第8章常微分方程

1、第 8 章 常微分方程8.1 基本概念一、问题的引出1. 求曲线方程的问题例 1 已知曲线上每一点 P (x,y)处的切线的斜率等于该点横坐标的平 方，且该曲线经过点 (3,10)，求曲线的方程。解：设曲线方程为 y f (x)由题意得 y' dy xdx3两边积分得 y x2dx x C3初始条件为 y|x=310代入初始条件得 109 C，C13故所求曲线为 y x 132. 确定运动规律问题例 2 列车在以 20 米 / 秒的速度行驶时制动， 制动后的加速度为 0.4米 / 秒 2，求列车制动后的运动规律。解：设列车的运动规律为 ss (t), 则加速度是 s 的二阶导数，由题意

2、有 s''(t)d2s dt20.4积分得 v(t) s'(t) ( 0.4)dt 0.4t Ct0时，vs' (0) 20,s' (t) 0.4t20 再积分得 s(t) ( 0.4t 20)dt 0.2t 2 20t C2 t0时，s (0)0,s (t) 0.2t2 20t二、关于微分方程的基本概念含有未知函数的导数的方程称为微分方程。 如果导数是一元函数的导数，则称为常微分方程，如果导数是多 元函数的导数，则称为偏微分方程。微分方程的阶数：微分方程中所含未知函数的导数的最高阶数。微分方程的次数： 微分方程中所含有的各项中未知函数及其各阶 导数的次

3、数之和的最大值一次微分方程称为线性微分方程。线性微分方程的左边是关于 y 及其各阶导数的有理整式，右边是关于 x 的函数。由微分方程求原函数称为解微分方程。 求出的原函数称为微分方 程的解。含有任意常数的微分方程的解称为通解， 不含有任意常数的微分 方程的解称为特解。为求特解所给定的条件称为初始条件。8.2 一阶微分方程 一阶微分方程的解法 形如 y'f (x) 的一阶微分方程总可用两边积分的方法直接求出微 分方程的解 y f(x)dx F(x) C。一、变量可分离的微分方程形如 y'f (x)·g (y)或 f1 (x)g1 (y)dxf2 (x)g2 (y)dy0

4、的方程称为 变量可分离的微分方程。对于变量可分离的微分方程，把 y' 写成 dy 的形式，微分方程一 dx 定可化为 g (y)dyf (x)dx ，两边积分可求得通解为 G(y)F(x)C 例如：解微分方程 y'y2+xy2解 : dy y 2 (1 x)可变形为 12 dy (1 x)dxdxy 2两边积分得 1 x 1 x2 Cy2例 1：求微分方程 y' 2xy 的通解解 : dy 2xy, 可分离变量为 1 dy 2xdxdx y22两边积分得 ln y x2 lnC lnex lnC lnCex2y Cex(C为任意常数 )注意：在解微分方程时 1 dy的结

5、果通常不用再写成 ln|y|,而直接写作 ylny ，此时的积分常数通常也不写成，而写作 lnC。 例：求微分方程 y'cosxy满足初始条件 yx 0 1的特解解 : dy y ,可分离变量为 1 dy sec xdxdx cosx y两边积分得 lny ln(secxtanx)lnClnC(secxtanx) yC(secxtanx) (C 为任意常数 )以初始条件 x 0，y 1 代入，得 C 122则 y 1 (secx tanx)二、齐次型微分方程 形如 y' f (y) 的微分方程称为齐次型微分方程。x令 u y ，则 yux，y'uxu'，原微分方

6、程变形为 u xu'f(u) x这是一个以 u 为变量的变量可分离的微分方程 dudx ，两边积f (u) u x分后即可求出通解： F(u)lnxC，即F ( y ) lnx C 。x例 3：求微分方程 y'tan 的通解xx解 : 令u y ,则y xu,y' u xu ' ,代入得 u xu' u tanux即 x du tan u, 分离变量得 cot udu 1 dxdx x 两边积分得 ln sin u lnx lnC lnCx sin y Cx(C为任意常数 )x例 4：求微分方程 y2+(x2-xy)y '=的0 满足初始条件 y

7、|x=1 1 的特解解 : 将原方程变形为 y' 2xy x2y2( )2xy1x令u y,则y xu,y' u xu',代入得 u xu x2 uu u u 1 u 1即x ddux uu1,分离变量得 (1 u1)du 1dx两边积分得 u lnu ln x lnC ln Cx,ln eu lnCx lnuyex Cx y Cy(C为任意常数 )x把 x1,y 1 代入，得 e-1 C，C e-1y1所求的特解为 y ex三、一阶线性微分方程形如 y' p(x) yq(x) 的方程称为一阶线性微分方程，它的等式 左边是关于 y、y'的一次式， 右边的

8、 q(x)称为自由项。当 q(x)=0 时，微分方程称为一阶线性齐次微分方程， 否则， 称为 一阶线性非齐次微分方程。1. 一阶线性齐次微分方程 y'p(x) y0 是变量可分离的微分方程， dy p(x)dx 它可化为 dyy p(x) ，解得 ln yp (x)dxC，通解为 y Ce例如 y'3xy0可化为 dyy 3xdx例：求微分方程y'2x15y (x 1)2 的通解2. 一阶线性非齐次微分方程 y'p(x) y q(x)解法是这样思考的 把 y'p(x) y q(x)的两边同乘以 ep (x)dx 得 ep (x)dx·y'

9、;p(x)ep (x)dx·yq(x)ep (x)dx 等式的左边恰好是 (ep (x)dx·y) '，两边积分得 ep (x)dx ·y q(x)ep (x)dxdx解: p(x) 2ln( x 1) 2e, p(x)dx 2 1 dx 2ln(x 1) ln(x 1) 2x1x1(x 1) 2,方程两边同乘以 (x 1) 2得11 (x 1) 2 y' 2(x 1) 3y (x 1) 2 ,即( x 1) 2 y' (x 1)2 23两边积分得 (x 1) 2 y 2(x 1)2 C327y 2(x 1)2 C(x 1)2(C为任意常数

10、 )例：求微分方程 y'cos2x y tanx 0 的通解 解：将原方程变形为 y' sec2 x y tanx sec2 x 22p(x) sec x, p(x)dx sec xdx tanx方程两边同乘以 etanx,得etanxy' etanx sec2 x y tanx etanx sec2 x 即etan x y' tanx etanx sec2 x,令u tan x,两边积分得tanx u u u tanx tanxe y ue du ue e C tanx e e Cy tanx 1 Ce tanx(C为任意常数 )小结一阶线性非齐次微分方程的解

11、题步骤可以归结为下列 4 步1. 将含有 y'的项化为单独一个 y'2. 将含有 y 的项中与 y 相乘的 x 的函数式积分，求出它的一个原函 数 F(x)3. 方程两边同乘以 eF(x)，则等号左边为 (eF(x)y) '4. 方程两边同时积分8.5 可降阶的二阶微分方程一、y”f (x) 型的微分方程 解此类型的微分方程，只要把方程两边两次积分即可。例 求微分方程 y”xcosx 的通解解：y' xcosxdxxsinx sinxdxxsinxcosxC1 y (xsinx cosx C1)dx xsinxdx cosxdx 1dx xcosx 2sinxC

12、1x C2二、y”f (x,y 型'的)微分方程因为方程中不含有 y，可令 y'p，则 y” p'，方程降阶为 p 的 一阶微分方程。 例 求微分方程 y”y'x0 的通解 解：令 y'p, 则 y” p'，方程降阶为 p'px方程两边同乘以 e x,得e x p' e x p xe x积分得 e x p xe xdx xe x e x C1则 p ex ( xe x e x C1) C1ex x 12x x xy (C1ex x 1)dx C1exx C22三、y”f (y,y 型'的)微分方程因为方程中不含有 x，可令

13、 p y' dy,则y" dp dp dy p dp ，方程 dx dx dy dx dy 可看作为以 y 为自变量，未知函数 pp (y) 的一阶微分方程。 例 3 求微分方程 yy” 1 (y '2 )的通解 解 :令py',则y"p dp ,代入方程得ypdp1 p2,即 1 2p2 dpdydy dy 2 1 p2y1 2 2 2 2 两边积分得 ln(1 p2) ln y lnC1 ln C1y,即1 p2 C12y22于是,y'C12 y2 1, dy dx1C12 y2 1解为 1 ln( C1 y C12 y2 1) x C2

14、8.6 二阶线性微分方程形如 y”p(x) y'q(x) yf (x) 的二阶微分方程称为二阶线性微 分方程。若 f (x) 0 时，方程 y”p(x) y 'q(x) y 称为二阶线性齐次微 分方程，否则，称为二阶线性非齐次微分方程。 一、线性微分方程解的结构 定理 8.1如果 y1(x)是线性齐次微分方程的解， 则对于任意常数， Cy1(x) 也是该方程的解。如果 y1(x) 和 y(x)都是线性齐次微分方程的解， 则 y1(x) y(x) 也是该方程的解。如果 y2(x)k y 1(x) ，则称 y2(x)与 y1(x)线性相关，否则，称 y2(x) 与 y1(x) 线性

15、无关。 定理 8.如果 y1(x) 和 y(x) 是线性齐次微分方程的两个线性无关解，则该 方程的通解为 yC1y1 C2y。C1y1C2y称为 y1和 y的线性组合或线性迭加。 定理 8.如果 y* 是二阶线性非齐次微分方程 y”p(x) y'q(x) yf (x)的 一个特解， C1y1 C2y是线性齐次微分方程 y”p(x) y 'q(x) y0的 通解，则非齐次微分方程的通解为 yy* C1y1C2y。1例如， y* 3 x3ex是二阶线性非齐次微分方程 y”2y'y2xex3的一个特解， 齐次微分方程 y” 2y'y0 的通解为 C1exC2xex，因

16、 此，二阶线性非齐次微分方程 y”2y'y2xex 的通解为：13 x x xy 3 x e C1e C2xe 。3二、二阶线性常系数齐次微分方程形如 y”p y'q y0 的微分方程，当 p、q 是常数时，称为二 阶线性常系数齐次微分方程。怎样来求二阶线性常系数齐次微分方程的两个线性无关解呢？ 由于(ex)' e x y,(ex)" ( e x)' 2ex 2y, 所以我们可以设 y e x是微分方程的解 ,代入后得到e x( 2 p q) 0,因此,如果 是 2 p q 0的解,y e x就是微分方程的解这样一来 ,求微分方程的解就转化 成了求 的问题了方程 2 p q 0称为二阶线性常系数齐 次微分方程y" py' qy 0的特征方程 , 设它的两根为 1和 2(1) 当实数 1 2时,微分方程的通解为 y C1e1x C2e 2x(2) 当实数 1 2时,微分方程的通解为 y C1e x C2 xe x(3) 当 1,2 a bi时,微分方程的通解为 y eax (C1 cosbx C2 sin bx) 例