高一秋季平面向量数量积与坐标运算初稿目标班

1、第11讲 平面向量的数 量积与坐标运算向量3级平面向量的数量积与坐标运算满分晋级向量2级平面向量的线性运算向量1级向量基本概念及运算11.1平面向量数量积运算知识点睛1两个非零向量的夹角：已知两个非零向量，作，则称作向量和向量的夹角，记作，并规定当时，称（备注：向量在轴上的正射影仍然是向量，射影在轴上的坐标称为向量在轴上的数量或向量在轴方向上的数量）2向量数量积（内积）：的数量积记作，定义为（备注：两个向量的数量积就等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量方向上的投影的数量，这就是向量数量积的几何意义，我们会在考点2中展开）以数量积的定义，我们可以判断两个向量是否垂直：（规定，零向量与任何向

2、量都垂直）；计算任一向量的模长：，即；计算两个向量的夹角：（）3向量的数量积满足的运算律：交换律：；与数乘的结合律：；注意：数量积本身不满足结合律！对加法的分配律：练习1：设为平面向量，下面的命题中正确的是_若，则或若，则；对非零向量，有正确，不正确，不一定有或，不正确中，不正确，不正确中，正确经典精讲考点1：向量数量积、模长及夹角的基本求法由向量的数量积定义，我们知道：如果有两个向量的模长与夹角，那么可以计算它们的数量积；如果有两个向量的模长与它们数量积，也可以计算它们的夹角的余弦值同样地，有其中一个向量的模长，以及两个向量的夹角与数量积，也可以计算出另一个向量的模长即知任何三个量可以求剩下

3、的一个量如已知，知道其中任何三个量，都可以求出第四个有了向量的数量积的运算法则，这个问题的变形构成了向量的基本求值问题：已知向量的模长及其夹角，也可以求的线性组合得到的向量的数量积与模长如铺垫与例1其实，给出与向量相关的任何三个信息（互相独立的），都可以得到三个等式，从而确定两个向量的模长与夹角三个量，计算得到其它相关的量学生最初会不太明确化简的方向，给出的三个信息可能会朝不同的方向化简，从而无法得到结论，其实，只要化简的方向统一，所有的信息都转化到两个向量对应的模长、夹角与数量积，即四个量中的三个就能得统一的结论另外要明确，求模长利用、求夹角利用、证明垂直利用可以通过铺垫进行讲解，再让学生练

4、例1，例1都是常见的基本问题，例2难度更大，需要进一步挖掘条件求解【铺垫】 已知，则_，_ 已知向量与的夹角为，则_ 已知，则向量与向量的夹角是_，解得（舍去）或，且，【例1】 已知，的夹角为60°，则_， （2019新课标13）已知向量夹角为，且，则_（目标班专用）已知向量，满足，则_的夹角为，从而【铺垫】若非零向量和，满足，则与的夹角为_法一：向量运算的几何意义由减法的几何意义知，夹角为法二：代数计算记，则，故【例2】 若向量、满足，则_（2019安徽13）若非零向量满足，则与的夹角的余弦值为_已知与均为单位向量，其夹角为，若，则的取值范围为_（目标班专用）（2019浙江理17）

5、设为单位向量，非零向量，若的夹角为，则的最大值等于_法一：几何意义由向量加法的平行四边形法则知，从而法二：代数计算其实由记，则，解得，故，故即，又，故有非常明确的几何意义：要想得与相关的式子，需要计算，由已知条件得将它整理成关于的一元二次方程得：，要使得存在，此方程判别式，得，故所求最大值为【备选】若向量与不共线，且，则向量与的夹角为_【解析】 ；，所以向量与垂直考点2：数量积的应用<教师备案> 数量积具有明确的几何意义，两个向量的数量积等于一个向量的模长乘以另一个向量在这个向量方向上的投影的数量所以如果两个向量的模长一定，当两个向量方向相同时，数量积最大；方向相反时，数量积最小又

6、因为向量加法也有明确的几何意义，符合平行四边形法则，所以两个模长一定的向量，当它们的方向相同时，它们的和的模长也有最大值；当它们的方向相反时，它们的和的模长也有最小值，这既可以由数量积对模长进行计算得到，也可以直接由几何意义理解，可以结合下面的铺垫讲解这两个性质，这两个性质的应用并不简单，讲完铺垫可以让学生思考例3备注：所有平面几何图形中的向量问题都放到板块三平面几何中的向量问题中处理【铺垫】设为单位向量，则的最大值为_，最小值为_；的最大值为_，当方向相同时取最大值，方向相反时取最小值；由的意义知，当方向相同时，有最大值，也可以通过代数计算由得到【例3】 设为单位向量，的夹角为，则的最大值为

7、_（目标班专用）设、是单位向量，且，则的最小值为_ (2019湖南理6)已知是单位向量，若向量满足，则的取值范围是_，因此当与方向相同时，取得最大值为，是单位向量，是长度为的向量，为单位向量，故的最大值为，当与方向相同的取到从而所求最小值为因为是单位向量，故是一个模长为的向量，如图，将与用共起点的有向线段表示，易知用代数分析：可记，则，且，故当与方向相同时，有最大值；当与方向相反时，有最小值，且中间值都能取到，从而得范围11.2向量的坐标运算考点3：向量的坐标运算与平行垂直关系知识点睛<教师备案> 由平面向量基本定理知，任意两个不共线的向量都可以构成一个基底；而由前一板块我们知道，

8、随便取一组基底，去计算由基底线性表出的向量的数量积是一件轻松的事情，如上一板块的铺垫题：已知，计算_要想让数量积的计算变得简单，我们希望交叉项消失，这就是正交的概念，即构成基底的两个向量是互相垂直的；再进一步，如果，计算会更容易，即交基底进行正交化，取互相垂直的单位向量为基底，这便是标准正交基如果取定一组标准正交基，那么，那么而在标准正交基下，将分解的系数直接记为坐标（有序实数对），就得到了相应的坐标运算的结论，如下：已知，则：；经典精讲【铺垫】已知两个向量，若，则的值是_；若向量与向量方向相反，且，则_若，则的值是_【解析】 ；，解得；，解得【例4】 已知向量，若向量与向量平行，则实数_；若

9、（），则_，_已知向量，向量垂直于向量，向量平行于，则_（2019山东理12）定义平面向量之间的一种运算“”如下：对任意的，令，下面说法错误的是（ ）A若与共线，则 BC对任意的，有 D（目标班专用）已知向量，定义新运算，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量，都有成立，则向量_设，得又，即联立、得，从而 B对A，与共线，从而，正确；对B，故B错误；对C，故C正确；对D，左边，右边左边，故D正确 ；由题意知对任意恒成立，故【备选】 ，且，试用向量方法求的最值【解析】 设，则，当时，有最大值，此时方向相同；当时，有最小值，此时方向相反11.3平面几何中的向量问题考点4：平面图形中的

10、向量问题经典精讲<教师备案> 例5主要涉及对向量的运算与数量积的定义及几何意义的理解，不需要选定基向量或建系去计算需要注意的是向量所成的角，必须将两个向量调整成同起点的，首尾相接的向量尤其需要注意【铺垫】 正三角形的边长为，则_ 在中，则_【例5】 （2019西城一模理11）如图，正六边形的边长为，则 在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是（ ）A BC D（2019北京理13）已知正方形的边长为，点是边上的动点，则的值为_；的最大值为_在边长为的等边中，为边上一动点，则的取值范围是（目标班专用）如图，在平行四边形中，垂足为，且，则 C由向量数量积的几何意义易知，A、B正确，

11、从而，C错误D中右边，故D成立，由数量积的几何意义知，表示在方向上的投影，长度即为，故；,由数量积的几何意义知，表示在方向上的投影，投影的最大值为，故的最大值为利用向量数量积的几何意义，等于乘以在向量方向上的投影的数量，结合图形即得范围由知，在上的射影长度是向量长度的倍，即<教师备案> 例6需要选定基向量或者建系去进行直接计算，这里的问题都涉及到比较特殊的几何体，如正三角形、直角三角形、矩形、正方形等，一般存在直角的建系比较容易，不存在直角的直接选定两个基向量比较容易【铺垫】 在边长为的正方形中，、分别为、的中点，则向量 在正三角形中，是上的点若，则 第题 第题 以为原点，所在直线

12、为坐标轴建系，从而，从而也可以直接选取基向量，直接计算，于是本题也可以利用向量的几何意义，过点作边垂线，交于点，由几何关系知， 为边的六等分点，从而【例6】 如图，在边长为的菱形中，为的中点，则_（2019江苏）如图，在矩形中，点为的中点，点在边上，若，则的值是_（目标班选讲）（2019上海理）在平行四边形中，边、的长分别为、，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是 取为基向量，则，于是由，以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则，故本题也可以不建系，直接用为基向量进行计算选定为基向量，令，则故<教师备案> 例6的几何体与各点都是明确给出的，还有的时候，几何体只满足一

13、些限制条件，形状并不确定，某些点是通过向量关系给出的，要求其中的某些不变量这就需要首先对已经条件进行分析整理，寻找突破点，这类题难度更大，见例7【例7】 （2019北京东城二模理7）外接圆的半径为，圆心为，且，则_在中，是的中点，点在上且满足，则_（目标班专用）在中，点满足条件，则_由，有，即的外心为边的中点，故为直角又，故，又，故从而如图，且，原式，又，第题： 第题：法一：建系算以为坐标原点，所在直线为轴，轴建立直角坐标系，则，不妨设，由知，解得，于是法二：选择为起点整理，以为基向量，将表示成，由知：，从而由知，于是得法三：直接由数量积的几何意义出发过点作的垂线，交的延长线于，如图，由题意知

14、，故，【备选】如图，在四边形中，则的值为（ ） A B C D【解析】 C又，由可解得，又，又方向相同， 已知非零向量与满足且，则为（ ）A三边均不相等的三角形B直角三角形 C等腰非等边三角形 D等边三角形 在四边形中，则四边形的面积为 【解析】 D设为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为的角平分线的方向，而，为等腰三角形，综上所述，为等边三角形由已知可知，四边形为平行四边形又，即为与夹角平分线，则四边形为菱形，又由，记的交点为，由，得到，从而实战演练 【演练1】平面向量与的夹角为，则_由已知，【演练2】设平面向量，若，则_，则，从而，【演练3】在四边形中，且，则四边形为（ ）A矩形 B菱形 C直角梯形 D等腰梯形【解析】 B即一组对边平行且相等，对角线互相垂直，该四边形为菱形【演练4】在中，有命题：；若，则为等腰三角形；若，则为锐角三角形上述命题正确