虑用“特殊值”法

13、，整体解决.解：令x=0,贝Ua0=1,令x=1,贝Ua7+a6+a1+a0=27=128.；a1+a2+a7=129.(2)令x=1,贝Ua7+a6+a5+a4+a3+a2+a1+a0=(4)7.由得:a1+a3+a5+a7=1128(4)7=8256.22(3)由ffl_(2)得a0+a2+a4+a6=1128+(4)7=-8128.22说明：(1)本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法，这是一种重要的方法，它用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6+a7x7,g(x)各项的系数和为g(1),g(x)的奇

14、数项的系数和为1g(1)+g(1)1,g(x)的偶数项的系数和为-g(1)-g(-1)l.22【例13】证明下列各式(1)1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2nCn=3n;(2)(C0)2+(Cn)2+(Cn)2=C2n；(3)C；+2c2+3C3+nCn=n2n1.分析：(1)(2)与二项式定理的形式有相同之处可以用二项式定理，形如数列求和，因此可以研究它的通项寻求规律.证明：(1)在二项展开式(a+b)n=C0an+C1nan-1b+Cnan廿+Cn1abn-1+Cnbn中，令a=1,b=2,得(1+2)n=1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2nCn,即1+2Cn+4c2+2n1Cn1+2

15、nCn=3n.(2)(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n,(1+Cnx+C2x2+Cnxr+xn)(1+C1nx+C2x2+Cnxr+xn)=(1+x)2n.而C2n是(1+x)2n的展开式中xn的系数，由多项式的恒等定理，得C0Cn+CnCn1+cncn1+CnCn=Cnn.cm=cnm,0<m<n,.(c0)2+(cn)2+(cn)2=c2n.(3)证法一：令S=C1n+2C2+3C3+ncn.S=C1n+2c2+(n1)Cn1+nCn=nCn+(n1)Cn1+2Cn+Cn=nCn+(n-1)Cn+2Cn2+Cn1.由+得2S=nCn+nCn+nCn+nCn=n(Cn+Cn

16、+Cn+C3+Cn)=n(Cn+Cn+C2+Cn+Cn)=n2n.S=n2n1,即C1n+2C2+3C3+nCn=n2n1.证法二：观察通项：kCn=kn n(n k!(n k)! (k 1)!(n k)!.原式=nCn 1+nC1n 1+nC2 1+nC3 1+ +nCn1=n(C：k 1nCn 1 .1+Cni+C2 i+C3 1+-+Cn 1)=n2n 1,即C；+2C：+3c3+nCn=n2nl.说明：解法二中kcn=ncni可作为性质记住.【例14】求1.9975精确至IJ0.001的近似值.1.997=20.003.分析：准确使用二项式定理应把1.997拆成二项之和形式如解：1.9

17、975=(20.003)5=25C5240.003+C2230.0032-C3220.0033+320.24+0.0007231.761.说明：利用二项式定理进行近似计算，关键是确定展开式中的保留项，使其满足近似计算的精确度【例15】求证：51511能被7整除.分析：为了在展开式中出现7的倍数，应把51拆成7的倍数与其他数的和(或差)的形式.证明：5151-1=(49+2)51-1=C514951+C5149502+C5149250+C51251-1,易知除C512511以外各项都能被7整除.又2511=(23)171=(7+1)171=C07717+C17716+C177+C17T=7(C0

18、7716+C17715+TC16).显然能被7整除，所以51511能被7整除.说明：利用二项式定量证明有关多项式(数值)的整除问题，关键是将所给多项式通过恒等变形变为二项式形式，使其展开后的各项均含有除式.创新篇【例16】已知(xlgx+1)n的展开式的最后三项系数之和为22,中间一项为20000.求x.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.分析：本题看似较繁，但只要按二项式定理准确表达出来，不难求解！解：由已知cn+cn1+Cn2=22,即n2+n42=0.又nCN*,n=6.T4为中间一项,T4=C6(x

19、lgx)3=20000,即(xlgx)3=1000.xlgx=10.两边取常用对数，有lg2x=1,lgx=±1,x=10x=.10说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项公式，根据已知条件列出等式或不等式进行求解.【例17】设f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,nCN*),若其展开式中关于x的一次项的系数和为11,问m,n为何值时，含x2项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数是关于x的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.22解：Cm+C；=n+m=11.cm+C2=-(m2m+n2n)=mn,22nN*

20、,.n=6或5,m=5或6时，x2项系数最小，最小值为25.说明：本题是一道关于二次函数与组合的综合题.【例18若(x+二一2)”的展开式的常数项为一20,求n.x分析：题中xw0,当x>0时，把三项式(x+1一2厂转化为(VxJ)2n;当x<0时，同理(x+1一x.xx2)n=(1)n(Jx2)2n.然后写出通项，令含x的幕指数为零，进而解出n.解：当x>0时，(x+12)n二(彼一上严，xx其通项为Tr+1=C2n(阮)2nr(-L)r=(-1)rC2n(Vx)2n2x令2n2r=0,得n=r,展开式的常数项为(1)rCnn；当x<0时，(x+12)n=(1)n(4

21、：)2n.同理可得，展开式的常数项为(一1)rC2n.xx无论哪一种情况，常数项均为(1)rCnn.令(T)rC2n=20.以n=1,2,3,，逐个代入，得n=3.说明：本题易忽略x<0的情况.【例19】利用二项式定理证明(2)n1<.3n1分析：2不易从二项展开式中得到，可以考虑其倒数U.n12证明：欲证(2厂1二-成立，只需证(3尸1。成立.3n122M(3)n1=(1+1)n1=Cn1+Cn1-+C21(-)2+Cn1(1)n122222.n1八2/12n=1+Cn1()+Cn22>n_J2说明：本题目的证明过程中将(|)n1转化为(1+1)1,然后利用二项式定理展开式

22、是解决本问题的关键.【例 20】求证：20(1 +1)n<3(ne N*).n分析：(1+1)n与二项式定理结构相似，用二项式定理展开后分析 n证明：当 n=1 时，(1 + 1)n=2.n当 n2 时，(1+1)n=1+C1n n-+C2又 Ck(1)k=n(n 1) kn1)1c 1 I-2+ +cn(_)n=1+1+c nn2 -2-+ , +Cn()n>2.nnk k! n所以(1 + 1)性2+工+工+ n 2! 3!111=2+(12)+q1)+ =3- 1<3. nn!, +(n 1+ <2+1+(n 1) n1, An 11rr(n 1)rr!(n 1)

23、r= 1(1-r !2)(1F)").综上有20(1+1)n<3.n说明：在此不等式的证明中，利用二项式定理将二项式展开，再采用放缩法和其他有关知识，将不等式证明到底.【例21】求证：对于nCN*,(1+1)n<(1+)n+1.nn1分析：结构都是二项式的形式，因此研究二项展开式的通项是常用方法.证明：(1+1)n展开式的通项Tr+1=cn=7nnr!n1n(n1)(n2)(nr1)二n=1(1-1)(1-2)(1-3).r!nnn(1+，)n+1展开式的通项T'r+1=cnn1由二项式展开式的通项可明显地看出Tr+1<T'r+1所以(1+ n(n

24、1)(n 2) (n r 1)n<(1+,)n+1nn1说明：本题的两个二项式中的两项均为正项，且有一项相同.证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.【例22】设a、b、c是互不相等的正数，且a、b、c成等差数列，nCN*,求证：an+cn>2bn.分析：题中虽未出现二项式定理的形式，但可以根据a、b、c成等差数列创造条件使用二项式定理证明：设公差为d,则a=bd,c=b+d.an+cn-2bn=(bd)n+(b+d)n2bn=bnCnbn1d+Cnbnr !n7d2+(-1)ndn+bn+C；bn1d+Cnbn2d2+dn=2(C2bn2d2+Cnbn4d4)&

25、gt;0.文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.说明：由a、b、c成等差，公差为d,可得a=b-d,c=b+d,这就给利用二项式定理证明此问题创造了可能性.问题即变为(bd)n+(b+d)n>2bn,然后用作差法改证(b-d)n+(b+d)n-2bn>0.【例23】求(1+2x3x2)6的展开式中x5项的系数.分析：先将1+2x3X2分解因式，把三项式化为两个二项式的积，即(1+2x3x2)6=(1+3x)6(1-x)6.然后分别写出两个二项式展开式的通项，研究乘积项x5的系数，问题可得到解决.解：原式二(1+3x)6(1-x)6,其中(1+3x)6展开式之通项为Tk+i=Ck3kxk,(1-x)6展开式之通项为Tr+1=C6(-x)r.原式二(1+3x)6(1x)6展开式的通项为Ckc6(1)r3kxk+r.现要使k+r=5,又.kC0,1,2,3,4,5,6,rC0,1,2,3,4,5,6,必须k6或kr或k2,或k3,或k4,或k5r5r4r3r2r1r0.故x5项系数为c030c6(-1)5+c631c4(1)4+c232c6(1)3+c633c2(1)4+c634c6(1)+C535c6(1)0=168.说明：根据