线性代数知识点总结

1、精品文档线性代数知识点总结第一章行列式a11a12La1n1. n 阶行列式 Da21a22La2 nt p1 p2 L pna1pa2 pL anpM M O M p1 p2 L pn112nan1an2Lann2.特殊行列式a11a12La1n0a22La2 nt 12Lna11a22 LannDMOM1a11a22 L annM00Lann1122n n11 2Ln ，1212 LnONnn3.行列式的性质a11a12La1 na11a 21La n1定义记 Da21a22La2 n ， D Ta12a 22La n 2 ，行列式 DT 称为行列式MMOMMMOMan 1an 2anna

2、1na 2 nLa nnD 的转置行列式。性质 1行列式与它的转置行列式相等。性质 2互换行列式的两行 rirj 或列 ci cj，行列式变号 。推论如果行列式有两行（列）完全相同（成比例），则此行列式为零。性质 3行列式某一行 （列）中所有的元素都乘以同一数推论 1D 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到推论 2D 中某一行（列）所有元素为零，则D =0。性质 4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则k (r jk) ，等于用数 k 乘此行列式；D的外面;a11a12L(a1ia1i )La1na11a12La1iLa1 na11a12La1iLa1na21a22L(a2ia2i

3、)La2na21a22La2iLa2 na21a22La2iLa2nDMMLLLLLLLLLLM MLLLLan1an2(aniani )annn1n2Laninnan1n 2Laniannaaaa性质 6把行列式的某一列 （行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行 )对应的元素上去，行列式的值不变。.精品文档计算行列式常用方法：利用定义；利用运算rikrj 把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。4. 行列式按行（列）展开余子式在 n 阶行列式中，把元素aij所在的第 i 行和第 j 列划去后，留下来的 n 1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作M ij 。代数余子式记 Aij1

4、 ijM ij ，叫做元素 aij 的代数余子式。引理一个 n 阶行列式，如果其中第i 行所有元素除（ i ，j） (i, j ) 元外 aij 都为零，那么这行列式等于 aij 与它的代数余子式的乘积，即D aij Aij。（高阶行列式计算首先把行列上的元素尽可能多的化成0，保留一个非零元素，降阶）a11a12La1n定理n 阶行列式Da21a22La2 n 等于它的任意一行（列）的各元素与其对应MMOMan1an 2Lann的代数余子式的乘积之和，即Dai 1Ai1ai 2 Ai 2 Lain Ain ，(i 1,2,L,n) 或 Da1 j A1 ja2 j A2 jLanj Anj ，

5、 ( j1,2,L , n) 。第二章矩阵1.矩阵a11a12La1na21a22La2 nALLLLam1am1Lamn行列式是数值，矩阵是数表，各个元素组成方阵 ：行数与列数都等于n 的矩阵 A。 记作： An。行 (列 )矩阵： 只有一行 (列 )的矩阵。也称行 (列)向量。同型矩阵： 两矩阵的行数相等，列数也相等。相等矩阵： AB 同型 ,且对应元素相等。记作： A B零矩阵： 元素都是零的矩阵（不同型的零矩阵不同）对角阵： 不在主对角线上的元素都是零。单位阵： 主对角线上元素都是1 ，其它元素都是0，记作： E注意矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个算式，一个数字行列式经过计算可求

6、得其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和列数可以不同。2. 矩阵的运算.精品文档a11b11a12b12La1nb1na21b21a22b22La2nb2n矩阵的加法 A BLLLLam1bm1am2bm2Lamnbmn说明只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。矩阵加法的运算规律1ABBA；2ABCABCa11a12La1n3设矩阵 Aaij, 记A (aij )m na21a22La2 n，A 称为矩阵 ALLLLm nam1am1Lamn的 负矩阵4AA0, ABAB。数与矩阵相乘a11a12La1n数 与矩阵 的乘积记作或A ,规定为AAa21a22La2 nAALLLLam1a

7、m1Lamn数乘矩阵的运算规律（设A、B 为 mn 矩阵，, 为数）1AA ； 2AA A；3ABA B 。矩阵相加与数乘矩阵统称为矩阵的线性运算。矩阵与矩阵相乘设 B(b ij ) 是一个 ms 矩阵， B(b ij ) 是一个 sn 矩阵，那么规定矩阵 A与矩阵 B的 乘 积 是 一 个 m n矩 阵C(cij )， 其 中b1 jai1 ai 2 Laisb2 jai1b1 jai 2 b2 jLais bsjsaik bkj ， i 1,2,Lm; j1,2, L , n ，Mk 1bsj并把此乘积记作CAB注意1。A 与 B 能相乘的条件是：A 的列数 B 的行数。2。矩阵的乘法不满

8、足交换律，即在一般情况下， AB BA ，而且两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵。.精品文档3。对于 n 阶方阵 A 和 B，若 AB=BA，则称 A 与 B 是可交换的。矩阵乘法的运算规律1 ABC ABC；2ABABAB3 A B C AB AC ， B C A BA CA 4 Am n En n Em mAm nAm n5 若 A 是 n 阶方阵，则称Ak 为 A 的 k 次幂，即 AkA ALA ，并且Am AkAm k ，14 243k个AmkAmk m,k为正整数 。规定： A0 E（只有方阵才有幂运算）注意矩阵不满足交换律，即ABBA ，kABAk Bk （但也有例外）转置矩阵把矩阵

9、 A 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A 的转置矩阵，记作A ，1 ATTA ； 2A BTBT； 3TAT； 4 ABTATABTAT。方阵的行列式由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列式，叫做方阵A 的行列式，记作A注意矩阵与行列式是两个不同的概念，n 阶矩阵是 n2 个数按一定方式排成的数表，而 n阶行列式则是这些数按一定的运算法则所确定的一个数。1ATA ；2AnA ；(3) ABA BB ABA对称阵设 A 为 n 阶方阵，如果满足A=AT，那么 A 称为对称阵。伴随矩阵行 列 式A 的 各 个 元 素 的 代 数 余 子 式 Aij所构成的如下矩阵A11A21LAn1AA12A

10、22LAn2称为矩阵 A 的伴随矩阵。LLLLA1nA2nLAnn性质AAA AA E （易忘知识点 ）总结（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算。（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律。（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同。逆矩阵：AB BA E，则说矩阵 A 是可逆的， 并把矩阵B 称为 A 的逆矩阵。 即A 1B 。说明1A ，B 互为逆阵，A = B-12 只对方阵定义逆阵。 （只有方阵才有逆矩阵）3.若 A 是可逆矩阵，则A 的逆矩阵是唯一的。.精品文档定理 1 矩阵 A 可逆的充分必要条件是A0，并且当 A

11、可逆时，有 A 11 A*（重要）A奇异矩阵与非奇异矩阵当 A0时， A 称为奇异矩阵，当A 0 时， A 称为非奇异矩阵。即 A可逆A为非奇异矩阵A0。(1)先求 | A|并判断当 | A|0时逆阵存在；求逆矩阵方法（2）求 A*；(3)求1A*A 1。| A |初等变换的应用：求逆矩阵： ( A | E)初等行变换E|A1。逆矩阵的运算性质1 若A可逆 ,则 A 1亦可逆 ,且 A 11A2 若A可逆,数0,则 A可逆 ,且 A1A1。13 若 A, B为同阶方阵且均可逆 , 则 AB亦可逆 , 且( AB) 1B1A1。4 若 A可逆 ,则 AT亦可逆 , 且 AT1A 1T 。5 若A

12、可逆,则有A 1A1。3.矩阵的初等变换初等行（列）变换1对调两行，记作 (ri r j ) 。2以数 k 0 乘以某一行的所有元素，记作 (rik ) 。3把某一行所有元素的 k 倍加到另一行对应的元素上去，记作(ri krj ) 。初等列变换： 把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r”换成“ c”。矩阵等价如果矩阵 A 经有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与 B等价。.精品文档行阶梯形矩阵： 可画出一条阶梯线，线的下方全为零， 每个台阶只有一行， 台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线 （每段竖线的长度为一行） 后面的第一个元素为非零元， 也是非零行的第一个非零元。 （非

13、零行数及矩阵的秩）21032求矩阵 B03125的秩.0004300000R(B)=3行最简形矩阵： 行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为 1，且这些非零元所在的列的其他元素都为 0.标准型 ：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如ErOF的矩阵，称OO m n为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。初等变换的应用初等行变换A初等列变换E求逆矩阵： ( A | E)E|A1 或。EA 14.矩阵的秩矩阵的秩任何矩阵 Am n ，总可以经过有限次初等变换把它变为行阶梯形，行阶梯形矩阵中非零行的行数是唯一确定的。（非零行的行数即为矩阵的秩）说明1. 矩阵 Am &#

14、215; n，则 R(A) min,n;2. R(A) = R(AT);3.R(A) r的充分必要条件是至少有一个 r 阶子式不为零 ;4.R(A)r 的充分必要条件是所有r + 1 阶子式都为零 .满秩和满秩矩阵矩阵 Aaij mn ，若 R( A) m ，称 A 为行满秩矩阵； 若 R( A)n ，称 A 为列满秩矩阵； 若A为n阶方阵 ,且R( A) n,则称 A为满秩矩阵 。若 n阶方阵A 满秩，即R ( A )nA0；A 1必存在；A为非奇异阵；A必能化为单位阵En , 即 A En .矩阵秩的求法定理 1矩阵 A 经过有限次行(列)初等变换后其秩不变。即若A B，则 R(A)=R(

15、B)。推论若P、 Q可逆，则 R( PAQ)R( A).精品文档矩阵秩的性质总结(1)0 R( Am n ) min m, n(2)R(AT) R(A)(3)若 A B,则 R AR B(4) 若P、Q可逆，则 R( PAQ) R( A)(5) max R( A), R( B)R( A,B)R(A) R(B)特别当 Bb为非零列向量时，有R( A)R(A,b) R( A) 1.(6)R( AB)R( A)R( B)(7)R( AB)min R(A), R(B).(8)若 Am n Bnl O,则 R( A) R( B) n.(9)设AB=O ，若 A 为列满秩矩阵，则 B=O（矩阵乘法的消去率

16、） 。第三章1. n 维向量n 个数a1,a2, ,an组成的一个有序数组(a1,a2, ,an) 称为一个n 维向量 ,记为a1a2(列向量形式 )或 T(a1, a2 ,L , an（)行向量形式） ，其中第 i 个数 ai 称为向量.an的第 i 个分量。向量组若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组。a11a12L a1 jLa1n设矩阵A=(aij)m × n 有 n 个 m 维列向量，即 Aa21a22La2 jLa2n，MMMMMMam1am2LamjLamn向量组 a1,a2 ,L ,an 称为矩阵 A的列向量组 。同理，也可说矩阵A 有 m 个

17、行向量组组成。向量，向量组，矩阵与方程组的关系向量组矩阵： A( 1,2,L ,m )a11a12a1mb1向量方程方程组：a21x1a22 x2 .a2mxmb2，MMMMan1an2anmbn可简写作1x12 x2Ln xn.精品文档x1b1矩阵形式 Ax b( 1,x2b2向量方程方程组2,L , m )MMxnbn线性组合给定向量组A: 1, 2,L ,m 和向量b，如果存在一组数1，2，L ,m 使b1 122 Lmm ，则向量 b 是向量组 A 的线性组合 ，这时称 b 向量能由向量组 A线性表示 。定理 1向量 b 能由向量组 A : 1,2,L ,m 线性表示的充分必要条件是矩

18、阵A(a1, a2 ,L,am ) 的秩等于矩阵 B(a1 , a2 ,L , am ,b) 的秩。即 R(A)=R(A,b)。向量组的线性表示设有两个向量组 A : 1,2 ,L , m及 B : 1, 2 ,L ,s ，若 B 组中每个向量都能由向量组A 线性表示，则称向量组B 能由向量组 A 线性表示，若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示，则称这两个向量组等价。向量组的线性相关给定向量组 A : 1, 2,L, m ，如果存在不全为零的数k1 ,k2 ,L , km使 k1 1k22Lkm m 0 ，则称向量组是线性相关的，否则称它线性无关；若当且仅当 k1k2Lkm0 时上式成立

19、，则称向量组A 线性无关。线性相关：可线性组合表示的，线性无关：相互独立，互不代表注意1.对于向量组来说，不是线性无关，就是线性相关。2.对于两个向量来说，线性相关意味着两向量的分量对应成比例，几何含义两向量共线；三个向量线性相关意味着三向量共面。3.向量组只有一个向量时 ,若0则说线性相关 , 若0, 则说线性无关。4.包含零向量的任何向量组是线性相关的，此时总存在不为零的k，使得0 10 2Lk0L0 n0.精品文档线性相关性的判定定理向量组1 , 2 ,L ,m（当 m2 时）线性相关的充分必要条件是1 , 2 ,L ,m 中至少有一个向量可由其余m-1 个向量线性表示定理 4向 量 组

20、 A : a1, a2 ,L,am 线 性 相 关 的 充 分 必 要 条 件 是 它 所 构 成 的 矩 阵A (a1, a2 ,L ,am ) 小于向量的个数 m，向量组线性无关的充分必要条件是R（ A） =m。最大线性无关向量组设有向量组 A，如果在 A 中能选出 r 个向量1 , 2 ,L , r ，满足：（1）向量组A0 : 1, 2 ,L , r 线性无关 ；(2) 向量组 A 中任意 r +1 个向量 (如果有的话 )都线性相关；则称向量组 A0 : 1, 2 ,L , r 是向量组 A 的一个最大线性无关向量组。(2)*向量组 A 中任何一个 (其它 )向量可由 A0 :1, 2 ,L , r 线性表示。第四章线性方程组的解a11 x1a12 x2La1n xnb1线性方程组a21x1a22 x2La2 n xnb2如果有解，则称其为相容的，否则称为不相容L LL LL LL Lam1 x1am2 x2 Lamn xnbm的。n 元齐次线性方程组Ax=0（ 1） R(A) = nAx=0 有唯一解，零解（无非零解）（ 2） R(A) < nAx=0 有非零解 .n 元非齐次线性方程组 Axb（ 1）无解的充分必要条件是R(A)R(A, b)（ 2）有唯一解的充分必要