2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题+参考答案及评分标准

1、2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题考试时间 2018年3月18日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）A B C D12如图，、都是正方形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（ ）A B C D（第4题图）（第3题图）（第2题图）3如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（ ）A B C D 4如图，、分别为的

2、垂心、外心，若外接圆的半径为，则（ ）A B C D5满足方程的整数对有（ ）A0对 B2对 C4对 D6对二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6已知，为正整数，且。若，是三个连续正整数的平方，则的最小值为 。7如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。若函数（）的图像过、两点，则矩形的面积为 。（第8题图）（第7题图）8如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的内切圆，为的边上的旁切圆。若、的半径都是，则 。9若实数满足，则 。其中表示不超过的最大整数。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问

3、题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这个凸多边形中四边形个数的最大值为 。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11已知二次函数的图像交轴于、两点，且。若函数在上的最小值为，求，的值。12如图，在圆内接四边形中，是边的中点，点在对角线上，且满足。求证：。（第12题图）

4、13已知关于的方程的两根都是素数，求的值。14一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。2018年“大梦杯”福建省初中数学竞赛试题参考答案及评分标准考试时间 2018年3月18日 9001100 满分150分一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）。每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）1若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）A B C D1【答案】 A 【解答】依题意，。因此，。 ，。 。2如图，、都是正方

5、形，边长分别为、（）。坐标原点为的中点，、在轴上。若二次函数的图像过、两点，则（ ）A B C D【答案】 B 【解答】依题意，点坐标为，点的坐标为。（第2题图）由二次函数的图像过、两点，得，消去，得。 ，解得（舍负根）。 。3如图，为的重心，点在延长线上，且，过、的直线交于点，则（ ）A B C D 【答案】 D 【解答】如图，连，并延长交于点。（第3题图） 为的重心，且， 为中点，且，。过点作，交于点。则，。设，则，。 ，。（第3题答题图）另解：如图，连，并延长交于点。 为的重心，且， 为中点，且，。 ，。（第3题答题图）在中，利用梅涅劳斯定理，得。 ，。 。4如图，、分别为的垂心、外心，

6、若外接圆的半径为，则（ ）A B C D【答案】 B 【解答】如图，连结并延长交于点，连、。 为的外心，（第4题图） 为直径，。又为的垂心， ，。 ，。 四边形为平行四边形，。 ，外接圆的半径为， ，。（第4题答题图） 。5满足方程的整数对有（ ）A0对 B2对 C4对 D6对【答案】 C 【解答】方程化为。依题意，为完全平方数。由，得。结合为整数，得。故，4，。当时，不是完全平方数。当时，不是完全平方数。当时，不是完全平方数。当时，。 方程化为，即，或 ，或，或，或。 ，或，或，或。 满足方程的整数对有、，共4对。二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）6已知，为正整数，且。若，是三个连

7、续正整数的平方，则的最小值为 。【答案】 【解答】依题意，设，则，为正整数，且。 ，可见为偶数，且。 ，。可见，且当增大时，的值也随之增大。又时，符合要求。 的最小值为。7如图，为矩形，为对角线的中点，、在轴上。若函数（）的图像过、两点，则矩形的面积为 。【答案】 【解答】设，则。作于，由为中点，得为中点，且。 。结合（第7题图），得。 ，。 矩形的面积。（第7题答题图）8如图，是边长为8的正三角形，为边上一点，为的内切圆，为的边上的旁切圆。若、的半径都是，则 。【答案】 【解答】如图，设切的三边、依次于点、，边切于点，、的延长线切于点、。则由、的半径都是，为正三角形，以及切线长性质定理，得（

8、第8题图），。 。（第8题答题图） ，。9若实数满足，则 。其中表示不超过的最大整数。【答案】 【解答】设，其中为整数，。则。 当时，；当时，；当时，；当时，。 对任意实数，的值具有形式：，为整数。 ，。 ，其中。 。10网络爬虫是一种互联网网页抓取工具。其算法与数学的一个重要分支图论有着密切的联系。图论可以追溯到大数学家欧拉提出的“哥尼斯堡七桥问题”。图论中讨论的图是由一些节点和连接这些节点的线组成的。请你回答下列问题：把一个矩形区域划分成个凸多边形区域（这些凸多边形区域除公共边外，没有公共部分）。已知构成这个凸多边形的顶点中，恰有6个顶点在矩形内，12个顶点在矩形的边界上（含矩形的顶点）；

9、同时，任何三个顶点不共线（除矩形边界上的顶点共线外）。若围成这个凸多边形的线段中，恰有18条线段在矩形区域内，则这个凸多边形中四边形个数的最大值为 。【答案】 【解答】设这个凸多边形中，有个三角形，个四边形，个五边形，个边形。则这个凸多边形的内角和为。另一方面，矩形内部有6个顶点，对于每个顶点，围绕它的多边形的内角和为。矩形边界线段内（不含矩形顶点）有8个顶点，在每个顶点处，各多边形在此汇合成一个平角，其和为。在矩形的每个顶点处，各多边形在此汇合成一个直角，其和为。因此，这个凸多边形的内角和为。 。 再考虑这个凸多边形的边数。由于每个凸边形有条边，因此，这个凸多边形的边数和为。另一方面，由条件

10、知，在矩形内部的18条边，每条边都是两个凸多边形的公共边，应计算2次。而在矩形边界上的12个点，得到12条线段，它们都对应某个凸多边形的边。因此，这个凸多边形的边数和为。 。 由、，消去，得。 。（第10题答题图）又如图所示的划分符合要求，此时，。 的最大值为，即这个凸多边形中，最多有9个四边形。三、解答题（共4题，每小题20分，共80分）11已知二次函数的图像交轴于、两点，且。若函数在上的最小值为，求，的值。【解答】 函数的图像交轴于、两点， ，是方程的两个实根。 ，。 5分又， ，。 10分 ，在上的最小值为。 时，。 15分由、，解得，。 ，。 20分12如图，在圆内接四边形中，是边的中

11、点，点在对角线上，且满足。求证：。【解答】 ， 。 。又， 。（第12题图） 。 5分设、相交于点， ，。 。 。 10分又为边中点，（第12题答题图） ，结合 ，得。结合 ，得， 。 15分 ，即。 20分13已知关于的方程的两根都是素数，求的值。【解答】设方程的两根分别为、，则由韦达定理，知，。 5分显然，都不等于2，因此，都是奇数。 。 10分若，中有一个数为奇数，不妨设为奇数，则，其中，2，3，4。当时，不是素数，舍去；当时，不是素数，舍去；当时，不是素数，舍去。当时，是素数。此时，也是素数。 ，符合要求。 15分若，都是偶数，则，不妨设，则当，时，不是素数，舍去；当，时，都是素数；当，时，都不是素数，舍去； ，符合要求。综上所述，或。 20分14一个由个单位小方格组成的的方格表中的个小方格被染成了红色，使得任意两个红色小方格的中心之间的距离大于2，求的最大值。【解答】的最大值为。先考虑一个的方格表，其中有个小