错位相减法求和练习

1、错位相减法求和练习通项公式特点：等差X等比，比如c,t=nT ,其中”代表一个等差数列的通项公式(关于"的一次函数)，2"代表一个等比数列的通项公式(关于n的指数型函数)，那么便可以使用错位相减法方法详解：以°” =2 1) 2”为例，设其前H项和为S” 列：先将S,写成“项和的形式S,=121 + 322 + .+(22-1)2 乘q：两边同时乘以等比部分的公比，得到一个新的等式，与原等式上下排列S =l21 + 322 + .+(2-l)2z,2SM=l2'+32' + +? 3)2" +? l)2" ,发现乘完公比后，对比

2、原式项的次数,新等式的每项向后挪了一位。 差：然后两式相减：-S" = l21 + 2(2' + 2' + +2")-(2n-l)2"+1除了首项与末项，中间部分呈等比数列求和特点，代入公式求和，再解出S”即可-Sn = I21 + 2(22+23 + +2,)-(2-1)2w+14(2"T-1)= 2 + 2 2 (2» - l)2+1= (3-2h)2+1-6所以 S=(2m-3)2w+1 + 6通过“列，乘，差”三步解决错位相减类问题。求出的结果检验T,与G是否相等来检査是否算错对“错位相减法”的深层理解：通项公式的特点在

3、错位相减法的过程中体现了怎样的作用？通过解题过程 我们可以发现：等比的部分使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了 “错位”的效果。 而等差的部分错位部分“相减”后保持系数一致(其系数即为等差部分的公差)，从而可圈在一起进行等 比数列求和。体会到“错位”与“相减”所需要的条件，则可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求 和31. 一般（2020安徽模拟）已知数列仙是递增的等比数列，S”是其前"项和，02=9, S3 = 39.（1）求数列”的通项公式；（2）记人=生丄，求数列b”的前n项和T11.2. 困难（2020*深圳模拟）已知数列a”的首项 J 丄，alall+an

4、=2alt （a Qs n f*）.3n（!）证明：数列-1是等比数列；an（2）数列丄-的前"项和S”.an3. 般（2020衡阳二模）已知S”为数列/的前"项和，K +2, J瓦，5-2）”依次成等比数列.（1）求数列”的通项公式；（2）若b11=,求数列仇的前“项和几.4. 一般（2020*滨州二模）已知如为等差数列，血+仗=25,血=23, 人为等比数列，且al=2blf b2b5=an.（1）求a”, fc1的通项公式;（2）记ca=anbll,求数列c11的前n项和Tn.5. 般(2020全国Il卷模拟)已知数列a”的前"项和为S”，山=1,血=占，=

5、2a +1(EN*且3 an+l n“M2).(I )证明：丄为等差数列：an(II)求数列閨的前"项和Tn.an6. 般(2020重庆模拟)已知公比大于1的等比数列仙的前”项和为S”，«1 = 2,且心，Sa,-血成等差数列.(1)求偽;(2)设b 丄吐L 求数列©的前"项和几. n a7. 较易(2020*咸阳一模)已知数列仙的前"项和为S”，且满足S,=2,l-2n- 1, (nN÷).(I) 求证：数列an+2是等比数列；(II) 求数列"+2) 的前H项和.一、解答题（共10小题）1.【解答】错位相减法求和练习参考

6、答案解：（1）数列S”是递增的等比数列，设公比为0由题意可得q>l, 由2=9, S3 = 39,可得2÷9+9q=39,解得q=3或寺（舍去）， 则数列如的通项公式为血=厂2=93" 2=3”；（2）仇=空二-=（2n- 1）（丄）"，an3几=1 丄+3（丄）2+5（丄）3+ （2n- 1）（丄）"，3333=I-(I) 2÷3(I) 3÷5(I) 4+-+ (2两式相减t（l）3+3÷.÷-叫宀評-(2n- !)(丄)旳，3化简可得Tn=I - 5+1)(丄)32.【解答】（1）证明：T%冋+a”+i

7、= 2a”,an arH-l数列丄-1为等比数列;（2）解：由（1）可得：丄-1=丄（丄严-（丄严，化为丄=i十（丄严3-n222a25 n n=4an 2n设亿=+匕宀+丄口2 22 23 IT =丄+2 J 22 23 24-T =-=-k-=-I-=-+2* 2 22 23+2ng+-5-,2n 2n+l(亠亠2 2n2n 2n+11T27L 縈数列旦的前H项和Sll=TII an2j2少“22 莎3.【解答】 解:(1)依题意，由n+2, 何，(«i-2)"依次成等比数列，可得Sn= CaI - 2) H (”+2),则当”=1时，i=51=3 (创-2),解得血=

8、3, .*.Sn=n 5+2).当 “M2 时,an=S - Sn.l=n (H-2) - (n - 1) (+1) =2n+l.T 当"=1 时,«1=3 也满足 an=2n+lt o=2/:+1, 2N*.(2)由(1)知，bILA Tn = bl+b2+'"+bIT旦 2ln 22 两式相减，IT壬2 n 2 c2an.2n+l2n2n35.7"2工2丄厂I .2n-l .2n+l2n ' 2n+1 ,22n+l23 24 可得 2 2 2 22n-l .2n+l, ÷2n1 2n2n 2n+12n+l2廿17=32.&#

9、177;2n"11 _ 1 二生2 " 2n+l 2 1 丄2_5 _1耳 2n1_ 5 2n+5 2n+l如+52n4.【解答】解：（1）设等差数列%的公差为d,12由题意可得?2 a J+7d=25 a J+7d-23a1 =2,解得Id 二3则 «=2+3 (n - 1) =3rt - 1, nN*;设等比数列©的公比为0由 a=2bf b2b5=an.可得 b = l, 5=32, 解得q=2,则 b=2n 'lt N*;(2)由(1)可得 Cn=allbn= (3n - l)2n'1>则 A=22°+521+82

10、2+ (3w - l)2n l, 2=22+522+823+-+ (3n - l)2,1-2化简可得 Tn=4+ (3n - 4)2.两式相减可得-T,=2+3 (21+22+2,r) - (3n-l)2" =24_3.2(1 2n 1) _ -1)2“，5.【解答】(I )证明：依题意，由一 =2o+l,可得an=2allalll+all,an+l即 Cln " fH-l 2dnClnl 两边同时除以偽偽+1，可得 -=2 (心2).an+l anV=3 - 1=2,也满足上式.a2 aI数列是以1为首项，2为公差的等差数列.an(II )解：由(I )得，-=1+2 (

11、“ - 1) =2n - 1,anQn则2-= (2n - l)3n.an7L=l×3+3×32+ (2n- l)3,37=l×32+3×33+ (2-3)3+ (2n - l)3n+1, 两式相减，可得-2=3+2×32+2×33+23n - (2n - l)3+1,= 3+18× (l+3+32+3 2) - (2z - l)3,+11 - On-= 3+18X -<2n - l)3n+11-3=2 (I-M)3,+1-6.：.Tn= (H-I)3w+1+3.【解答】 解：(1 )血=2 ,由血，S ,-血成等差数

12、列可得254 = «6 - «2 ,即 22!(l-q4; =2Xq5_2Xqq=2>I-Q72n-12n+1S 72n-12n+1【解答】解：(Z)证明：令W=L则=3.Sn=2an-2n- 1, (nN+)：.Slt I=2an L- 2 (H - 1) - 1, (“M2, "GN+) -得：a,=2an - 2a,t 1 - 2, an=2an +2,n+2是等比数列.（/）由知：数列S”+2是首项为：血+2=5,公比为2的等比数列. an+2=5× 2nl,: n,（an+2）=-n2n,设数列n+2） 的前"项和为 7；,则

13、Tn=y 02+2，- 22+3t23+- +nr 2n）得:-Tn=I-(2+22+23+2n-n21)=-2ci-21> Tn=5 (n-l)2n+5【解答】解：（1）由题意，由S,t=a,t+,可得 当心2 时,S.l=ant3. c-4-l两式相减,得a”=Sn - Sn L=如I- a,U即=2*.*671= 1, d2 = S = l,°当 n2 时，an=2n l, 验证72=1时不成立，数列S”的通项公式为1, n=l;2n1, n>2.(2)由(1)知，blt=n2n, nN*.Sn = 1 2+222+323+-+ (n- l)2'1+n2rt

14、,2Sn=l22+223+-+ (n- 1)2"+2刊，两式相减，可得-n2n+1= (I-W)2,rtl-2,9-厂+1 -5=2+22+23+-+2h - n2"+=1-29.【解答】：Sn= Cn - l)2n+1+2.解：(/)由条件可知，logs。"=】+" - 1="，°备=3込.O J+Kr+K丄3 + (n+l) bn = n2+2n+k b= ?'切二 3 ' b3-J由题意人为等差数列，2足=仿+氐 解得k=,.t.b,=2+ (n - 1) =n+l；10.【解答】(I/)由(/)知,+ ÷n+A (2)(1)则 3 nn÷1可sn=÷+-1 n+1 52n+