经济数学基础课后答案概率统计第三分册

1、习题一1.写出下列事件的样本空间：(1) 把一枚硬币抛掷一次；(2) 把一枚硬币连续抛掷两次；(3) 掷一枚硬币，直到首次出现正面为止；(4) 一个库房在某一个时刻的库存量(假定最大容量为M).解(1) =正面，反面正，反(2) =(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)(3) =(正)，(反，正)，(反，反，正)，(4) =x；0 x m2.掷一颗骰子的试验，观察其出现的点数，事件A“偶数点”，B“奇数点”，C“点数小于5”，D“小于5的偶数点”，讨论上述各事件间的关系.解A与B为对立事件，即B；B与D互不相容；AD，CD.3. 事件Ai表示某个生产单位第i车间完成生产任务，i1，2，

2、3，B表示至少有两个车间完成生产任务，C表示最多只有两个车间完成生产任务，说明事件及BC的含义，并且用Ai(i1，2，3)表示出来.解表示最多有一个车间完成生产任务，即至少有两个车间没有完成生产任务. BC表示三个车间都完成生产任务 图114. 如图11，事件A、B、C都相容，即ABC，把事件AB，ABC，ACB，CAB用一些互不相容事件的和表示出来.解 5.两个事件互不相容与两个事件对立的区别何在，举例说明.解两个对立的事件一定互不相容，它们不可能同时发生，也不可能同时不发生；两个互不相容的事件不一定是对立事件，它们只是不可能同时发生，但不一定同时不发生. 在本书第6页例2中A与D是对立事件

3、，C与D是互不相容事件.6.三个事件A、B、C的积是不可能事件，即ABC，问这三个事件是否一定互不相容?画图说明.解不一定. A、B、C三个事件互不相容是指它们中任何两个事件均互不相容，即两两互不相容.如图12，事件ABC，但是A与B相容.图127. 事件A与B相容，记CAB，DA+B，FAB. 说明事件A、C、D、F的关系.解 由于ABAA+B，ABAA+B，AB与AB互不相容，且AAB(AB). 因此有AC+F，C与F互不相容，DAF，AC.8. 袋内装有5个白球，3个黑球，从中一次任取两个，求取到的两个球颜色不同的概率.解记事件A表示“取到的两个球颜色不同”. 则有利于事件A的样本点数目

4、A.而组成试验的样本点总数为，由古典概率公式有P(A)(其中A，分别表示有利于A的样本点数目与样本空间的样本点总数，余下同)9. 计算上题中取到的两个球中有黑球的概率.解设事件B表示“取到的两个球中有黑球”则有利于事件的样本点数为.16. 事件A与B互不相容，计算P.解由于A与B互不相容，有AB，P(AB)017. 设事件BA，求证P(B)P(A）.证BAP(B-A)P(B) - P(A)P(B-A)0P(B)P(A)18. 已知P(A)a，P(B)b，ab0 (b0.3a)，P(AB)0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P().解由于AB与AB互不相容，且A(A-B)AB，因此有P(AB

5、)P(A)-P(A-B)0.3aP(AB)P(A)P(B)P(AB)0.7abP(B-A)P(B)-P(AB)b-0.3aP()1-P(AB)1-0.3a21. 设事件A与B的概率都大于0，比较概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等号把它们连接起来).解由于对任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)P(A)P(B)-P(AB)，P(AB)0，因此有P(AB)P(A)P(A+B)P(A)P(B)24. 某单位有92的职工订阅报纸，93的人订阅杂志，在不订阅报纸的人中仍有85的职工订阅杂志，从单位中任找一名职工求下列事件的概率：(1)该职工至少订阅一种报纸或

6、期刊；(2)该职工不订阅杂志，但是订阅报纸.解设事件A表示“任找的一名职工订阅报纸”，B表示“订阅杂志”，依题意P(A)0.92，P(B)0.93，P(B)0.85P(AB)P(A)P(B)P(A)P()P(B)0.920.08×0.850.988P(A)P(AB)-P(B)0.9880.930.05825. 分析学生们的数学与外语两科考试成绩，抽查一名学生，记事件A表示数学成绩优秀，B表示外语成绩优秀，若P(A)P(B)0.4，P(AB)0.28，求P(AB)，P(BA)，P(AB).解P(AB)P(BA)P(AB)P(A)P(B)-P(AB)0.5226. 设A、B是两个随机事件

7、. 0P(A)1，0P(B)1，P(AB)P()1. 求证P(AB)P(A)P(B).证 P ( A)P ()1且P ( AB )P()1P ( AB )P (A)P(AB)1-P(B)P( B)P( A)-P( AB)整理可得P(AB)P( A) P( B)28. 设事件A与B的概率都大于0，如果A与B独立，问它们是否互不相容，为什么?解因P ( A )，P ( B )均大于0，又因A与B独立，因此P ( AB )P ( A ) P ( B )0，故A与B不可能互不相容.29. 某种电子元件的寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使用1000小时后，最多只坏了一个的概率.解设事

8、件Ai表示“使用1000小时后第i个元件没有坏”，i1，2，3，显然A1，A2，A3相互独立，事件A表示“三个元件中最多只坏了一个”，则AA1A2A3A2A3A1A3A1A2，上面等式右边是四个两两互不相容事件的和，且P(A1)P(A2)P(A3)0.8P( A)0.833×0.82×0.20.89631. 某单位电话总机的占线率为0.4，其中某车间分机的占线率为0.3，假定二者独立，现在从外部打电话给该车间，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m为任何正整数).解设事件Ai表示“第i次能打通”，i1，2，m，则P(A1)(10.4)(10.3

9、)0.42P(A2)0.58 × 0.420.2436P(Am)0.58m1 × 0.4232. 一间宿舍中有4位同学的眼镜都放在书架上，去上课时，每人任取一副眼镜，求每个人都没有拿到自己眼镜的概率.解设Ai表示“第i人拿到自己眼镜”，i1,2,3,4. P ( Ai )，设事件B表示“每个人都没有拿到自己的眼镜”. 显然则表示“至少有一人拿到自己的眼镜”. 且A1A2A3A4.P()P(A1A2A3A4)P(AiAj)P(Ai)P(AjAi)=P(AiAjAk)=P(Ai)P(AjAi)P(AkAiAj)=××（1ijk4）P(A1A2A3A4) =P

10、(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)×P(A4A1A2A3)=36. 某高校新生中，北京考生占30，京外其他各地考生占70，已知在北京学生中，以英语为第一外语的占80，而京外学生以英语为第一外语的占95，今从全校新生中任选一名学生，求该生以英语为第一外语的概率.解设事件A表示“任选一名学生为北京考生”，B表示“任选一名学生，以英语为第一外语”. 依题意P(A)0.3，P()0.7，P(BA)0.8，P(B)0.95. 由全概率公式有P(B)P(A)P(BA)P()P(B)0.3×0.80.7×0.950.90537. A地为甲种疾病多发区，该地共有南、北、

11、中三个行政小区，其人口比为9 : 7 : 4，据统计资料，甲种疾病在该地三个小区内的发病率依次为4，2，5，求A地的甲种疾病的发病率.解设事件A1，A2，A3分别表示从A地任选一名居民其为南、北、中行政小区，易见A1，A2，A3两两互不相容，其和为.设事件B表示“任选一名居民其患有甲种疾病”，依题意：P(A1)0.45，P(A2)0.35，P(A3)0.2，P(BA1)0.004，P(BA2)0.002，P(BA3)0.005 0.45 × 0.004 + 0.35 × 0.002 + 0.2 × 0.0050.003539. 有编号为、的3个口袋，其中号袋内装有

12、两个1号球，1个2号球与1个3号球，号袋内装有两个1号球和1个3号球，号袋内装有3个1号球与两个2号球，现在先从号袋内随机地抽取一个球，放入与球上号数相同的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，计算第二次取到几号球的概率最大，为什么?解设事件Ai表示“第一次取到i号球”，Bi表示第二次取到i号球，i1，2，3.依题意，A1，A2，A3构成一个完全事件组.应用全概率公式可以依次计算出. 因此第二次取到1号球的概率最大.40. 接37题，用一种检验方法，其效果是：对甲种疾病的漏查率为5(即一个甲种疾病患者，经此检验法未查出的概率为5)；对无甲种疾病的人用此检验法误诊为甲种疾病患者的概率为1，在一次健

13、康普查中，某人经此检验法查为患有甲种疾病，计算该人确实患有此病的概率.解设事件A表示“受检人患有甲种疾病”，B表示“受检人被查有甲种疾病”，由37题计算可知P(A)0.0035，应用贝叶斯公式 43. 接39题，若第二次取到的是1号球，计算它恰好取自号袋的概率.解39题计算知P(B1)，应用贝叶斯公式44. 一箱产品100件，其次品个数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中随机地抽取10件，如果发现有次品，则认为该箱产品不合要求而拒收，若已知该箱产品已通过验收，求其中确实没有次品的概率.解设事件Ai表示一箱中有i件次品，i0, 1, 2. B表示“抽取的10件中无次品”，先计算P ( B )45

14、. 设一条昆虫生产n个卵的概率为 n=0, 1, 2, 其中0，又设一个虫卵能孵化为昆虫的概率等于p(0p1). 如果卵的孵化是相互独立的，问此虫的下一代有k条虫的概率是多少?解设事件An“一个虫产下几个卵”，n0，1，2.BR“该虫下一代有k条虫”，k0，1，.依题意其中q=1p. 应用全概率公式有 由于，所以有习题二1. 已知随机变量X服从01分布，并且PX00.2，求X的概率分布.解X只取0与1两个值，PX0PX0PX00.2，PX11PX00.8.2. 一箱产品20件，其中有5件优质品，不放回地抽取，每次一件，共抽取两次，求取到的优质品件数X的概率分布.解X可以取0, 1, 2三个值.

15、 由古典概型公式可知依次计算得X的概率分布如下表所示：X012P3. 上题中若采用重复抽取，其他条件不变，设抽取的两件产品中，优质品为X件，求随机变量X的概率分布.解X的取值仍是0, 1, 2.每次抽取一件取到优质品的概率是1/4，取到非优质品的概率是3/4,且各次抽取结果互不影响，应用伯努利公式有4. 第2题中若改为重复抽取，每次一件，直到取得优质品为止，求抽取次数X的概率分布.解X可以取1, 2, 可列个值. 且事件X = n表示抽取n次，前n1次均未取到优质品且第n次取到优质品，其概率为. 因此X的概率分布为10. 如果pncn2，n=1, 2, , 问它是否能成为一个离散型概率分布，为

16、什么?解 由于级数收敛, 若记=a,只要取, 则有=1, 且pn0. 所以它可以是一个离散型概率分布.11. 随机变量X只取1, 2, 3共三个值，其取各个值的概率均大于零且不相等并又组成等差数列，求X的概率分布.解设PX2a，PX1ad, PX=3=a+d. 由概率函数的和为1，可知a=, 但是ad与a+d均需大于零, 因此d, X的概率分布为X123Pd+d其中d应满足条件：0d12. 已知,m =1, 2, , 且0, 求常数c.解由于, 所以有解得 14. 一条公共汽车路线的两个站之间，有四个路口处设有信号灯，假定汽车经过每个路口时遇到绿灯可顺利通过，其概率为0.6，遇到红灯或黄灯则停

17、止前进，其概率为0.4，求汽车开出站后，在第一次停车之前已通过的路口信号灯数目X的概率分布(不计其他因素停车).解X可以取0, 1, 2, 3, 4 .P  X0  0.4P  X1 0.6×0.40.24P  X2  0.62×0.40.144P  X3  0.63×0.40.0864P  X4  0.640.129615.&

18、#160;问f(x)是否为一个概率密度函数，为什么?如果(1)解 在0, 与0, 上，sinx0,但是而在上,sinx 0.因此只有(1)中的a, b可以使f (x)是一个概率密度函数.16. 其中c0，问f(x)是否为密度函数，为什么?解易见对任何x( , ) , f ( x )  0，又f(x)是一个密度函数 .17. 问f ( x )是否为密度函数，若是，确定a的值；若不是，说明理由.解如果f

19、0;( x )是密度函数，则f ( x )0，因此a0，但是，当a0时，由于不是1，因此f ( x )不是密度函数.18. 设随机变量Xf ( x )确定常数a的值，如果P  a  x  b  0.5，求b的值.解解方程     =1得a = 0解关于b的方程：arctanb=0.5得b=1.21. 设随机变量Y服从0, 5上的均匀分布，

20、求关于x的二次方程4x24xY+Y+2=0有实数根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0. 有实根的充分必要条件是b24ac =16Y216(Y+2)=16Y216Y320设事件P(A)为所求概率.则 =0.625. 函数(1+x2)1可否为连续型随机变量的分布函数，为什么?解不能是分布函数，因F () 1  0.30. 随机变量X的分布函数为求X的概率密度并计算.解当x  0时，X的概率密度f ( x ) 0；当x  0时，f ( x 

21、) F ( x ) 31. 随机变量X服从参数为0.7的01分布，求X2，X22X的概率分布.解X2仍服从01分布，且P  X20  P  X0  0.3，PX21PX10.7X22X的取值为1与0 , PX22X0P  X0  0.3P  X22X1  1P  X0  0.732. 已知P  X10n &#

22、160;P  X10-n Y=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值为±1, ±2 , P  Y=n  =P  lgX=n  =P  X=10n  =P  Y=n  =P  lgX=n  =P  x=10-n  n1 , 2 , 33. X服从

23、a , b上的均匀分布，Y=ax+b (a0)，求证Y也服从均匀分布.证设Y的概率密度为fY ( y ) ，X的概率密度为fX ( x )，只要a  0，y = ax + b 都是x的单调函数. 当a  0时，Y的取值为a2+b , ab+b,当时，fY ( y ) =0.类似地，若a0，则Y的取值为 ab+b , a2+b 因此，无论a0还是a0，ax+b均服从均匀

24、分布.34. 随机变量X服从0 , 上的均匀分布Y=cosX , 求Y的概率密度fY ( y ).解y=cosx在0, 上单调，在(0 , 1)上，h ( y ) = x =arccosyh ( y ) =  ,  fx ( x ) =  ,  0  x   

25、. 因此35. 随机变量X服从(0 , 1)上的均匀分布，Y=ex , Z =lnX，分别求随机变量Y与Z的概率密度fY ( y ) 及fZ ( z ) .解y = ex 在(0 , 1)内单调 , x=lny可导，且xy =  , fX ( x ) =10  x  1

26、 , 因此有在(0 , 1)内lnx  0lnx=-lnx单调，且x = e，xze，因此有36. 随机变量Xf ( x ) ，Y = , Z = X2 , 分别计算随机变量Y与Z的概率密度fy ( y ) 与fZ ( z ) .解当x  0时，y =单调，其反函数为x = y2

27、 , xy = 2y当x  0时zx2也是单调函数，其反函数为x = , x z=37.随机变量Xf ( x )，当x  0时, Y=arctanX , Z = ,分别计算随机变量Y与Z的概率密度fY ( y ) 与fz ( z ) .解由于y = arctanx是单调函数，其反函数x=tany&#

28、160;, x y=sec2y在内恒不为零，因此，当0  y 时，即Y服从区间(0 , )上的均匀分布.z = 在x0时也是x的单调函数，其反函数x=, x z =. 因此当z0时，即Z =  与X同分布.38. 一个质点在半径为R，圆心在原点的圆的上半圆周上随机游动. 求该质点横坐标X的密度函数fX ( x ) .解如图，设质点在圆周位置为M，弧的长记为L，显然L是一个连续型随机变量，

29、L服从0，R上的均匀分布.图2-1M点的横坐标X也是一个随机变量，它是弧长L的函数，且X  Rcos  Rcos 函数x = Rcosl / R是l的单调函数 ( 0 l  R ) ,其反函数为l  Rarccos当R  x  R时，Lx  0，此时有当x  R或x  R时，fX ( x 

30、) 0 .39. 计算第2 , 3 , 5 , 6 , 11各题中的随机变量的期望.解根据第2题中所求出的X概率分布，有亦可从X服从超几何分布，直接计算在第3题中亦可从X服从二项分布(2，)，直接用期望公式计算：在第5题中(1) (2) 在第6题中，在第11题中， 40. P  X = n  =, n=1, 2, 3, 4, 5, 确定C的值并计算EX.解41. 随机变量X只取

31、1, 0, 1三个值，且相应概率的比为1 : 2 : 3，计算EX.解设P  X 1   a，则P  X 0  2a,  P  X1 3a ( a0 ) ，因a + 2a + 3a = 1 , 故a 1/642. 随机变量X服从参数为0.8的01分布，通过计算说明EX2是否等于( EX&#

32、160;)2 ?解EXP  X1  0.8，( EX )2 0.64EX21×0.80.8( EX )243. 随机变量Xf ( x ) ，f ( x ) 0.5e- | x |，计算EXn，n为正整数.解当n为奇数时，是奇函数，且积分收敛，因此当n为偶数时， 44. 随机变量Xf ( x ) ，其他计算EXn(n为正整数) .

33、解45. 随机变量Xf ( x ) ，其他b,c均大于0，问EX可否等于1，为什么?解而由于方程组无解，因此EX不能等于1.46. 计算第6，40各题中X的方差DX .解在第6题中，从第39题计算知EX，DXEX2( EX )20.46在第40题中，已计算出EX , =DX=EX2-(EX)21.7747. 计算第23，29各题中随机变量的期望和方差.解在第23题中，由于f ( x ) （0x1）,因此DX = EX2 ( EX )2&

34、#160;=在第29题中，由于f ( x )  ( 0x ) , 因此DXEX2 ( EX )2=48. 计算第34题中随机变量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49. 已知随机变量X的分布函数F ( x ) 为：F ( x ) =计算EX与DX .解依题意，X的密度函数f ( x ) 为：解EXEX2=DX=50. 已知随机变量X的期望EX，方差DX2

35、，随机变量Y = , 求EY和DY .解EY =( EX ) 0DY =  =151. 随机变量YnB ( n, ) ,分别就n=1, 2, 4, 8, 列出Yn的概率分布表，并画出概率函数图 .解Y101Y2012PPY30123PY401234PY8012345678P6561a17496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a = 1/65536 .&#

36、160;图略 .52. 设每次试验的成功率为0.8，重复试验4次，失败次数记为X，求X的概率分布 .解X可以取值0, 1, 2, 3, 4 .相应概率为P ( Xm )  ( m=0, 1, 2, 3, 4 )计算结果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653. 设每次投篮的命中率为0.7，求投篮10次恰有3次命中的概率 ；至少命中3次的概率 .解记X为10次投篮中命中的次数，则 XB ( 10 ,&#

37、160;0.7 ) . =10.31010×0.7×0.3945×0.72×0.380.998454掷四颗骰子，求“6点”出现的平均次数及“6点”出现的最可能（即概率最大）次数及相应概率.解掷四颗骰子，记“6点”出现次数为X，则XB（4，）.EX = np =由于np + p = ，其X的最可能值为 np + p =0若计算，显然概率更小.55已知随机变量XB（n, p），并且EX=3，DX=2，写出X的全部可能取值

38、，并计算 .解根据二项分布的期望与方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9 .X的全部可能取值为0, 1, 2, 3, , 9 .= 1 0.999956随机变量XB（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，问X取什么值的概率最大，其概率值为何?解由于DX = EX2(EX)2=0.64,  EX=0.8,  即解得q = 0.8，p = 0.2，n = 4 .由于np+p=1，因此X取0与取1的概率最大，其概率值为57随机变量XB（n,

39、60;p），Y=eaX，计算随机变量Y的期望EY和方差DY .解随机变量Y是X的函数，由于X是离散型随机变量，因此Y也是离散型随机变量，根据随机变量函数的期望公式，有58. 从一副扑克牌（52张）中每次抽取一张，连续抽取四次，随机变量X，Y分别表示采用不放回抽样及有放回抽样取到的黑花色张数，分别求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服从超几何分布，Y服从二项分布B（4，）.具体计算结果列于下面两个表中.X01234P46/833208/833325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659. 随机变量X服从参数为2的泊松分布，查表写出

40、概率并与上题中的概率分布进行比较.01234P0.13530.27070.27070.18040.090260从废品率是0.001的100000件产品中，一次随机抽取500件，求废品率不超过0.01的概率.解 设500件中废品件数为X，它是一个随机变量且X服从N=100000，=100，n=500的超几何分布.由于n相对于N较小，因此它可以用二项分布B（500，0.001）近似.又因在二项分布B（500，0.001）中，n=500比较大，而p=0.001非常小，因此该二项分布又可用泊松分布近似，其分布参数=np=0.5.61.某种产品每件表面上的疵点数服从泊松分布，平均每件上有0.8个疵点，若

41、规定疵点数不超过1个为一等品，价值10元；疵点数大于1不多于4为二等品，价值8元；4个以上者为废品，求：（1）产品的废品率；（2）产品价值的平均值解 设X为一件产品表面上的疵点数目，（1）（2）设一件产品的产值为Y元，它可以取值为0，8，10.62设书籍中每页的印刷错误服从泊松分布，经统计发现在某本书上，有一个印刷错误的页数与有2个印刷错误的页数相同，求任意检验4页，每页上都没有印刷错误的概率.解 设一页书上印刷错误为X，4页中没有印刷错误的页数为Y，依题意，即 解得=2，即X服从=2的泊松分布.显然YB63每个粮仓内老鼠数目服从泊松分布，若已知一个粮仓内，有一只老鼠的概率为有两只老鼠概率的两

42、倍，求粮仓内无鼠的概率.解 设X为粮仓内老鼠数目，依题意解得=1.64上题中条件不变，求10个粮仓中有老鼠的粮仓不超过两个的概率.解 接上题，设10个粮仓中有老鼠的粮仓数目为Y，则YB（10，p），其中 65设随机变量X服从上的均匀分布，计算E(2X)，D（2X），.解 EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66随机变量X服从标准正态分布，求概率P.解 67随机变量X服从标准正态分布，确定下列各概率等式中的a的数值：（1）；（2）（3）（4） 解（1），查表得a=1.28（2），得（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a =2（4），得 (a)= 0.55，查表

43、得a = 0.1368. 随机变量X服从正态分布，求概率,.解 P=0.682669随机变量X服从正态分布，若,，计算和的值，求.解 查表得： 解以和为未知量的方程组，得 =5.08，=2.=0.322870已知随机变量，确定c和d的值.解 = ，查表得 查表得 71假定随机变量X服从正态分布，确定下列各概率等式中a的数值：（1）（2）（3）解 =2(a) -1（1）2 (a)-1=0.9， (a)=0.95，a=1.64；（2）2 (a)-1=0.95， (a)=0.975,a=1.96；（3）2 (a)-1=0.99， (a)=0.995，a=2.58.72某科统考的考试成绩X近似服从正态

44、分布, 第100名的成绩为60分，问第20名的成绩约为多少分?解 设参加统考人数为n，则=0.8413，n=设第20名成绩约为a分，则查表得 a=79.6因此第20名的成绩约为80分.习 题 三1袋内有四张卡片，分别写有数字1，2，3，4，每次从中任取一张，不放回地抽取两次，记X、Y分别表示两次取到的卡片上数字的最小值与最大值，求（X，Y）的概率分布.解 （X，Y）可以取值为（1，2），（1，3），(3，4).事件是两个互不相容事件“第一次取到数字1且第二次取到数字2”与“第一次取到数字2且第二次取到数字1”的和，其概率为1/6，类似地可以计算出其他pij的值（见下表）.X Y234pi.12

45、0300p.j2求上题中随机变量X与Y的边缘分布.并计算期望EX，EY与方差DX，DY.解 在（X，Y）的联合分布表中，将每一行对各列求和，得到X的边缘分布pi.（i=1，2，3）.类似地，可以得到关于Y的边缘分布，其具体结果见上题联合分布表.EX=3一个袋内有10个球，其中有红球4个，白球5个，黑球1个，不放回地抽取两次，每次一个，记X表示两次中取到的红球数目，Y表示取到的白球数目，求随机向量（X，Y）的概率分布及X、Y的边缘概率分布.解 显然（X，Y）的全部取值为（0，1），（0，2），（2，0）.类似地可以计算出其他pij的值（见下表）：XY01200102004上题中试验条件不变，若记

46、i=1，2，求随机向量的概率分布，计算两次取到的球颜色相同的概率.解 易见的全部可能取值为（0，0），（0，1），（2，1）. 应用乘法公式不难计算出pij的全部值（见下表）：X2X101201205第3题中袋内球的组成及抽取次数不变，但是改为有放回抽取，求第4题中定义的随机向量的概率分布.解的取值为(0，0)，(0，1)， (2，2)且，因此，的联合概率分布为下表所示：X2X101200.160.20 0.0410.200.250.0520.040.050.016将3个球随机地放入四个盒子，记表示第i个盒子内球的个数，i=1，2，求随机变量与的联合概率分布及关于的边缘分布.解 取值为（0，0

47、），（0，1），（3，0） 列成联合分布表如下，表中最下一列为X2的边缘分布p.j，j=0，1，2，3.X2X101230 1 02 003000p.j7将3个球随机地放入四个盒子，设X表示第一个盒子内球的个数，Y表示有球的盒子个数，求随机向量（X，Y）的概率分布.解 （X，Y）的取值为（0，1），（0，2），（0，3），（1，2），（1，3），（2，2）类似地可以依次计算出pij的值（见下表）：Y X1230102003008.已知随机向量（X，Y）只取（0，0），（-1，1），（-1，2）及（2，0）四对值，相应概率依次为，和.列出（X， Y）的概率分布表，求Y的边缘分布及X+Y的概率分布

48、.解 YX012-1000 0200p.j（X，Y）的联合概率分布如上表所示，表中最下一行为Y的边缘分布，X+Y的分布见下表：X+Y012P9袋中有10张卡片，其中有m张卡片上写有数字m，m=1，2，3，4，从中不重复地抽取两次，每次一张，记Xi表示第i次取到的卡片上数字，i=1，2. 求的概率分布以及X1+X2，X1X2的概率分布.解 可以取（1，2），（1，3），（4，4），其相应概率见下表：X2X1123410 2 3 4X1+X2可以取3，4，8各值，X1X2可以取2，3，4，6，8，9，12，16各值，其相应概率见以下二表：345678P2346891216P10随机向量（X，Y）f

49、（x, y）， x, y0确定系数A的值，求联合分布函数F(x, y).解 11随机向量（X，Y）服从区域D上的均匀分布，求分布密度f（x,y）, 其中D为下面给定的区域：（1）（2）（3）解 （1）（2）（3）12求上题中关于X及关于Y的边缘密度.解 （1） （2）当x2时，fx（x）=0，类似地（3）当x1时， 当x1时，fX（x）=0，类似地， 13计算第11题（3）中的EX及EY.解 14分别判断第3、7、8各题中的随机变量X与Y是否独立?解 在第3题中，而 ,因此X与Y不独立；同样方法可以判断出第7与第8题中的X与Y均不独立.15判断第10，11各题中的随机变量X与Y是否独立?解 在

50、第10题中，由于对任何x、y均有F(x, y)=FX(x)FY(y)，因此随机变量X与Y独立；在第11题（1）中的f（x, y）=fX (x) fY (y)，因此X与Y是独立的，而在第11题的（2）与（3）中，不能对于所有x,y均满足等式 f（x,y）= fX (x) fY (y) ,因此（2）与（3）中的X，Y是不独立的.16设随机变量X1与X2独立，其概率分布由下面两表确定，令，求随机向量（X1，X2）的概率分布及X、Y的概率分布.X101X2123P0.60.4P0.50.30.2解 由于X1与X2独立，因此有 具体计算结果列于下表X2X112300.300.180.1210.200.1

51、20.08X的取值为1，2，3，4. =0.30类似地，可以计算出列于下表X1234P0.300.380.240.08随机变量Y可以取0，1，2，3各值.17有一种两版面的报纸，每版印刷错误数服从参数为1的泊松分布，假定各版印刷错误相互独立，求一份这种报纸上印刷错误总数X的概率分布.解 设X1，X2分别表示第1、第2版面上的印刷错误，X=X1+X2，X可以取一切非负整数. 18设随机变量X1与X2独立，且XiB(2,0.8) ,i=1,2 令X=X1+X2，Y=X1·X2，求X、Y的概率分布.解 X可以取0，1，2，3，4各值 Y可以取0，1，2，4各值 19求上题随机向量（X,Y）

52、的协差矩阵V.解 由上题知，XB（4，0.8），EX=3.2，DX=0.64EY=2.56，DY=1.740820求第6题中随机向量（X1，X2）的协差矩阵V.解 21求第7、8各题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解 在第7题中， 在第8题中22.计算第11题（3）中随机向量（X，Y）的协差矩阵V.解 23设随机向量（X，Y）f（x,y）其他求系数A，X的边缘概率密度f1(x)，并计算（X，Y）在以（0，0），（0，2），（2，1）为顶点的三角形内取值的概率.解 当0x2时，当x0或x2时，fX(x)=0记所求概率为p，则有24计算上题中随机向量（X，Y）的均值向量及协差矩阵.解 2

53、5随机变量X与Y独立，且X服从0，2上的均匀分布，Y服从=2的指数分布，写出随机向量（X，Y）的概率密度，计算概率PXY.解 由于X与Y独立，因此有 26已知随机向量（X，Y）的协差矩阵V为 计算随机向量（X+Y，X-Y）的协差矩阵.解 D ( X+Y ) =DX+2Cov ( X，Y ) +DY = 25D ( X-Y ) =DX-2Cov ( X，Y ) +DY = 1Cov ( X+Y，X-Y ) = DX-DY = -5 27设随机变量Y是X的线性函数，Y=aX+b，（a0），且随机变量X存在期望EX=，方差DX=2，求随机向量（X，Y）的协差矩阵.解 28一个靶面由五个同心圆组成，半

54、径分别为5，10，15，20，25（单位：厘米），假定射击时弹着点的位置为（X，Y），且（X，Y）服从二维正态分布，其密度为现规定弹着点落入最小的圆域得5分，落入其他各圆环（从小到大）的得分依次为4分、3分、2分及1分，求1次射击的平均得分.解 设随机变量W为一次射击的得分，则W可以取0，1，2，3，4，5各值. 同样方法可以计算出 29上题中设Z为弹着点到靶心的距离，求Z的概率密度fZ（z）及期望EZ.解 依题意随机变量Z是X与Y的函数，且当z0时， 令x=rcos，y=rsin 30随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别是求出密度函数f ( x, y) 的表示式解 将1

55、= 2 =0，=0.6代入二维正态分布的概率密度公式，得31设随机向量（X，Y）f（x,y），求（X，Y）的均值向量与协差矩阵.解 易见（X，Y）服从二维正态分布1=0，2=1且1，2，满足下列等式：解上面方程组，得32随机向量（X，Y）f（x,y），确定A的值，并求X与Y的相关矩阵.其中解法一： 类似地 计算表明X与Y的相关系数矩阵R为解法二：与31题解法相同，略.33随机向量（X，Y）服从二维正态分布，均值向量及协差矩阵分别为求随机向量（9X+Y，X-Y）的均值向量与协差矩阵.解 E（9X+Y）=9EX+EY=91+2E（X-Y）=EX-EY=1-2D（9X+Y）=81DX+18Cov (

56、 X，Y ) +DY D（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DY Cov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY *34随机变量XN（0，1），Xi=Xi，i=1，2，3.求三维随机向量（X1，X2，X3）的均值向量与协差矩阵.解 *35随机变量X1，X2，Xn相互独立，期望和方差都存在，求证X1，X2，Xn的相关矩阵为n阶单位矩阵.证 由于X1，X2，Xn相互独立，因此EXiXj=EXiEXj 36随机变量序列X1，X2，Xn，相互独立同正态分布，当n充分大时，可否认为，近似服从正态分布，为什么?解 可以，事实上，由于X1，Xn相互独立，同正态分布，不论n是否充分大，都一定服

57、从正态分布，不仅仅是近似服从正态分布.37设随机变量序列X1，X2，Xn，相互独立同分布，其概率密度问它们是否满足中心极限定理，为什么?解 不满足.由于Xi的期望不存在.这是由于积分因此对于期望不存在的随机变量序列不满足中心极限定理.38200个新生儿中，求男孩数在80到120之间的概率（假定生男、生女的机会相同）.解 令X表示200名新生儿中男孩数目，则XB，EX=100，DX=50由于n相当大，X近似服从正态分布N（100，50）39从一大批废品率为3的产品中随机地抽取1000个，求废品数在20到40个之间的概率.解 设1000个中的废品个数为X，则X服从超几何分布，由于整批产品数量很大，而抽取数目1000相对于一大批产品是很少的.因此X近似服从二项分布B(1000，0.03). EX=30，D