第一讲2通项公式x

1、数列的通项公式n的前 n 项和n2n2 3n ，求 an的通项公式： 典例 1 数列 aS 解 (1) a11 2 3 1，S当 n 2 时， an Sn Sn 1 (2n2 3n) 2(n 1)23(n 1) 4n 5，由于 a1 也适合此等式，所以 an 的通项公式为an 4n 5.跟踪 1 已知数列 an 的前 n 项和为n n2 2n 2，则数列 an 的通项公式为 ()SA an 2n 3B an 2n 31， n 1，1， n 1，C a D a nn2n 3， n 22n 3， n 2解析： 选 C当 n 1 时， a1 S1 1，当 n 2 时， an Sn Sn 1 2n 3

2、，由于 n 1 时 a11， n 1，的值不适合n 2 的解析式，故an 的通项公式为an2n 3， n 2.跟踪 2数列 an1n 2，n N* 都有 a1 2 3n2，则 a3 5中，a 1，对于所有的a a a n a ()61252531A. 16B. 9C.16D.15解析：选A令 n 2,3,4,5，分别求出 a3 9， a525， a3 a561.41616典例 2(1)已知数列 an11， an 1n1，则 an _；满足 a 2 a n2n解析 (1)由条件知 an 1 an 211 11，n nn n 1nn 1则 (a2 a1) (a3 a2) (a4 a3) (an a

3、n 1)1111111122 33 4 n 1 n，即 an a1 1 1 ，又 a11，n2 an 11131.n22n跟踪 2设数列 an1n 1nn满足 a 1，且 a a n 1，求数列 a 的通项公式解： 由题意有 a2 a1 2， a3 a2 3， ， an an 1 n(n 2)以上各式相加，得an1n 12 n n 2n 2. a 2 3 n22又 a1 1， an n 2 n(n 2)2当 n 1 时也满足此式，n2n an (n N * )2典例 3若数列n12， an 1nn，则通项n _；a 满足 a 3 n 1aanann 1n 1，解：由 an 1 n 1an (a

4、n 0)，得 anaan 1a2故 ann a1a1a2a1nnn 1 n 21 2 nn 12 32 3n . 典例 4若数列 an 满足 a1 1， an 1 2an 3，则 an _；解：设递推公式an 1 2an 3 可以转化为an 1 t 2(an t)，即 an 1 2an t，则 t 3.故 an 1 3 2(an 3)bn 1an 1 3令 bn an 3，则 b1 a13 4， bn 0，且bn an 3 2.所以 bn 是以 4 为首项， 2 为公比的等比数列所以 bn4 2n 1 2n 1，即 an 2n 1 3.跟踪 4已知数列 an 中， a1 1，若 an 2an

5、1 1(n 2)，则 a5 的值是 _an 1解析： an 2an 1 1， an 1 2(an 1 1)， an 1 1 2，又 a1 1， an 1 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，即 an 1 2 2n 1 2n， a5 1 25，即 a5 31.答案： 31典例 5n1n 12an，则 an _.若数列 a 满足 a 1， a n2a2an解 an 1 an 2， a1 1， an 0，1 1 1 an 1 an 2，即 1 11， an 1 an 2又 a1 1，则1 1，a11是以 11 an为首项，2为公差的等差数列111n1 n (n 1) ，aa12222 an n

6、 1.巩固练习1. 若数列 an 满足： a1 1， an 1 an 2n，求数列 an 的通项公式解： 由题意知an 1 an 2n， an (an an 1) (an 1 an 2) ( a2 a1) a1 2n 1 2n 2 2 11 2n 2n 1.又因为当 n 1 时满足此式，所以an 2n 1.1 22.设 Sn 是数列 an 的前 n 项和，且 a1 1， an 1 Sn Sn 1，则解析： an 1 Sn 1 Sn ， an 1 SnSn 1，Sn _. Sn 1 Sn SnSn 1. Sn111，即 11 1. 0， Snn 1n 1SnSS又11， S1 1 是首项为 1，

7、公差为 1 的等差数列Sn 1 1 (n 1) ( 1) n， Sn1Sn n .答案：1nnn2n1，则 an的通项公式是n3.若数列 a 的前 n 项和 S 3a 3a _.解析： 当 n 1 时，由已知 Sn 2an 1，得 a12a11，即 a1 1；当 n 2 时，由已知333321212122得到 Sn 13an 1 3，所以 an Sn Sn 1 3an 3 3an 13 3an 3an 1，所以 an2an 1，所以数列 an 为以 1为首项，以2 为公比的等比数列，所以an ( 2)n 1.答案：( 2)n 14已知数列 a 满足 a 1， aa 2n*)，则 a ()(n

8、Nn1n 1 n10A 64 B32 C16 D8解析：选B an 1 nn， an 2n 1n 1，两式相除得an 22.又 a121a 2a 2aa 2， a 1，n a2 2.则a10 a8a6 a4a 24，即 a10 25 32.a6aa284n 1* ，n 2)，数列 bn1n1na(n N 满足关系式n*)5.已知数列 a 满足 a1，a2an 1ban (n N 1(1) 求证：数列 bn 为等差数列；(2) 求数列 an 的通项公式解： (1)证明： b1 ，且 aan 1，n ann n 12a 1 bn 1 1 1 2an 1，an 1anan2an 12an 11 bn 1 bn an