立体几何中长方体和三棱柱的外接球模型

1、1 .长方体的外接球模型1.1 长方体的外接球f设长方体.486-489。'的长、宽、高分别为巴则其外接球的直径就是卜。|，设外接圆的半径为火，则4斤=" +"+c表面积S = ( +/ +/)打,体积/=(/ +b2 + c2)4a2 +b2 +c2 .6例1 (2017年全国卷IH文)长方体的长，宽，高分别为321，其顶点都在球。的球面上，则球。的表面积 为.解：设球。的半径为R,则4火上=+22+32=14,所以球。的表面积S = 47?% = 14笈.1.2 长方体的外接球模型对于三棱锥来说，如果满足共顶点的三条棱两两垂直或者有线面垂直和线线垂 直，可考虑把

2、三棱锥补成长方体，转化为长方体的外接球问题 .例2 （2010年辽宁卷）已知邑4民。是球。表面上的点，S4 J_ 平面 ABC , AB1.BC , SA = AB = lBC = >/2f则球。的表面积等于（）A. 44 B. 34 C. 2/r D.兀解：因为SA1平面ABC ,所以SA1AB,SA1BC f 又 AB 工 BC,如图 1,故将三棱锥S-45C补成长方体，如图2,则三棱锥 的外接球即长方体的外接球，所以（2R）2 = AB2+BC2+SA2=4 ,球 O 的表面积例3 （2008年浙江卷）如图3,己知球O的面上四点4BCQ,O/J_平面/8C,da = ab = bc

3、 = E则球O的体积等于解：因为D4_L平面月BC,得DA1AB.DA1BC.又 ABJLBC, 所以可把三棱锥O-48C补成长方体，如图4, 三棱锥。-4的外接球即长方体的外接球,3 所以 4斤=3 + 3 + 3 = 9,R = ,所以球。的体积 内=2- 32（2017年云南师大附中高三月考）如图5,在 边形 ABCD 中，AB = AD = CD,BDf,BDLCD.将其沿对角线30折成四面体ABCD,使平面48。，平面BCZ）,如图6.若四面体 48C。的顶点在同一球面上，则该球的体积为（）解：因为且平面4BO1.平面8CZ）, 所以8,平面力8Z）,由ZB，4。，故可把三棱锥C-4

4、5。放到正方体中，如图7.所以 4R2=3xF=3,所以球的体积/ = ±成3=走）.选A./ 例5 （2008年福建卷）若三棱锥的三条侧棱两两垂 直，且侧棱长均为石，则其外接球的表面积是解：因为三棱锥的三条侧棱两两垂直且长度相等，故可把三棱锥放到正方体中，问题转化为求棱长为75的正方体的外接球的表面积，所以4箝=4x3 = 12, 表面积S = 4日=12人.2 J例6（2017年沈阳市质量检测）已知例4尻C是球。表面上的不同点，54 1平面ABC , aBLBC、A8=l.BC = e,若球。的表面积为4万，则 SA 二(3Dr 一2V2A, 解:设”=、，由题意，把三棱锥S-4

5、3。放到长方体中，则4K二=1 + 2 +/，所以球。的表面积S ARTr (3 + x)/r = ，故 t = 1,选 B. _,2 .三棱柱的外接球模型（在直三棱柱工""中，AB = c,HC = b、BC = a,AA=h,设其外接球的球心 为O,半径为H.过球心O作两个底面的垂线，垂足 分别为。则。4 =O8=OC =K，如图8,可知阳0Q4三。18三对0。， 所以是/笈。的外心，同理2是力避£的外心，且oox = OO, .如图 9 ,在 RtOO.A 中，h现在的关键问题是孙Aia图8图9 在4ABC中，由正弦定理，得 ，一=/_ = _J = 2/Q

6、 ,由一边及其对角即得 sin A sin B sin C2) h1AO,所以火2= 40J+-.1 14高中初宇Nil/ 例7 （2010年新课程全国卷）设三棱柱的侧棱垂/直于底面，所有棱长都为。，顶点都在一个球面上.则该球的表面积为（）C.11一汽。3，7 、A.4CTB.一加QT3解：如图8,在正中由正弦定理得, 平。卜山即知=3如图9,在&力中，00、=2, 22 « 2由勾股定理得，7?2=+ ,1412所以表面积S = 4火6 = 271aL选B.3高中劲字n/例8 （2009年全国卷1 ）直三棱柱/9r卜。卜2,又的各个顶点都在同一球面上， 若 /3 = /C

7、= 44'=2, N"4c = 120"则此球的表面 积为.解：如图8,在中由正弦定理得，,.224。=4111 sin 30°如图9,在对O。/中由勾股定理得.上二卜。+|。卜5,所以表面积S = 4/?” =20”.棱锥尸中，P/1底面”C,且NBAC = e也手上）,则可三棱锥补成三棱柱，那么三 2棱锥的外接球问题可转化为三棱柱的外接球问题，如图10.若6=三，则是长方体的外接球模型.2B/HOC =60。，故可把体4-8C。放到三棱柱,例9 （2017年贵阳市二模）已知等腰直角AABC 的斜边3。= 2,沿斜边的高线将ZBC折起，使二面角C为二，则

8、四面体45。的外接 3球的表面积为解，如图11,将等腰直角4SC沿斜边的高线NQ将折起，得四面体Z 8CQ ,如图12.为 4QJ.OC,力OJLD?,得 平面 BCQ,4QC就是二面角B-AD-C的平面角，图11图1213, AD = 1 , |00j = L，8CZ）是边长为 1的正三角形，由正弦定理得，2CO1 =1 sin 60°所以胪得外接-7球的表面积S = 4六兀=一冗、 3图130（2017年陕西省适应性考试）如图14,在 中，AB = BC = V6, AABC = 90° , D 为 AC的中点.将力AD沿折起到尸的位置，使 PC = PD ,连接PC,得到三棱锥P-8C。，若该三 棱锥的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积为 （）A. 7万 B. 57r C. 3乃 D.乃解：因为。的力C中点且45 = 5。，所以BDLDP.BDLDC ,所以 平面 PC。，且 P