第10章振动与波动汇总

1、大学物理习题集第 10 章 振动与波动基本要求1. 掌握简谐振动的基本特征，能建立弹簧振子、单摆作谐振动的微分方程。2. 掌握振幅、周期、频率、相位等概念的物理意义。3. 能根据初始条件写出一维谐振动的运动学方程，并能理解其物理意义。4. 掌握描述谐振动的旋转矢量法，并用以分析和讨论有关的问题。5. 理解同方向、同频率谐振动的合成规律以及合振幅最大和最小的条件。6. 理解机械波产生的条件。7. 掌握描述简谐波的各物理量的物理意义及其相互关系。8. 了解波的能量传播特征及能流、能流密度等概念。9. 理解惠更斯原理和波的叠加原理。掌握波的相干条件。能用相位差或波程差概念 来分析和确定相干波叠加后振

2、幅加强或减弱的条件。10. 理解驻波形成的条件，了解驻波和行波的区别，了解半波损失。二 . 内容提要1. 简谐振动的动力学特征 作谐振动的物体所受到的力为线性回复力，即F kx取系统的平衡位置为坐标原点，则简谐振动的动力学方程（即微分方程）为dt2. 简谐振动的运动学特征 作谐振动的物体的位置坐标 x 与时间 t 成余弦（或正弦） 函数关系，即由它可导出物体的振动速度x Acos( t )v Asin( t )物体的振动加速度a 2 Acos( t )3. 振幅 A 作谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值，振幅的大小由初始条件确定，4. 周期与频率 作谐振动的物体完成一次全振动所需的时间 T 称

3、为周期， 单位时间内 完成的振动次数 称为频率。周期与频率互为倒数，即T或T5. 角频率 （也称圆频率）作谐振动的物体在 2 秒内完成振动的次数，它与周期、 频率的关系为 T 2大学物理习题集6. 相位和初相 谐振动方程中( t )项称为相位，它决定着作谐振动的物体的状 态。t=0 时的相位称为初相，它由谐振动的初始条件决定，即tanv0x0应该注意，由此式算得的在 02 范围内有两个可能取值，须根据t=0 时刻的速度方向进行合理取舍。7. 旋转矢量法 作逆时针匀速率转动的矢量，其长度等于谐振动的振幅 A ，其角速度等于谐振动的角频率 ，且 t=0 时，它与 x 轴的夹角为谐振动的初相， t=

4、t 时刻它与 x轴的夹角为谐振动的相位t 。旋转矢量 A 的末端在 x 轴上的投影点的运动代表着质点的谐振动。8. 简谐振动的能量 作谐振动的系统具有动能和势能，其动能Ek 1mv2 1m 2A2si n2( t )k 22势能E p 1 kx2 1kA2 c o 2s( t )p 2212机械能 E Ek E pkA2k p 29. 两个具有同方向、同频率的简谐振动的合成 其结果仍为一同频率的简谐振动，合 振动的振幅A A12 A22 2A1 A2 cos( 2 1)初相tanA1 sin 1 A2 sin 2A1 cos 1 A2 cos 2A1 A2 ，合振动的初相为1 或 2 。1)当

5、两个简谐振动的相差2 1 2k (k 0, 1, 2, ) 时，合振动振幅最大，为2)当两个简谐振动的相差 2 1 (2k 1) (k 0, 1, 2, ) 时，合振动的振幅最小，为 A1 A2 ，合振动的初相与振幅大的相同。10. 机械波产生的条件 机械波的产生必须同时具备两个条件：第一，要有作机械振动的物体 波源 ；第二，要有能够传播机械波的载体 弹性媒质 。11. 波长 在同一波线上振动状态完全相同的两相邻质点间的距离(一个完整波的 长度)，它是波的空间周期性的反映。12. 周期与频率 波前进一个波长的距离所需的时间，它反映了波的时间周期性。周大学物理习题集期的倒数称为频率，波源的振动频

6、率也就是波的频率。13. 波速 u 单位时间里振动状态（或波形）在媒质中传播的距离，它与波源的振动 速度是两个不同的概念。波速 u、波长 、周期 T （频率 ）之间的关系为uT14. 平面简谐波的波动方程 如果平面波沿 x 轴正向传播，则其波动方程为xy Acos （t ） 0 u0xA cos 2 （ t ） 0 txA cos 2 （ ） 0 T0 若波沿 x 轴的负向传播，则其波动方程为xy Acos （t ） 0 u0xA cos 2 （ t ） 0 0txA cos 2 （ t x） 0T其中 0 为坐标原点的初相 。15. 波的能量 波动中的动能和势能之和，其特点是同体积元中的动能

7、和势能相等：（1）在平衡位置处，动能最大，势能也最大；（ 2）在最大位移处，动能最小（为零） ，势能也最小（为零） ；（3）当媒质质元从最大位移处回到平衡位置的过程中：它从相邻的一段媒质质元获 得能量，其能量逐渐增加。（4） 当媒质质元从平衡位置运动到最大位移处的过程中：它把自己的能量传给相邻 的一段质元，其能量逐渐减小。16. 波的干涉 满足相干条件（同频率、同振动方向且相位差恒定）的两列波的叠加， 其规律是：rr（ 1）若两列波的相位差2 1 2 2 1 2k （k 0, 1, 2, ）则合成振动的振幅有极大值： A A1 A2 ，为干涉加强（相长干涉） 。rr（ 2）若两列波的相位差 2

8、 1 2 2 1 （2k 1） （k 0, 1, 2, ） 合成振动的振幅有极小值： A A1 A2 ，为干涉减弱，当 A1=A2 时，相消干涉。17. 驻波 无波形和能量传播的波称为驻波，它由两列同振幅的相干波在同一直线上 沿相反方向传播时叠加而成，是波的干涉中的一个特例。其振幅随 x 作周期变化，因而 为分段的独立振动，有恒定的波腹和波节出现。大学物理习题集习题10-1 两倔强系数分别为 k1和 k2的轻弹簧串联在一起，下面接着质量为m 的物体，构成一个竖挂的弹簧谐振子，则该系统的振动周期为(A) T 2 m(k1 k2) (B)T 2 m2k1k2k1 k2(C)m(k1 k2)2m(C

9、) T 2 1 2 (D) T 2 k1k2k1 k210-2 一倔强系数为 k 的轻弹簧截成三份，取出其中的两根，将它们并联在一起，下 面挂一质量为 m 的物体，如图所示。则振动系统的频率为(C)(A)(B)1 3k2m10-4 已知两个简谐振动如图所示。(A) 落后 (B) 超前22(C) 落后(D) 超前x1的位相比 x2 的位相T，当它由平衡位置向x 轴正方向运动时，从二分10-5 一质点作简谐振动，周期为之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为：A)T4B) 1T2C)D)T8大学物理习题集10-8 一弹簧振子和一个单摆 (只考虑小幅度摆动) ，在地面上的固有振动周期分别为T

10、1和 T2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为T1'和T2' ，则有：A) T1'> T1 且T2' > T2 (B) T1'< T1 且T2'< T2(C) T1'= T1 且T2' = T2(D) T1'= T1 且T2'> T210-13 一弹簧振子作简谐振动，振幅为A，周期为 T，其运动方程用余弦函数表示，若 t = 0 时，( 1)振子在负的最大位移处，则初位相为；(2) 振子在平衡位置向正方向运动，则初位相为 ；A(3) 振子在位移为 处，且向负方向运动，则初位相为 。2

11、10-14 已知两个简谐振动的振动曲线如图所示，x1 的位相比 x2 的位相超前10-18 一质点作简谐振动，其振动曲线如图所示。根据此图，它的周期 T=用余弦函数描述时，初位相 =10-19 两个同方向同频率的简谐振动，其振动表达式分别为：2 1 2x1 6 10 2 cos(5t) (SI) ，x2 2 10 2 sin( 5t) (SI)。它们的合振动的振幅2为 ；初位相为 。10-22 一简谐振动的振动曲线如图所示，求振 动方程。10-5Ot(s)x( cm)大学物理习题集10-25 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为：x1 5 10 2 cos(4t 1 ) ， x

12、2 3 10 2 sin( 4t 1 ) (SI)36画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。2110-26 两个同方 向的 简谐 振动的 振动 方程分 别为 ： x1 4 10 2cos2 (t 1) ，8x2 3 10 2cos2 (t 1) (SI)求合振动方程。24210-32 一质点按如下规律沿 x 轴作简谐振动 x 0.1cos(8 t ) (SI) ，求此振动的3 周期、振幅、初相、速度最大值和加速度最大值。10-33 如图所示，一质量为 m 的滑块，两边分别与倔强系数为k1和 k2 的轻弹簧联接，两弹簧的另外两端分别固定在墙上，滑块 m 可在光滑水平面上滑动， O 点为系

13、统平 衡位置，将滑块 m 向左移动到 x0，自静止释放，并从释放时开始计时，取坐标如图示，则其振动方程为：A)B)C)D)x x0 cosk1mk2tmk1k2x x0 cos1 2 t 0m(k1 k2)x0O xk1 k21 2 t m k1 k2x x0 cosmx x0 cost ，合振动的振10-34 一弹簧振子，当把它水平放置时，它作谐振动。若把它竖直放置或放在光滑斜 面上，试判断下面那种情况是正确的：A)竖直放置作谐振动，放在光滑斜面上不作谐振动。B) 竖直放置不作谐振动，放在光滑斜面上作谐振动。C) 两种情况都作谐振动。D) 两种情况都不作谐振动。x(cm)10-36 两个同方

14、向的谐振动曲线如图所示，合振动的振幅为 动方程为大学物理习题集10-37 有两个相同的弹簧，其倔强系数均为k。把它们串联起来，下面挂一个质量为 m 的重物， 此系统作简谐振动的周期为 ，把它们并联起来， 下面挂一个质量 为 m 的重物，此系统作简谐振动的周期为 。10-41 已知一平面简谐波的波动方程为y A cos（at bx） ，（a、 b 为正值），则A ）波的频率为 a。C）波长为 。 bB）波的传播速度为 b 。aD ）波的周期为 2 。a10-42 一沿 x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2s 时的波形曲线如图所示， 则原点 O的振动方程为：1A ) y 0.50cos( t)

15、 ( SI)211B) y 0.50cos( t) ( SI)2211C) y 0.50cos( t) ( SI)2211D) y 0.50 cos( t) (SI) 4210-43 一平面简谐波以速度 u 沿 x 轴正方向传播，在 t t 时波形曲线如图所示。则 坐标原点 O 的振动方程为：u(A) y acos (t t ) b2u(B) y a cos2(t t ) b2u( C) y acos (t t) b2(D) y acos u(t t ) b2大学物理习题集10-48 动方程为：一平面简谐波沿 x 轴正向传播， t = 0 时刻的波形如图所示，则 P 处质点的振1A) y p

16、0 .10 cos( 4 t )3B）yp0.10 cos(4 t13 )1C) y p 0.10 cos(2 t )31D) y p 0.10 cos(2 t )6SI）（SI）SI）（SI）10-49 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是：B）动能为零，势能为零。（C）动能最大，势能最大。（ D）动能最大，势能为零。 10-50 一平面简谐波在弹性媒质中传播，从媒质质元在最大位移处回到平衡位置的 过程中：（A）它的势能转化为动能。（B）它的动能转化为势能。（C）它从相邻的一段媒质质元获得能量，其能量逐渐增加。（ D）它把自己的能量传给相邻的一

17、段质元，其能量逐渐减小。 10-52 如图所示， S1与 S2 是两相干波的波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为 的简谐波， P 点是两列波相遇区域中的一点，已知S1P=2 ， S2P 2.2 ，两列1波在 P点发生相消干涉， 若 S1的振动方程为 y1 Acos（2 t），则 S2的振动方程为：（A）1y2 Acos(2 t )2S1P（B）y2 Acos(2 t )（C）1y2 Acos(2 t )2S2（D）y2 A cos(2 t 0.1 ) 10-53在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动：A）振幅相同，位相相同。（ B）振幅不同，位相相同。C）振幅相同，位相不同。（ D）振幅

18、不同，位相不同。 大学物理习题集x10-56 沿着相反方向传播的两列相干波， 其波动方程为： y1 Acos2 (vt) ，和xy2 Acos 2 (vt) 。叠加后形成的驻波中，波节的位置坐标为：A) xkB)x 1k2(2k 1) x4( C)(2k 1)( C) x2其中 k = 0、1、 2、310-57 一余弦横波以速度指出图中 A、B、C各质点在 t 时刻的运动方向。D)u沿x 轴正方向传播， t 时刻波形曲线如图所示。试分别10-58 一声波在空气中的波长是 0.25m ，波的传播速度为 340 m/s，当它进入另一介 质时波长变成了 0.37m ，它在该介质中传播的速度为 。1

19、0-59 已知波源的振动周期为4.00 10 2 s，波的传播速度为300 m/s 波沿 x 轴正方向传播，则位于 x1 10.0m和 x2 16.0m的两个质点振动的位相差为10-61 图为t T4 时一平面简谐波的波形曲线，则其波动方程为10-62 在简谐波的一条传播路径上，相距 0.2m 两点的振动位相差为 。又知振动周2 期为 0.4s，则波长为，波速为 。10-68 一弦上的驻波表达式为 y 0.1cos( x) cos(90 t) ( SI)形成该驻波的两个反向传播的行波的波长为 ，频率为 大学物理习题集10-74 一平面简谐波沿 x 轴正向传播， 其振幅为 A ，频率为 ，波速为

20、 u设 t = t 时y刻的波形曲线如图所示。求：(1) x = 0 处质点振动方程；(2) 该波的波动方程210-75 一横波方程为 y A cos (ut x)，式中 A =0.01m ， 0.2m， u 25m/s，求 t = 0.1s 时在 x = 2m 处质点振动的位移、速度、加速度S2 的位相比 S1 的位相超前 1 ，4S1SPxy Acos2 ( t)，而另10-80 如图所示，S1与 S2 为两平面简谐波相干波源， 波长8.00m ， r1 12.0m ， r2 14.0m ， S1 在 P点引起的振动振幅为 0.30 m，S2在 P点引起的振动振 幅为 0.20m，求 P

21、点的合振幅。10-84 一平面简谐波沿 Ox 轴正方向传播，波动方程为 平面简 谐波沿 Ox 轴负方向传播，波动方程为xy 2Acos2 ( t ) 。求：( 1) x处介质质点的合振动方程；42) x处介质质点的速度表达式。410-85 如图所示，三个同频率，振动方向相同(垂直纸面)的简谐波，在传播过程中在 O 点相遇；若三个简谐波各自单独在S1 、S2 和1S3 的 振 动 方 程 分 别 为 ： y1 Acos( t 1 ) ，1y2 Acos t和 y3 2A cos( t)且 S2 O = 4 ，32S1O = S3 O =5 ，( 为波长)。求：O 点的合振动方程。 (设传播过程中

22、各波振幅不变) 。10大学物理习题集10-86 一平面简谐波沿 x 轴正方向传播 示。波长 =；振幅 A=；频率 =；u=100m s ， t = 0 时刻的波形曲线如图所10-89 一简谐波沿 x 轴负方向传播， 波的表达式为 y 0.02cos(2 t x) (SI)则 x 1m 处 P 点的振动方程为 。x10-90 如图，一平面简谐波沿 Ox 轴传播， 波动方程 y A cos 2 ( t ) ，求：(1) P 处质点的振动方程：(2) 该质点的速度表达式与加速度表达式。10-95 一列平面简谐波在媒质中以波速 动曲线如图所示，画出 x=25m 处质元的振动曲线画出 t=3s 时的波形

23、曲线。u=5m/s 沿 x 轴正向传播， 原点 O 处质元的振y(cm)10-97 一波沿绳子传播，其波的表达式为 y 0.05cos(100 t 2 x) (SI)(1)求此波的振幅，波速，频率和波长。(2)求绳子上各质点的最大振动速度和最大振动加速度。(3) 求 x1=0.2m 处和 x2=0.7m 处二质点振动的位相差10-98 一平面简谐波沿 x 轴正向传播， 动在 t=0 时刻的旋转矢量图是 A)B)t=0 时刻的波形图如图所示，则 P 处质点的振AyAy O OC)D)11大学物理习题集第 10 章自测题一、选择题：3. 弹簧振子在光滑水平面上作简谐振动时，弹性力在半个周期内所作的

24、功为：2 1 2 1 2（A） kA2 （B） kA2（C） kA （D） 0 245. 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线，若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相位为：3(A) (B) 21(C) (D) 02 6. 当质点以频率作简谐振动时，它的动能的变化频率为（A）（B） 2 （C） 4 （D） 1 29.（本题 3分） 在波长为的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为3（A）（B）（C）（D） 4 2 4二、填空题12.（本题 3 分）所示为一平面简谐波在 t = 2s 时刻的波形图，波的振 幅为 0.2m，周期为 4s。则图中 P 处质点的振动方程 为。13.（本题 3 分）两个弹

25、簧谐振子的周期都是 0.4s，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过 0.5s后，第二个振子才从正方向的端点开始运动,则这两振动周相差为16.（本题 3 分）已知平面简谐波的波动方程为 y A cos（Bt Cx） ，式中 A、B、C 为正常数，则此的波长是 ；波速是 的振动位相差是；在传播方向上相距为 d 的两点12大学物理习题集三、计算题20.（本题 5 分）质量为 2kg 的质点，按方程 x 0.2sin5t （ 6） （SI）沿着 x 轴振动。求：（ 1）t=0 时，作用于质点的力的大小； （2）作用于质点的力的最大值和此时质点的位置。23.（本题 10 分）t=0 时刻的波形图，求如图所示 ，一平面简谐波在（1） 该波的波动表达式