第四节直线、平面垂直的判定与性质

1、1第四节 直线、平面垂直的判定与性质|三乎戛寧；醃|考点一与垂直相关的命题的判定考向聚焦高考的常考内容，常将定义、判定和性质结合起来，与线面平行相关知识命 制试题,有时结合命题的真假判定或充要条件综合命题,考查学生对线面平 行与垂直的判定定理及性质的理解，一般以选择题、填空题形式出现，难度 中档以下，所占分值 45 分1. (2012 年安徽卷,理 6,5 分)设平面a与平面B相交于直线 m 直线 a 在平面a内.直线 b 在平面B内,且 b 丄 m 则“a丄B”是“ a 丄 b”的()(A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析：本题考查面面垂直

2、的判定与性质，考查空间想象能力，考查充分必要条件.若a丄B,由条件可以得出a丄b,若a丄b, b丄m由条件不能得出a丄B,所以“a丄B”是“ a 丄 b”的充分不必要条件.故选 A.答案:A.沖本题解决的关键是对面面垂直的性质及判定定理的理解，属于概念识别问题,解决这类问题要注意直线与直线可能位置的多种情况，比如本题中 b 与 m可能平行,也可能相交.2. (2012 年浙江卷，理 10, 5 分)已知矩形 ABCDAB=1 BC=.将 ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻折，在翻折过程中,()(A) 存在某个位置，使得直线 AC 与直线 BD 垂直(B) 存在某个位置，使得直线 A

3、B 与直线 CD 垂直(C) 存在某个位置，使得直线 AD 与直线 BC 垂直(D)对任意位置，三对直线“ AC 与 BD，“AB 与 CD，“ AD 与 BC 均不垂直 解析:假设 A 项正确,过点 A 作 AOL 平面 BCD 垂足为 O 连接 CO 交 BD 于 H 连接 AH 贝UBDL 平面 ACH从而 BD 丄 AHBDLCH 这是不可能的；假设 B 项正确，因为 DCL BC DCL 平面 ABC 此时/ ACD=90 ,vCD=,AD=,只需 AC=1 即可,这种情况是存在的，故选 B.答案:B.3. (2011 年浙江卷,理 4)下列命题中错误的是()(A) 如果平面a丄平面

4、B,那么平面a内一定存在直线平行于平面B(B) 如果平面a不垂直于平面B,那么平面a内一定不存在直线垂直于平面B(C) 如果平面a丄平面丫，平面B丄平面丫，aAp=l ,那么 I 丄平面丫(D) 如果平面a丄平面B,那么平面a内所有直线都垂直于平面B解析：不妨取一个长方体,平面 ABBAi丄平面 AiBiCiD,而 GD?平面 ABGD, CD /2答案:D.4. （2010 年山东卷,理 3）在空间,下列命题正确的是（）（A平行直线的平行投影重合（B）平行于同一直线的两个平面平行（C）垂直于同一平面的两个平面平行（D）垂直于同一平面的两条直线平行解析:A 选项中平行直线的平行投影也可能是平行

5、的；B 选项中的两个平面也可以 相交；C 选项中的两个平面也可以相交.故选 D.答案:D.5.（2012 年陕西卷，理 18, 12 分）（1）如图，证明命题“a 是平面n内的一条直线，b 是n外的一条直线（b 不垂直于n）, c 是直线 b 在n上的投影，若 a 丄 b,则 a 丄 c”为 真；（2）写出上述命题的逆命题,并判断其真假（不需证明）.（1）证明:法一：设斜线 b 与平面n交于点 A,在 b 上任取一点 P（异于点 A）,过 P 作PB 丄平面n,则垂足 B 落在投影 c 上.PB 丄平面n, a?n PB 丄 a.又 b 丄 a,且 PB b 是平面 PAB 内的两条相交线，

6、a 丄平面 PAB 又 c?平面 PAB二 a 丄 c.法二:如图,过直线 b 上任一点作平面n的垂线 d,则 d 丄 a,设直线 a、b、c、d 的方向向量分别为 a、b、c、d,则 b, c, d 共面, 由平面向量基本定理知，存在唯一的实数入、卩使得 c=Xb+卩 d, a c=a （入 b+ 卩 d） =X（a b） + （a d）由于 d 丄 a, ba,3 a d=0, a b=0, a c=0,即 a 丄 c.(2)解：逆命题为：“a 是平面n内的一条直线,b是平面n外的一条直线(b 不垂直 于n), c 是直线 b 在n上的投影,若 a 丄 c,则 a 丄 b” .逆命题为真命

7、题.详抛开常规的柱、锥问题，考查线面的基本问题，要求将文字语言转化为几何语言,难度不大，中档老点二与垂直相关的问题的证明考向聚焦学维训考t(Wt(W本型曲分W W要以4 4侧主常棱明、用证以理耐常胳容性3)13)1内与(3 3考理J!J!; ;必宀希的定血考判讪高的直备考指津的养ftfte e培耐的6.(2012 年湖南卷,理 18,12 分)如图,在四棱锥 PABCD 中,PA平面ABCDAB=4 BC=3AD=5 / DABMABC=90 , E 是 CD 的中点.(1) 证明：CDL 平面 PAE(2) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等，求四

8、棱锥P ABCD 勺体积.解：法一:(1)如图(1),连结 AC.由 AB=4BC=3 / ABC=90 得 AC=5 又 AD=5E 是 CD 的中点，所以 CDLAE.因为 PA!平面 ABCDCD?平面 ABCD 所以 PAL CD.而 PAAE 是平面 PAE 内的两条相交直线，所以 CDL 平面 PAE.(2)过点 B 作 BG/ CD 分别与 AE AD 相交于点 F, G 连结 PF.由(1)CDL 平面 PAE 知，BGL 平面 PAE 于是/ BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角，且 BGL AE.由 PAL 平面 ABC 啣,/ PBA 为直线 PB 与平面 AB

9、CD 所成的角.由题意/ PBA2BPF厂f几SF因为 sin / PBA, sin / BPF“，PBPB所以 PA=BF.由/ DAB2ABC=90 知,AD/ BC又 BG/ CD 所以四边形 BCDG!平行四边形.4故 GD=BC=3f 是 AG=2.在 Rt BAG 中, AB=4AG=2BGLAF 所以BG 宅踏 M 影=2，BFL=.BG 2 5于是 PA=BF=.又梯形 ABCD 勺面积为 S=X(5+3)X4=16,所以四棱锥 P ABCD 勺体积为V=XSXPA=X16X2=315 IS法二：如图(2),以 A 为坐标原点，AB AD AP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,

10、z 轴建立空 间直角坐标系，设 PA=h,则相关各点的坐标为A(0, 0,0), B(4, 0,0), C(4, 3, 0), D(0, 5, 0), E(2, 4, 0), P(0, 0, h).(1)易知一 =(-4,2, 0), /阴=(2,4,0),的两条相交直线，所以 CDL 平面 PAE.分别是平面 PAE 平面 ABCD 勺法向量,而 PB 与平面 PAE所成的角和 PB 与平面 ABC所成的角相等，所以| cos日舟恳 1_1 仁两即卩 二 二一二 一 闷阳由(1)知，=(-4,2,0),瀾=(0,0,-h),:/=(0, 0, h).因为爭解=0,所以 CDL AE CDL

11、AP 而 AP AE 是平面 PAE 内(2)由题设和(1)知，-,_F|cos，.1,图曲(2)=-8+8+0=0,5又遡=(4, 0, -h),故解得 h.又梯形 ABCD 勺面积为 S=X(5+3)X4=16,所以四棱锥 PABCD 勺体积为V=XSXPA=X16X2=7.(2012 年全国大纲卷，理 18, 12 分)如图，四棱锥 P ABCD 中 ,底面 ABCDfe菱形，PA 丄底面 ABCDAC=2 , PA=2 E 是 PC 上的一点，PE=2EC.(1) 证明：PCL 平面 BED(2) 设二面角 A PBC 为 90 ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 解:法一：(

12、1)因为底面 ABCD%菱形，所以 BDL AC又 PA!底面 ABCD 所以 PCL BD. 设 ACH BD=F 连结 EF.因为 AC=2 ,PA=2PE=2EC、r故 PC=2 , EC= , FC=,从而=葩：,一=礎:.FCcc6K AC因为二二/FCE2PCA7所以 FC0APCA/ FEC=/ PAC=90 , 由此知 PCL EF.PC 与平面 BED 内两条相交直线 BDEF 都垂直，所以PC 丄平面 BED.(2)在平面 PAB 内过点 A 作 AGL PB G 为垂足.因为二面角 A PBC 为 90 ,所以平面 PABL 平面 PBC.又平面 PABH 平面 PBC=

13、PB故 AGL 平面 PBCAGL BC.BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PAAG 都垂直,故 BCL 平面 PAB 于是 BCLAB所以底面 ABCE 为正方形，AD=2PD= -=2.设 D 到平面 PBC 的距离为 d.因为 AD/ BC 且 AD?平面 PBCBC?平面 PBC 故 AD/平面 PBCA、D 两点到平面 PBC 的距离相等，即 d=AG=.设 PD 与平面 PBC 所成的角为a,则 sina 一=.PD 1所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30 .法二:(1)以 A 为坐标原点，射线 AC 为 x 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐 标系 A xyz.设

14、C(2,0,0), D ,b,0),其中 b0,2则 P(0, 0, 2),曰，0,-)，B(，-b,0).于是一 =(2 ,0, -2),爲 2 l府(，b,),=(,-b,),8从而-=,=,故PCI BEPCLDE又 BEADE=E 所以 PC1平面 BED.（2）护=（0,0,2）,朋=（农,小，0）.设 m=x, y, z）为平面 PAB 的法向量,则 m=0, m : =0,即 2z=0 且器 x-by=0 ,令 x=b,则 m=b,或:,0).设 n=( p, q, r)为平面 PBC 的法向量,即 2p-2r=0 且一+bq+r=0,因为面 PABL 面 PBC于是n=（1,-

15、1塾），_：=（-能，7：电,2）,-. npDP 1.祠 厂小-=, =60故 PD 与平面 PBC 所成的角为 308.令p=1,故 mn=0,即 b-=0,故cosn,因为PD与平面PBC所成角和n=( 1,-,).9(2012 年江苏数学,16, 14 分)如图,在直三棱柱 ABCABQ 中，AB=AG, D, E 分别是 棱BCCG 上的点(点 D 不同于点 C),且 ADL DE F 为 BiCi的中点.求证:(1)平面 ADEL 平面 BCCi；(2) 直线 AF/平面 ADE.证明:(1)因为 ABCABG 是直三棱柱，所以 CC 丄平面 ABC又 AD?平面 ABC 所以 C

16、C 丄 AD.又因为 ADLDECC, DE?平面 BCCBi, CCnDE=E所以 AD 丄平面 BCCB,又 AD?平面 ADE.所以平面 ADEL 平面 BCCB.(2)因为 AB1=AG, F 是 BC 的中点，所以 AF 丄 BC.因为 CC 丄平面 A1B1C1,且 AF?平面 A1B1C1,所以 CC 丄 AF.又因为 CC, BC?平面 BCGB1, CCnBC=C,所以 AF 丄平面 BCCB1,由(1)知 AD 丄平面 BCCB,所以 AF/ AD.又 AD?平面 ADEAF?平面 ADE所以 AF/平面 ADE.9.(2011 年广东卷，理 18)如图所示，在锥体 P A

17、BC 冲,ABCD 是边长为 1 的菱形，且 /DAB=60 , PA=PD=, PB=2 E, F 分别是 BC PC 的中点.(1) 证明：ADL 平面 DEF(2) 求二面角 P ADB 的余弦值.(1)证明:m=(;+：)=1 肋 II P|cos(n-ZPAD+I 刖| jgicos/DAB=-pcosZPAD+cos 60 =-*cosZPAD+10又厶 PAD 为等腰三角形,11/ifll砌邀 cos / PAD=,网4441从而屈 Pg 二遐xX=0, ADL PB 又由题意 EF/ PBADL EF又在 DEC 中, EC=, DC=1 / DCE=60 ,2/ DEC=90

18、 ,即 DEI BC 又 AD/ BCDEL AD由知 ADL 平面 DEF.(2)解:取 AD 的中点 G 连接 PG GBPAD 为等腰三角形,PA=PD PGL ADABD 为等边三角形，二 BGL AD 从而/ BGP 为二面角 P ADB 的平面角,又在 PGB 中,cos / BGP=2M|冏IJFAM2-JABA7二面角 P ADB 的余弦值为-二.710. (2011年上海卷,理 21)已知 ABCEAiBQD是底面边长为 1的正四棱柱，O为 AC 与BD 的交点.(1)设 AB 与底面 ABCD 所成角的大小为 a ,二面角 ABD-A 的大小为 B ,求证:ta n B =

19、Vta n a ;(2)若点 C 到平面 ABD 的距离为-，求正四棱柱 ABCDAiBGD 的高.I0(1)证明：连接 AO、AC. AA 丄平面 ABiCD,/ ABA 为 AB 与平面 ABQD 所成的角. 即/ ABA 大小为a. ABCD 为正方形，-BD 丄 AiC.又 CC 丄平面 ABiCD,CC 丄 B D,BD 丄平面 ACCAi,BD _L AO, / AiOA 即为二面角 ABiD-Ai的平面角. 即/ AiOA 的大小为B.在 Rt ABAi中,tan铀a=,在 Rt AAO 中,tan.*7 匸“ B =.收在等腰直角三角形 AiBiO 中，AiBi=1, AiO=

20、.1tana=AA, tanB=F?；AA,tanB= tana.(2)解：在平面 AAGC 内，过点 C 作 CHLAO 于点 H. 由(i)知 BiD 丄平面 AAGC,BO 丄CH.ACHL 平面 ABD.即 CH 为点 C 到平面 ABD 的距离.4CH=.3设 AA=x,则 AO=删遼十羁屈(二-.又敢迥伫=CHAO 且很型 f=-ACAA,13 CH- AQ=AC- AA,冷占 + 刍 2x=2.即正四棱柱 ABCCA1B1CD 的高为 2.11. (2011 年湖南卷,理 19)如图,在圆锥 PQ 中,已知 PQ= ,oQ 的直径 AB=2C 是莎的中点，D 为 AC 的中点.D

21、 是 AC 的中点，所以 ACLQD又 PQL 底面oQ AC?底面oQ所以 ACLPQ.因为 om PQ=Q所以 AC 丄平面 PQD.而 AC?平面 PAC所以平面 PQDL 平面 PAC.(2)解：在平面 PQD 中,过 Q 作 QHL PD 于 H,由(1)知,平面 PQDL 平面 PAC 所以 QHL平面 PAC.又 PA?面 PAC 所以 PALQH.在平面 PAQ 中,过 Q 作 QGL PA 于 G 连接 HG 则有 PA!平面 QGH.从而 PAI HG.故/ QGHfe二面角 B PAC 的平面角.-x,在 Rt QDA 中, QD=QAsin 45在Rt(1) 证明：平面

22、 PQDL 平面 PAC(2) 求二面角 B PAC 的余弦值.在 Rt PQD 中,14故二面角 B PAC 的余弦值为二.S12.(2010 年安徽卷,理 18)如图,在多面体 ABCDE 中,四边形 ABCD 是正方形,EF/AB EF 丄 FB AB=2EF/ BFC=90 , BF=F(CH 为 BC 的中点.(1) 求证：FH/平面 EDB(2) 求证：ACL 平面 EDB(3) 求二面角 B DEC 的大小.法一：(综合法)(1)证明：设 AC 与 BD 交于点 G 则 G 为 AC 的中点,连接 EGGH 又 H 为 BC 的中点,四边形 EFH 助平行四边形，二 EG/ FH

23、而 EC?平面 EDBFH?平面 EDB FH/ 平面 EDB.(2) 证明：由四边形 ABCE 为正方形,有 AB 丄 BC. 又 EF/ AB 二 EF 丄 BC.而 EF 丄 FB BCH FB=B 二 EF 丄平面 BFC EF 丄FH.AAB 丄 FH又 BF=F(CH 是 BC 的中点，二 FH BC.又 ABA BC=B 二 FH!平面 ABCD.iFH 丄 AC.又 FH/ EG 二 ACL EG又 ACLBDEGH BD二G： ACL平面 EDB.(3) 解:vEFLFB,/BFC=90 , EFAFC=F BFL平面 CDEF.在平面 CDEF 内过点 F 作 FKLDE

24、交 DE 的延长线于 K 连接 BK 则/ FKB 为二面角 BDEC 的一个平面角.设 EF=1,贝 U AB=2 FC=0, DE=1所以 cos/OGH扣此。叭碍呼又 EF -AB EF=GH15又 EF/DC二/ KEF=/ EDC. sin / EDC=sin / KEF=. FK=EFsin / KEF=, tan / FKB=, 叮EH/ FKB=60 .即二面角 BDEC 的大小为 60 .法二:(向量法)：四边形 ABCE 为正方形，二 AB 丄 BC 又 EF/ AB 二 EF 丄 BC.又 EF 丄 FB FBA BC=B 二 EF 丄平面 BFC. EF FH 二 AB

25、 丄 FH.又 BF=FCH 为 BC 的中点，二 FH! BC.又 ABA BC=B 二 FH!平面 ABC.系.设 BH=1 则 A(1,-2,0), B(1,0,0), q-1,0, 0), D(-1,-2,0), E(0,-1,1), F(0, 0, 1).(1)证明：设 AC 与 BD 的交点为 G 连接 GEGHT JHF/GE又 GE平面 EDBFH?平面 EDB FH/ 平面 EDB. ACL GE.又 ACLBDEGH BD=G： ACL平面 EDB.16设平面 BDE 的法向量为 ni=(1,yi, zi),则 -ni=-1-yi+zi=0,yi=-1, zi=0,即 ni=( 1,-1 , 0).(T1，-1,1)，设平面 CDE 的法向量为 n2=(1,y2, Z2),则 n =0,得 y2=0,又 n2 .f jf=O,即 1-y2+Z2=0,故 Z2=-1,故 n2=(1,0,-1),現弋11cos=,蘇 2 1=60 ,即二面角 B DEC 的大小为 60 .洱线面平行、线面垂直是线面位置关系的重要内容.(1)、(2)两问较易，几 何法找二面角的平面角是难点.特别是二面角的平面角的顶点不在给定的线段上 本题用向量法解决时，关键是注意需证出 FHX 平面 ABC 才可建系.赶阅卷评析(2010 年江苏卷，16, 14 分)如图,在四棱锥 P ABC 冲