第六章二次型总结

1、第六章 二次型（一般无大题）基本概念1. 二次型 : n 个变量 x1, x2 ,L ,xn 的二次齐次函数2f(x1,x2,L ,xn ) a11x12 2a12x1x2 a22 x2 2a23 x2 x32a13x1x3 L2a2nx2xn2a1nx1xnL2annxn2的矩阵 , 二次型矩阵均为对称矩阵 , 且二次型与对称f (x1, x2 ,L2, xn )a11 x1a12 x1 x2a13 x1 x3La1 n x1xna21 x 2 x12 a22 x 2a 23 x2 x3La2nx2xnLLan1 xnx1an2xnx22an3xnx3L2 a nn xna11a12La1n

2、Lxa21a 22La2nx1 x 2nnLLLLan1an2Lannx T Ax称为 n 元二次型 , 简称二次型 . 其中 aij aji , 则Mx1x2xn因此，二次型也记X AX , A 称为二次型矩阵一一对应 , 并把矩阵 A的秩称为二次型的秩，记作 R（f ）=R（A） 例题：写出下列二次型的矩阵： （p 书 126 例）2. 合同矩阵的定义及性质合同矩阵定义设A, B均为n阶方阵，若存在可逆矩阵 C，使得 CTAC B，则称矩阵 A与B合同，记A B .实对称矩阵 A与 B合同的充要条件是二次型 xT Ax与xT Bx有相同的正 负惯性指数 .（A 的正 , 负惯性指数： A

3、的特征值的个数 ）合同是矩阵之间的另一种关系，它满足（1）反身性，即 A ETAE ；（2）对称性，即若 B CTAC ，则有 A C 1 T BC 1；（3）传递性，若 A1 C1T AC1和 A2 C2T A1C 2 ，则有 A2 C1C2 T A C1C2 因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的 .在数域 P 中要使两个二次型等价，充分必要条件就是它们的矩阵合同合同矩阵的性质性质 1合同的两矩阵有相同的二次型标准型 .性质 2性质 3矩阵合同与数域有关 .例2设 A,B均为数域 F 上的 n阶矩阵 ,若 A,B合同，则 r A r B ,反之，若B , 问在

4、F 上是否合同若 A与B合同，即存在可逆矩阵 C，使B CTAC .由于任何矩阵乘满秩矩阵不改变矩阵的秩，故 A与B有相同的秩 .反之，若 r Ar B ，则 A 与 B 在 F 上不一定合同10. 例如，方阵 A= 01 01 ，B= 1 1 的秩相等，01而非对称方阵不能与对称方阵合同例3 设=A A100A2，B= B1 0 ，证明：如果 A1与B1合同， A2与B2合同，则 A 0 B2与 B 合同 .证 由于 A1与 B1合同，A2与B2合同，故存在满秩矩阵 C1 ， C2 ，使得 B1 C1T A1C1 ，B2 C2T A2C2，于是令 CC1 0 ，则有 B CT AC ，即 A

5、与 B 合同. 0 C 22 3 合同矩阵的判定定理 1 两复数域上的 n阶对称矩阵合同的充分必要条件上是二者有相同的秩定理 2 两实数域上的 n阶对称矩阵合同的充分必要条件是它们有相同的秩和符号差矩阵与合同矩阵的等价条件定理 1 如果A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根 .则A ，B既相似又合同 .定理2 若n阶矩阵 A ， B中有一个是正交矩阵，则 AB与BA相似且合同. 定理 3 若A与B相似且合同，C与D相似且合同，则 A 0 与 B 0 相似且合同 .0 C 0 D4 00410220例5 已知A=04 0400，B= 041，C=222200，试判断A，B，C中哪些矩阵0 0

6、4000002在数域 P 上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵相似，哪些矩阵合同分析 矩阵 A 的秩和矩阵 B, C 的秩不等，则 A不可能与 B ， C 相似或合同，只有 讨论 B ， C 了.解 A的秩为 3，而 B，C的秩为 2，故 A和B ， C既不相似又不合同 .又B的迹是 8，而 C的迹是 6，不相等，故 B 和C不相似，最后， C 是对称矩阵， 而B不是，所以， B和C也不合同 .所以，矩阵 A ，B ， C 相互之间既不相似又不合同 .3. 二次型的标准型 , 规范性 rT T T T 2 标准型 : 二次型 f(x1,x2,L ,xn) xT Ax经过合同变换 x Cy化为

7、 f xTAx yTCT ACydiyi2 称i1 为 f 的标准形 .( 在一般的数域内 , 二次型的标准形不是唯一的 , 与所作的合同变换有关 , 但系数不为 零的平方项的个数由 r(A) 唯一确定 )规范形 : 任一实二次型 f 都可经合同变换化为规范形 f z12 z22 L z2p zp2 1 L zr2 , 其中 r 为 A的秩 , p 为正惯性指数， n p为负惯性指数，且规范型唯一。4. 化二次型为标准型方法(1) 配方法(任何二次型都可可由此化为标准型) 如果二次型中至少含有一个平方项 , 不妨设 a11 0 , 则对所有含有 x1的项配方 , 经配方后所余各项 中不再含有

8、x1, 如此继续 , 直至每一项都包含在各完全平方项中 , 引入新变量 y1,y2,L ,yn ,由1 T 2 2 2 y C 1x, 得 xT Ax d1y12 d2 y22 L dnyn2 例： p 书 131 例 如果二次型中不含平方项, 只有混合项, 不妨设 a12 0, 则可令 x1 y1 y2, x2 y1 y2, x3 y3, L , xn yn, 然后按的方法继续做 例： p 书 131 例(2) 正交变换法设 A是 n 阶实对称矩阵 , 按以下步骤进行 : 求出 A的全部特征值 1, 2,L , t . 对每个 i(i 1,2,L ,t), 求出 ( iE A)x 0的一个基

9、础解系 i1, i2,Li1, i2,L , is正交化 ,单位化 ,得ri1,ri2,L , ris ,它是单位正交向量组 ,而且是的属于的 i线性 无关的特征向量 .以r11, r12,L ,r1s,r21,r22,L ,r2s1,L ri1,ri2,L , rist列向量 , 构造出正交矩阵 T, T即为所求正交 变换矩阵 ,使T 1AT 为对角矩阵 .再利用正交变换 x=Py，二次型可化为标准型 f=? 1y12+ ? 2y22+ ? nyn2, 其中? i 为对角矩阵 T 1AT的对角元素，也为 A的全部特征值 .因为对角矩阵的位置任意性， 故二次型化为标准型的答案不唯一 .例 4

10、用正交变换化二次型2x1221A2解 f 的矩阵为 2|IA的特征多项式为A|2 ( 9)1EA的特征值为 1 0 (二重)1A22可得 A对应于 1 的两个线性无关特征向量为(0,1, 1)T,(4,1,1)T显然 1, 2已经正交 .得 A 对于 2的特征向量为(1,2,1)T1, 2,(0, 1 )2, 2)4(3 21,3 2,3 2)1(3,23)T4x2 4 x3 4x1x2 4 x1x3 8x2x3为标准形 .作正交变换x1x2x31212432132132132323y1y2y3则f29y32例5已知二次型f (x1, x2,x3) 2x123x223x322ax2x3(a 0

11、) 通过正 交变 换化成 标准形2y1222y22 5y321)求参数 a 及所用的正交变换矩阵；2) 2x1 3x2 3x3 2ax2 x3 1表示什么曲面200A03a解 二次型 f 的矩阵为0a320| E A |03aA的特征多项式为0a3( 2)( 2 6 9 a2 )由题设可知 A 的特征值为 11,22,352将 1 1代入 | E A| 0, 得 a40,a2200A032因a 0, 故取 a 2, 这时 ,023100 x1 0022x 20对于 1 1, 解| 1E A | X0,即022 x 3 0解得对应的特征向量为 1 (0,1,1)T.对于2 , 解|2EA|X0,

12、 即得对应的特征向量为(1, 0,0)T对于5, 解 |3EA|X0, 可得对应的特征向量为(0,1,1)T123 单位化：1111(0, 122 (1, 0, 0)T1 1 T3 (0, 2, 2 )T故所用正交变换的矩阵为0121201212；2)当 f 1 时,2 y2 1 22 z 1 5是椭球面 .例 6 设二次型2x12x32ax1x2 2bx2x3 2x1x3经正交变换 X PY 化成 fy22 2y32.其中, X (x1,x2,x3)T, Y (y1,y2,y3)T , P 是三阶正交矩阵 . 试求常数 a, b.解 二次型 f 经变换 X PY 前后的矩阵分别为1a1A a

13、 1 b1b1000B 0 1 0002故二次型 f 可写为 f X TAX YTBY因此 |EA| |EB|1a100a1b0 1 0即1b10 0 2 等价于 3 3 2 (2 a2 b2)(a b) 2 3 3 2 2由此式可得ab 0 为所求的常数 .由于 PT AP B 且 P 为正交矩阵故 PT P 1且 P 1AP B,注 1 ：对于同一个二次型来说，他的标准型不唯一；注 3 ：对二次型所有标准型当中所含有的项数是一致的，所含的正系数的个数也唯一5. 二次型的正定性及正定矩阵(1) 如果实二次型 f (x1,x2,L xn) xT Ax ，对任意一组不全为零的实数 x (x1,x

14、2,L ,xn)T ，都有 f (x1,x2,L xn) xT Ax 0 ，则称该二次型为正定二次型， 正定二次型的矩阵 A称为正定矩阵。(2) 惯性定律设有实二次型x Ax ，它的旨为 r ，有两个实可逆变换x=Cy，及 x=Pz使 fk1y12k2y22Lkryr2ki0 及 f1z122z22Lrzr2i0则k1， k2， kr与 1， 2， r 中正数的个数相等 .(3) 二次型正定的判别法：实二次型 f (x1,x2,L xn) xTAx 正定的充要条件是以下条件之一成立： 二次型的标准型中的 n 个系数全为正，即正惯性指数为 n ； A 的特征值全大于零； A 的所有顺序主子式全大

15、于零； 存在可逆矩阵 P ，使 A PT P0, i 1,2,L ,na 负定的充要条件是：奇数 存在正交矩阵 Q ，使QT AQ Q 1AQ(4) 对称阵 a 正定的充要条件是： a 的各阶顺序主子式都为正；对称阵 阶顺序主子式为负，而偶数阶顺序主子式为正注：设 A 为 n 阶矩阵，由 A 的前 k 行和前 k 列构成 k 阶子式成为矩阵 A的k 阶顺序主子式例 1 用配方法化二次型为标准形 , 并判断 f 的正定性 f (x1,x2,x3) x12 x22 3x32 4x1x2 2x1x3 2x2x3解 先将含 x1的各项合并在一起 , 配成完全平方 , 再接着处理 x2,x3.(x124

16、x1x22x1x34x 22x32 4x2x3)4x 22x 32 4 x 2 x3 x 22 2x2 x 33x 32(x1x2x3)2( 3x222x2x3)2x32(x12x2x3)23(x22 2 x2x3x32 )391x32332x32(x12x2x3)23(x212x3)273x323333f(x1,x2,x3) (x12 4x1x2 2x1x3) x22 2x2 x3 3x23y1x12x2x3y2x213 x 3y 3 x35-1)f (x1,x2,x3)y12例 3 求 的值 , 使二次型f(x,y,z,w)(x2y2 z2) 2xy 2yz 2zx w2是正定的 , 并讨论2的情况解 f 的矩阵为1101A101100001得二次型的标准形为3y22 3 y32因f 的正惯性指数小于3, 故 f 非正定二次型f 正定的充要条件是 A正定, 而 A正定的充要条件是 A的各阶顺序主子式全大于零A的各阶顺序主子式为111A22 1 A 311A1， 2111(1)2 (2)2，A4 | A| A3 (1)2(2)由以上各式可知 , 当2 时, A的各阶顺序主子式全大于零 , 此时 A正定, 因而 f 正定.当 2时 , A的各阶顺序方子