--单自由度系统的自由振动题解教学文案

1、1-1 一单层房屋结构可简化为题 1-1 图所示的模型， 房顶质量为 m,视为一刚性杆；柱子高 h,视为无质量的弹性杆，其抗弯刚度为 EJ。求该房屋作水平方向振动时的固有频率。解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。等效弹簧系数为 k则mgk其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知-U3二mgh-24EJ24EJh3设静平衡位置水平向右为正方向，则有mxkx1-2 一均质等直杆，长为 1,重量为 W,用两根长 h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。a=h22Fcos=mg由动量矩定理:IM12I一m

2、l122aaMFasincos-mgmga所以固有频率Pn24EJmh31-2解：给杆一个微转角228hsincos-1222%lh2,3ga1-3 求题 1-3 图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是 ki和 k3,悬臂梁的质量忽略不计。kk2k4k2k3k4k1k2k4m(k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4)1-4 求题 1-4 图所示的阶梯轴一圆盘系统扭转振动的固有频率。其中 J1、J2和 J3是三个轴段截面的极惯性矩，I是圆盘的转动惯量，各个轴段的转动惯量不计，材料剪切弹性模量为Go解：k1GJ1/l1(1)k2GJ2/l2(2)k3GJ34(3)k23GJ2J3/(J2l3

3、J3l2)(4)Pn2(k1k23)/I由(1)(2)(3)(4)知2PnG(J1J2l3J3J1l2J2J3l1)/Il1(J2l3J3l2)其中1ml212mg4h2Pn3gaPh2冗Pn解：悬臂梁可看成刚度分别为k1和k3的弹簧，因此，k1与k2串联,设总刚度为kok/与k3并联，设总刚度为k2,。k2与k4串联，设总刚度为ko即为k1k1k2k1k2k2k3k1k2k1k2k1k2k4卜2卜3kk1k2k4k1k3k2k3k1k2k1k4k2k4题1-3图题1-4图1-5 如题 1-5 图所示，质量为 m2的均质圆盘在水平面上可作无滑动的滚动，鼓轮绕轴的转动惯量为 I,忽略绳子的弹性、

4、质量及个轴承间的摩擦力，求此系统的固有频率。由于系统机械能守恒，因此:TmaxUmax由上式可解得系统的固有频率为:解：此系统是一个保守系统，能量守恒.如图题中的广义坐标xAsin(wta)则系统运动过程中速度表达式为：&Awcos(wta)x,设系统的振动方程为:系统最大位移和速度分别为：0axxhaxAx系统在运动过程中,动能表达式为:T1mx22lm2&2-m2r1I2R2弹性势能为:1Uk1R2R21k2x2系统最大动能为:1m1(Aw)21m2(Aw)21m2r2Aw2AwR2最大弹性势能为:Umax1k21k2A221212m1(Aw)m2(Aw)22一一m2r22

5、2Aw1I2AwR21k1R1R2题1-5图k1R1k2R23Im,m2_?2R21-6 如题 1-6 图所示，刚性曲臂绕支点的转动惯量为I0,求系统的固有频率。解：设曲臂顺时针方向转动的角为广义坐标，系统作简谐运动，具运动方程为sin(Pnt)很小，系统的动能为T2I。1-m12(a)21八m2(l2)2所以,PnCOS(Pnt题1-6图2I。22Pn2221Pna-222.2Pnl取系统平衡位置为势能零点。设各弹簧在静平衡位置伸长为3,由mo(F)0,k11amgak33bk22l由题意可知，系统势能为12vk1(a1)2将(A)式代入(B)12由,2I。22Pn所以，有2Pnk1a21-

6、7 一个有阻尼的弹簧12k3(b3)2322)2mga(B)可得系统最大势能为,-1.22Vmax二k1a2TmaxVmax222122.2Pna-Pnl222k3b2k2l22i2m1am2l-质量系统，质量为振幅从 0.64cm 减至 0.16cm,求阻尼系数解：振动衰减曲线得包络方程为：XAent振动20个循环后，振幅比为：0640.1612k32b212k22i21.22k121a2k32212.2b-k2l210kg,弹簧静伸长是 1cm,自由振动 20 个循环后,20nTde示。写出运动微分方程，并求临界阻尼系数和固有频率的表达式。解：图（1）为系统的静平衡位置，画受力图如（为：c

7、l21ml23c3ka2当 n=Pn时，c=cCTdIn420n代入TdT/曰/ln4、2彳导:(),15220n，4P2TN2ln420n)22100gNc=6.9Ns/m2amk2Pn3ka2ml21-8 一长度为l、质量为m 的均质刚性杆较接于 O 点并以弹簧和粘性阻尼器支承，如题 2-8 图所CC2nm2pnm2amkO由动量矩定理，列系统的运动微分方程a22Pn3kaml223crmg题1-8图FCYOFK1-9 如题 1-9 图所示的系统中，刚杆质量不计，试写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及固有Pn时2ca2b!jmka1-10 如题 1-10 图所示，质量为 2000kg 的重

8、物以 3cm/s 的速度匀速运动，与弹簧及阻尼器相撞后一起作自由振动。已知 k=48020N/m,c=1960Ns/m,问重物在碰撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多少方程为所以有&+-)&+kx=0mm2196048020其特征万程为：r+r+zoo。=0r=-0.494.875i0.49t0.49t所以：x=c1ecos4.875t+c2esin4.875t由于npn,由已知条件,频率。解:ml2akb2ca2&2PnPn2nkb22caml2ml2kb2ml22caml22ml2QPd,Pkb2ml22.44ml2ml24kmb2l2c2a4解：以系统平衡位置为

9、坐标原点，建立系统运动微分x2nx2PnX0题1-10图题1-9图mk三个方程联立，解得:Pd2m2,.,2pd2m221mPdPn2p2cn2m2196021QQ0，Pnk4802024.01,XQ0,XQm20000.03m/so故通解为其中，Pd.P24.875。代入初始条件,C1xo0,C2nx0X0X0PdxC2entsinPdt=0.006eent(C1cospdtC2sinpdt)0.0060.49tsin4.875t0.49t一.一x=0.006e(-0.49)sin4.875t+0.0064.875cos4.875物体达到最大振幅时，有xnC2entsinpdtC2entpdcospdt既得t=0.30s时，物