线性代数试题

1、、单项选择题 (只有一个选项正确，共 8 道小题)1. 设向量组1，2，3线性无关，则下列向量组中线性无关的是( ) 。(A)1 -2 2 - 3 ， 3 - 1(B)1 ，2 3 + 1(C)1 ，2，2 1 - 3 2(D)2 ，3，2 2 + 3正确答案： B解答参考：A中的三个向量之和为零， 显然 A线性相关；B中的向量组与 1，2， 3 等价 , 其秩为 3，B向量组线性无关； C、D中第三个向量为前两个向量的线 性组合，是线性相关向量组。2.(A) 必有一列元素全为 0；(B) 必有两列元素对应成比例；(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合；(D) 任一列向量是其余列向量的线性

2、组合。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C解答参考：3. 矩阵 ( 0 1 1 - 1 2 ,0 1 - 1 - 1 0 ,0 1 3 - 1 4 ,1 1 0 1 - 1 ) 的秩为 ( ) 。(A) 1(B) 2(C) 3(D) 4 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考：4. 若矩阵 ( 1 a - 1 2, 1 - 1 a 2 ,1 0 - 1 2 ) 的秩为 2,则 a 的值为 (A) 0(B) 0 或-1(C) -1(D) -1 或 1 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： B解答参考：5. 二次型 f( x 1, x 2 , x 3 )=2 x 1 2

3、 +5 x 2 2 +5 x 3 2 +4 x 1 x 2- 8 x 2 x 3，则 f的矩阵为 。(A)(24005800 5)(B)(2400540-45)(C)(2202540-45)(D)(2404540-45)你选择的答案：未选择 错误 正确答案：C解答参考：6. 设 A 、B 为 n阶方阵，且A与 B等价， | A |=0 ，则 r(B)(A)小于 n(B)等于 n(C)小于等于n(D)大于等于n你选择的答案：未选择 错误 正确答案：A解答参考：7. 若矩阵 1 2 2- 3 ,1- 1 - 3 ,1 0 2 - 3 的秩为 2,则 的取值为(A)0(B)-1(C)2(D)-3你选

4、择的答案：未选择 错误 正确答案：C解答参考：8. 设 1 , 2 , 3是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则下列向量组中也可作为Ax=0 的基础解系的是(A) 2(B) -2(C) 1(D) -1 你选择的答案： 未选择错误 正确答案： B 解答参考：、判断题 (判断正误，共 6道小题 )9. 设 A? ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考：10. 若 A 是方阵，则 | A |=| A T |。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确 解答参考：11. 如果矩阵 A与 B等价，则 A的行向量组与 B的行向量组等价。你

5、选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考： 反例： A=( 1 0 0 0 1 0 0 0 0 )， B=( 0 0 0 0 1 0 0 0 1 )12. 非齐次线性方程组 Ax=b 一定有解。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考：13. 若 A、 B是 n 阶非零方阵，且 AB=0 ，则 | A | 0 或者 | B | 0 。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考：14. 设 =0 是 n 阶方阵 A 的特征值，则方程组 Ax=0 有非零解。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确解答参考：注意：若有主观题目，请按照题目，

6、离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。 )三、主观题 (共12道小题 ) 15. 设 1 =( 6 - 2 0 4 ) , 2 =( - 3 1 5 7 ) ，则 3 1 - 2 2 = 参考答案： 3 1 - 2 2 =( 24 - 8 - 10 - 2 )16. 设 =( - 1 1 0 ) , A=( 2 0 1 0 4 2 1 1 0 ) , B=( 1 0 0 3 2 2 ) , 则 AB=参考答案： AB=( 0 14 )7.参考答案：51/3 ， 3518.线性的，它的一个极大线性无关组是 参考答案： 相关(因为向量个数大于向量维数)。 1 因为 3

7、 =2 1 + 2 ,A=|2124。 4 | 0 。19.时，此方程组只有零解。参考答案： r=n 时，此方程组只有零解。20.是分块对角矩阵，其中参考答案： (2n+1)!21.参考答案： | AB |=- 822.参考答案： a 1/ 223.为标准形。参考答案：24.参考答案：25.参考答案：26. 用正交变换化二次型 为标准型，并 求出所用的正交变换及 f 的标准型。问：这个二次型是否是正定的为什么 参考答案：本次作业是本门课程本学期的第 3 次作业，注释如下： 一、单项选择题 (只有一个选项正确，共 8 道小题) 1. 设 A 为 n 阶方阵，且 A2+A- 5E=0,则(A+2E

8、) - 1=( ) 。(A) A- E(B) A+E(C) 1 3 ( A- E )(D) 1 3 ( A+E )你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C解答参考：A 2+A- 5E=0? A 2+A- 2E=3E? ( A+2E )(A - E)=3E? (A+2E )1 = 13 (A-E)2. 若 n维向量 1 ， 2 ， ?, n 线性相关， 为任一 n 维向量，则 ( ) 。(A) 1 , 2 , ? , n ,线性相关；(B) 1 , 2 , ? , n ,线性无关；(C)一定能由 1 , 2, ? , n 线性表示；(D) 1 , 2 , ? , n , 的相关性无法确定。

9、你选择的答案： 未选择错误 正确答案： A 解答参考：3. 设线性方程组 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1- 3 x 2 - 2 x 3=1 则此方程组 。(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 有基础解系你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： A解答参考：4. 设 n维向量组 1,2,? ,s, 若任一 维向量都可由这个向量组线性表出, 必须有(A)s= n(B)s n(D)s你选择的答案： 未选择错误 正确答案： D解答参考：5. 设 1 , 2 , 3 , , 都是 4 维列向量， 且 4 阶行列式 | 1 , 2

10、 , 3 , |=a ， | , 1 , 2 , 3 |=b ，则 4 阶行列式 | 1 , 2 , 3 , + |=(A) a+b(B) - a- b(C) a- b(D) b- a 你选择的答案： 未选择错误 正确答案： C解答参考：6. 设 B,C 为 4 阶矩阵， A=BC , R(B)=4 , R(C)=2，且 1 , 2 , 3 是线性方程组 Ax=0 的解，则它们是(A) 基础解系(B) 线性相关的(C) 线性无关的(D) A,B,C 都不对 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： B 解答参考：7. 设 n 维列向量 = ( 1 2 ,0, ? ,0, 1 2 ) T ，矩阵

11、 A=I - T ， B=I+2 T ， 则 AB=(A) 0(B) - I(C) I(D) I+ T 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C 解答参考：8.(A)(B)(C)(D)解答参考：、判断题 (判断正误，共 5道小题 )9. 设 A? ,B 是同阶方阵，则 AB=BA 。 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考：10. n 维向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 2 , 3 , 4 线性无关。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考：11. 若方程组 Ax=0 有非零解，则方程组 Ax=b 一定有无穷多解。 你选择的答案： 未选

12、择 错误 正确答案： 说法错误解答参考：12. 若 A? ,B 均为 n 阶方阵，则当 | A | B |时， A? ,B 一定不相似。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确解答参考： 相似矩阵行列式值相同13. 设 A 是 mn 阶矩阵且线性方程组 Ax=b 有惟一解，则 mn你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确解答参考：注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。 ）三、主观题 （共12道小题 ） 14. 设 A 是 mn 矩阵 , B 是 pm 矩阵，则 A T B T 是 阶矩阵。参考答案： A T B

13、T 是 np 阶矩阵。15. 由 m个 n 维向量组成的向量组， 当 m n 时，向量组一定线性相关。 参考答案： mn时向量组一定线性相关16.参考答案：a=6(R( A )=2? | A |=0)17.参考答案： ( 1 2 3 4 ) T +k ( 2 0 - 2 - 4 ) T 。因为 R( A )=3 ，原方程组的导出组的基础解系中只含有一个解向量，取为 2 + 3 - 2 1 ，由原方程组的通解可表为导出组的通解与其一 个特解之和即得。18.时方程组有唯一解。参考答案： 当 a=- 2 时方程组无解，当 a=1 时方程组有无穷多个解，当 a1, - 2 时方程组有唯一解。19.参考

14、答案： 2420.参考答案： t=621.参考答案：22. 参考答案：23.参考答案：24.已知方阵(1) 求a,b 的值； (2) 求可逆矩阵 P及对角矩阵 D,使得 参考答案：25. 参考答案：本次作业是本门课程本学期的第 1 次作业，注释如下：、单项选择题 （只有一个选项正确，共 8 道小题）1. 下列矩阵中，不是初等矩阵。(A)(B)(C)(D)你选择的答案： 未选择错误 正确答案： B解答参考： 初等矩阵一定是可逆的2. 则(A)(B)(C)(D)你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： D解答参考：A 错误，因为 mn ，不能保证 R(A)=R(A|b) ；B错误， Ax=0 的基

15、础解系含有 n- R( A ) 个解向量； C错误，因为有可能 R(A)=nR(A|b)=n+1 ,Ax=b 无解； D正确，因为 R(A)=n 。3. A、B为 n阶方阵,且 A、B等价,| A |=0 ，则 R (B) 。(A) 小于 n(B) 等于 n(C) 小于等于 n(D) 大于等于 n 你选择的答案： 未选择错误 正确答案： A解答参考：4. 若 A为 5阶方阵且|A|=2 ，则| 2A|=(A) 4(B) 4(C) 64(D) 64 你选择的答案： 未选择错误 正确答案： C解答参考：5. 线性方程组 a 11 x 1 + a 12 x 2 +? + a 1n x n = b 1

16、, a 21 x 1 + a 22 x 2 +? + a 2n x n = b 2,? ? a m1 x 1 + a m2 x 2 +? + a mn x n = b m 的系数矩阵为 A, 增广矩阵为A ,则它有无穷多个解的充要条件为 。(A)R(A)=R(A )n(B)R(A)=R(A )m(C)R(A)R(A )1) 线性相关的充要条件是(A) 有两个向量的对应坐标成比例(B) 含有零向量(C) 有一个向量是其余向量的线性组合(D) 每一个向量都是其余向量的线性组合你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： C解答参考：7. 设 3 阶矩阵 A 的特征值为 1 , - 1 , 2 ，则下列

17、矩阵中可逆矩阵是(A)E- A(B)E+A(C)2E- A(D)2E+A你选择的答案： 未选择错误 正确答案： D解答参考：8. 设 1 ,2 , 3是齐次方程组Ax=0的基础解系，则下列向量组中也可作为 Ax=0 的基础解系的是(A)1+2, 2 +3, 1+2 2 + 3(B)1+2, 2 +3, 3- 1(C)1+2, 2 +3, 3+ 1(D)1-2,0, 2-3你选择的答案： 未选择错误 正确答案： C解答参考：、判断题 (判断正误，共 6道小题 )9. 如果行列式有两行元素完全相同，则行列式为零你选择的答案： 未选择错误 正确答案： 说法正确 解答参考：10. A? ,B 是同阶方

18、阵，且 | AB | 0 ，则 ( AB ) - 1 = B - 1 A - 1你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法正确解答参考：11. A 是 n 阶方阵， R ，则有 | A |=| | A | 你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误解答参考： | A | = n | A |12. 设 A 是一个 n 阶方阵且方程组 Ax=0 有非零解，则 |A|=0你选择的答案： 未选择错误 正确答案： 说法正确 解答参考：13. 设 A 是 n 阶方阵( n 2 ), R ,则 | A |=| A |你选择的答案： 未选择错误 正确答案： 说法错误 解答参考：14. 若向量组 1 , 2 , 3 , 4 线性相关，则 1 , 2 , 3 也线性相关。你选择的答案： 未选择 错误 正确答案： 说法错误 解答参考：注意：若有主观题目，请按照题目，离线完成，完成后纸质上交学习中心，记录成绩。在线只需提交客观题答案。 )三、主观题 (共13道小题 )15. | 0 1 2 ? n- 1 n 0