电动力学习题集答案1

1、电动力学第一章习题及其答案1. 当下列四个选项：(A.存在磁单级, B.导体为非等势体, C.平方反比定律不精确成立,D.光速为非普适常数)中的_ C _选项成立时,则必有高斯定律不成立.2. 若为常矢量, 为从源点指向场点的矢量, 为常矢量,则=, ， ， , ,， ，_0_., 当时,_0_. , _0_. 3. 矢量场的唯一性定理是说：在以为界面的区域内,若已知矢量场在内各点的旋度和散度,以及该矢量在边界上的切向或法向分量,则在内唯一确定.4. 电荷守恒定律的微分形式为,若为稳恒电流情况下的电流密度,则满足. 5. 场强与电势梯度的关系式为，.对电偶极子而言,如已知其在远处的电势为，则该

2、点的场强为.6. 自由电荷均匀分布于一个半径为的球体内,则在球外任意一点的散度为 0, 内任意一点的散度为 .7. 已知空间电场为为常数），则空间电荷分布为_.8. 电流均匀分布于半径为的无穷长直导线内，则在导线外任意一点的旋度的大小为 0 , 导线内任意一点的旋度的大小为.9. 均匀电介质（介电常数为）中,自由电荷体密度为与电位移矢量的微分关系为, 束缚电荷体密度为与电极化矢量的微分关系为,则与间的关系为.10. 无穷大的均匀电介质被均匀极化，极化矢量为，若在介质中挖去半径为的球形区域，设空心球的球心到球面某处的矢径为，则该处的极化电荷面密度为.11. 电量为的点电荷处于介电常数为的均匀介质

3、中，则点电荷附近的极化电荷为.12. 某均匀非铁磁介质中,稳恒自由电流密度为,磁化电流密度为,磁导率,磁场强度为，磁化强度为，则,与间的关系为.13. 在两种电介质的分界面上,所满足的边值关系的形式为, .14. 介电常数为的均匀各向同性介质中的电场为. 如果在介质中沿电场方向挖一窄缝,则缝中电场强度大小为.15. 介电常数为的无限均匀的各项同性介质中的电场为，在垂直于电场方向横挖一窄缝，则缝中电场强度大小为.16. 在半径为的球内充满介电常数为的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，则锥体中的场强与介质中的场强之比为_1:1_. 17

4、. 在半径为的球内充满介电常数为的均匀介质，球心处放一点电荷，球面为接地导体球壳，如果挖去顶点在球心的立体角等于2的一圆锥体介质，锥体处导体壳上的自由电荷密度与介质附近导体壳上的自由电荷密度之比为.18. 在两种磁介质的分界面上, 所满足的边值关系的矢量形式为,.19. 一截面半径为b无限长直圆柱导体，均匀地流过电流I，则储存在单位长度导体内的磁场能为_.20. 在同轴电缆中填满磁导率为的两种磁介质，它们沿轴各占一半空间。设电流为 (如图),则介质中和介质中离中心轴的磁感应强度分别为_ 。解：由边界条件可知，和必沿着圆周切线，并有，又因为，故有 21. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式

5、为： ,则该表达式中，的物理意义分别为: 电磁场的能流密度,能量密度,场对V内电荷作功的功率密度.22. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的积分形式为： ,则该表达式中三大项的物理意义分别为：单位时间通过界面S流入V内的能量, V内电磁场能量增加率,场对V内电荷作功的功率. 23. 电磁场和电荷系统的能量守恒定律的微分形式为: ,则该表达式中物理量与,的关系为,与的关系为, 与的关系为 24. 设半径为，高为的圆柱体磁介质（磁导率为），处于均匀磁场中均匀磁化，与柱轴平行，求该圆柱体磁介质中的总磁能（忽略边缘效应）_.均匀磁化在圆柱体磁介质表面，产生垂直于的圆形磁化面电流。设沿着界面方向。25.

6、同铀传输线内导线半径为,外导线半径为,两导线间为均匀绝缘介质.导线载有电流,两导线间的电压为.若忽略导线的电阻，则介质中的能流的大小为，传输功率为.二、已知为电偶极子的电偶极矩,为从电偶极子中心指向考察点P的矢径,试证明电偶极子在远处P点所激发的电势为,并求出处的P点所产生的电场强度。解、 (1分) 为常矢 三、已知一个电荷系统的偶极矩定义为，利用电荷守恒定律，证明的变化率为。证明：由及电荷守恒定律得又因为同理 ；故有 另解：四、 对于稳恒磁场,在某均匀非铁磁介质内部, 磁化电流密度为,自由电流密度为,磁导率,试证明与间的关系为. 证明：第二章 静电场练习一1. 有导体存在时的唯一性定理是说:

7、 若给出介质中自由电荷的分布,给定每个导体上的_电势_或每个导体上的_总电荷 _,以及（包围所有导体的）界面S上,则S内静电场被唯一确定.2. 无导体存在时的静电学问题的唯一性定理为: 设空间区域可以分为若干小区域,每个小区域充满均匀介质,若给出内自由电荷的分布,同时给出的界面上的_或_,则内静电场被唯一确定. 练习二1. 半径为的接地导体球置于均匀外电场中,导体球外为真空.试用分离变量法,求导体球外的电势、场强和导体球面上的自由电荷面密度.解: 1.求电势设未放导体球时，球心处原有电势为0，则有 由 比较方程两边的系数得：,。， , ， 不难看出，第一项是匀强电场产生的势。第二项是球面上非均

8、匀分布的电荷（电偶极子）产生的势，； 2) 电荷分布3)球外场强 故上式也能写为2. 半径为、电势为的导体球（其与地间接有电池）置于均匀外电场中,球外真空, 试用分离变量法,求电势、导体面上的电荷面密度及场强.解: 1.电势 设未放导体球时，球心处原有电势为，则有 上式的通解为 由 得 比较方程两边的系数得：,。 , ， 因此，不难看出，第一、二项是匀强电场产生的势，第三项是球面上均匀分布的电荷产生的势，第四项是球面上非均匀分布的电荷（电偶极子）产生的势。2) 电荷分布3)球外场强 或3、半径为的空心带电球面，面电荷密度为（为常量）,球外充满介电常数为的均匀介质，求球内外的电势、场强.解: （

9、1）因球内外电荷密度均为0，故有; 由题意,边界条件为: ；自然边界条件为:由条件（5）和（6）得 由（3）得 由（4）得 ， 由（10）得， 由（9）得，故解为 3. 在两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内有一点电荷,它到两个平面的距离为和,其坐标为,那么当用镜像法求空间的电势时,其镜像电荷的数目为_,这时所围成的直角空间内任意点的电势为_. 4. 两个无穷大的接地导体平面分别组成一个为450、600、900两面角，在两面角内与两导体平面等距离处置一点电荷,则在这三种情形下，像电荷的个数分别为 _7, 5, 3_. 解：为使两导体平面的电势为0，必须每隔放置一对异号境像电荷，且在处,

10、必须放置一对,这样在的圆周上必须放置个电荷,其中境像电荷为.5. 一电量为的点电荷在两平行接地导体平面中间，离两板距离均为，则像电荷的个数为_. 答：无穷多个6. 有两个电量为q的点电荷A和B，相距2b，在它们的联线的中点放一半径为a的接地导体球（ba）,则每一个点电荷受力大小为_.答：练习三（做7,8,9）1. 均匀带电球体的电偶极矩的大小为_，电四极矩为_. 答： 0, 02. 一电荷系统，它的电四极矩的几个分量为 则等于_. 答：-33. 有一个电四极矩系统，它放在处的无限大接地导体平面的上方，其中，则它的镜像系统电四极矩的 _.解：，对镜像系统：，其 ， ，由得：4. 一电偶极子平行于

11、接地导体平面（到平面的距离很小）。设过与导体平面垂直的平面为xy平面，则系统的电偶极矩为_,电四极矩的非0分量为_分量. 答： 0, 设两个电量为的点电荷位于直角坐标系中的,两个电量为的点电荷位于（并有）,则该系统的电偶极矩为_,电四极矩的非0分量为_.远处一点的电势近似表达式为_. 答：0, ，或5. 设两个电量为的点电荷位于直角坐标系中的,两个电量为的点电荷位于（并有）,则该系统电四极矩的非0分量为_，远处一点的电势近似表达式为_.，或6. 设两个电量为库仑的点电荷位于，两个电量为库仑的点电荷位于，则该系统的电偶极矩为_,电四极矩的非0分量为_.远处一点的电势近似表达式为_. 7. 电荷分

12、布为,体积为的带电体系在外电场（电势为）中的能量为 _.8. 两个同心带电球面（内、外半径分别为、）均匀地带有相同的电荷 ，则这两个带电球面之间的相互作用能为_；系统的总静电能为_.解：内球面在外球面处产生的电势为， ； ，或9. 半径为的接地导体球外有一点电荷，它离球心的距离为，则他们的相互作用能为_.解：可以用球内一个位于假想点电荷代替球面上的感应电荷；则它们的相互作用能为； 第三章 静磁场练习一1. 电磁场矢势沿闭合路径L的环量等于通过以L为边界的任意曲面S的_.2. 一长直密绕通电螺线管，取管轴为坐标系的Z轴，则它外面的某点的矢势与该点到管轴的距离的可能的依赖关系为_c_. （A. 正

13、比于; B. 正比于; C. 正比于; D. 正比于） 答：C3. 已知，则对应的矢势为_ _. A. ; B. ; C. ; D. .答：A. 因为对于有代入4. 稳恒电流分布在外场中的相互作用能为_. 答：练习二1. 区域内任意一点处的静磁场可用磁标势描述，只当_ B _：A. 区域内各处电流密度为零；B. 对区域内任意封闭路径积分为零; C. 电流密度守恒；D. 处的电流密度为零。2. 一半径为的均匀带电导体球壳，总电量为，导体球壳绕自身直径以角速度转动（设的方向沿z 方向），总磁偶极矩为_.3. 设分布在体积内的稳恒电流密度所激发的矢势为，则空间中的总磁场能量为_.答：4. 半径为磁导

14、率为的均匀介质球，置于均匀恒定的磁场中,球外为真空。用磁标势法，求空间各点的磁感应强度 解: 由于本题无传导电流，内、外磁标势为; 由题意,边界条件为: , 自然边界条件为: 由条件（5）和（6）得由（3）得 由（4）得 ，由（10）得， 由（9）得(2分)故解为 参考题：1. 半径为的接地导体球外充满绝缘介质，离球心为处置一点电荷。1）试用分离变量法,求导体球外的电势.2) 球面处的自由电荷面密度及束缚电荷面密度.提示：1）分离变量法令 注意：这一表达式并不是对任何成立，仅在时，才能如此展开. 由，得 将其代入（1）得 2). 球面处的自由电荷面密度及束缚电荷面密度. 2. 一个不带电的空心

15、导体球壳的内外半径为和,在壳内离球心为处置一点电荷Q(1)求空间各点的电势分布(2)导体球上内、外表面的感应电荷面密度. 解: （1）. 由高斯定理可知，球内表面的电量为，球外表面的电量为球内电荷的位置对球外的电势无影响，这样， 但点电荷与球内表面上的感应电荷必须使内表面上电势保持为0.若在球外距球心为处放一镜像电荷，（说明：）代替球内表面上的感应电荷，则可以使球面上的电势保持为0。则所有电荷在空间产生的电势为 (2). 导体球上内表面的感应电荷面密度. 导体球上外表面的感应电荷面密度. 3. 半径为的接地导体球外,充满绝缘介质,离球心为处置一点电荷.1）试求导体球外的电势.2)球面处的自由电

16、荷面密度及束缚电荷面密度.解: 采用镜像法 1）若在球内距球心为 处放一镜像电荷,代替球面上的感应电荷,则可以使球面上的电势保持为0.则和在空间产生的电势为 这里, (3) 球面处的自由电荷面密度及束缚电荷面密度. 4. 磁导率为的均匀磁介质充满整个空间，且介质中的磁感应强度为.如果在介质中挖去半径为的介质球,求球内外的磁感应强度 解:由于本题全空间无传导电流，故可采用磁标势解题，.设内、外磁标势满足为,他们满足; 由题意,边界条件为: ,自然边界条件为: 由条件（5）和（6）得由（3）得 由（4）得 ， 由（10）得， 由（9）得(2分)故解为 5. 半径为的空心球外充满介电常数为的均匀电介

17、质，该体系处于均匀外电场中，取球心为坐标原点，沿z轴方向。试用分离变量法求球内外的电场强度。解: 由于本题无自由电荷，内、外电势满足; 由题意,边界条件为: ,自然边界条件为: 由条件（5）和（6）得由（3）得 由（4）得 ， 由（10）得， (1分) 由（9）得，故解为 电动力第四章习题及其答案1. 一金属壁谐振腔，长宽高分别为且满足腔中为真空；则腔中所激发的最低频率的谐振波模为 (1,1,0),与之相应的电磁波波长为. 提示：用，分析2. 矩形波导管，管内为真空，管截面积s一定，矩形的长和宽分别记为a和b。要使（1，1）模具有最小的截至频率，则a或b的表达式为_.答：， （）截止频率为：，

18、若，则有时，有极小值3一矩形波导管，管内为真空，管截面矩形的长和宽分别为a和b,且a b,要使角频率为的波能在管中传播，a应满足. 解： ，对应于，4在均匀介质中传播的平面单色波是横波,其和相互垂直且都_垂直_于波的传播方向,和的相位_相同_, 沿着波矢的方向.5某试验室需要能传输频率为的型微波，实验室有如下几种尺寸的矩形波导管（长度单位为厘米）：问那几种尺寸波导管可供选择 （b）,(d).解： （） （以cm为单位）5 试从Maxwell方程组出发,证明在真空中传播的时谐电磁波的空间部分,可由方程组确定(其中).证明：1) 证明亥姆霍兹方程 由 则有 2）,3）,6由Maxwell方程组出发

19、,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中电场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式.解：Maxwell方程组为 真空 由, , 则有 ,7由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,均匀介质中传播的时谐电磁波的电场所满足的波动方程和电磁波波速的表达式. 解：Maxwell方程组为 由, , 则有 ,8由Maxwell方程组出发,推导出在没有自由电流和自由电荷的情况下,真空中磁场所满足的波动方程和真空中电磁波波速的表达式.解：Maxwell方程组为 真空由, , 则有 ,9由Maxwell方程组出发,求证在真空中传播的平面单色电磁波, 是横波,而且满足关系,其

20、中和是平面单色电磁波的波矢量与角频率.解： 在真空中 , 10考虑频率为的电磁波在电导率为的金属导体中的传播，（1）写出金属良导体条件的表达式。（2）证明：在良导体条件下，电荷只能分布在导体表面上。（1）金属良导体条件为（2）证明：考虑良导体中某一区域初始电荷密度为，由方程， ，容易得到 解得 电荷密度随时间指数衰减，衰减特征时间为，因此只要电磁波的周期 ，或，就可以认为，即电荷只能分布在导体表面上11一频率为平面单色电磁波，垂直入射到很厚的金属表面上，金属导体电导率为；求1）进入金属的平均能流密度；2）金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值；证明透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。解：考虑

21、到金属为良导体，电磁波进入导体后，很快衰减，故可设金属导体充满的半空间。电磁波由的真空垂直入射到金属表面1） 进入到金属的电磁场为， ， 这里复波矢 金属中任意位置处的平均能流密度为进入金属表面的平均能流密度为2） 金属单位体积内消耗的焦尔热的平均值3) 金属表面单位面积为底的无穷长圆柱体所消耗的平均焦尔热功率， ，。由（1）可知，这正是单位时间内进入金属表面处的能量的值，即透入金属内部的电磁波的能量全部变为焦尔热。电动力第五章习题及其答案1. 电磁场矢势与标势满足的库仑规范条件为,罗仑兹规范条件为.2. 对于一般的电磁场,和与矢势与标势的关系为（1）, (2) .3. 1）写出Maxwell

22、方程组；2）由Maxwell方程组导出标势和矢势所满足的基本方程组；3）在洛仑兹规范下,由上述方程组导出达朗贝尔方程组. 解：1）Maxwell方程组 2) 将及代入得： 将及代入得： 3）由洛伦兹规范 4由Maxwell方程组出发,在库仑规范条件下，推导真空中电磁场的矢势与标势所满足的微分方程.解：1）Maxwell方程组 2) 将及代入得： 将及代入得： 库仑规范 5试从Maxwell方程组出发,给出变化的电磁场矢势和标势的定义，说明何谓电磁场的规范变换，并证明电磁场的和在这种规范变换下保持不变.解：由 得，将其代入得, ，故可引入标势，使得，即：设是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，

23、做变换规范变换，则有6一电量为q的粒子沿z轴作简谐振动，其坐标为。设它的速度为为真空中的光速）求它的辐射场和平均能流密度以及辐射功率.提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为： 振动电偶极矩产生的矢势为 其中，平均能流密度：辐射功率：另解：由定义这个带电粒子对原点的电偶极矩为： ， 振动电偶极矩产生的矢势为 其中，（2分）平均能流密度：辐射功率： 71）写出Maxwell方程组；2）从此方程组出发，引入电磁场的矢势和标势，说明何谓电磁场的规范变换，并证明电磁场的和在这种规范变换下保持不变.解：1）Maxwell方程组为 2）由 得。将其代入得, ，故可引入标

24、势，使得，即：设是一个具有连续二阶偏导数的任意标量函数，做变换规范变换，则有8一电偶极子位于坐标系的原点，它的电偶极矩为。试求1）它在辐射场的电场强度和磁场强度；2）该处辐射场的能流密度. (15分)提示：直角坐标基矢与球坐标基矢关系为1）解：注意：本题电偶极矩沿着轴，但球坐标选取如常（如与Z轴间的夹角为等）这样，振动电偶极矩产生的矢势为 其中， 取实部故有 取实部能流密度：9有一原子团，设其极化率为，处于电磁场之中, 该原子团位于坐标原点，其体积为，且原子线度远小于电磁波波长。试求原子团在远处的辐射电磁场和电偶极辐射的平均能流密度以及辐射总功率。解：首先复习一下电偶极矩的计算：电极化强度矢量

25、 振动电偶极矩产生的矢势为 其中，平均能流密度：辐射功率：电动力第六章习题及其答案1. 狭义相对论的两条基本原理是 (1) _ _,(2)_ _. (1)相对性原理 (2)光速不变原理2. 一飞船空间舱以速度 相对于地面运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察者所测得的时间是地面上的观察者所测得时间的,则空间舱飞行速度为. 解：设飞船为，物体从舱顶部下落为事件1：，落地为事件2： ，则有3. 在狭义相对论中,两事件与的间隔为 .4. 若两个事件可以用光波联系,有,因而两事件的间隔为 0 , 则种间隔称为 类光 间隔.5. 一飞船空间舱以相对于地面的速度v运动，一物体从舱顶部落下，空间舱上的观察

26、者所测的时间是地面上观察者所测的时间的倍，则空间舱飞行速度为 6. 两惯性系和相对运动速度为u,一根直杆在系中，其静止长度为l，与x轴的夹角为q ,则在系中的观察者所测到该直杆长度为_.解：, ,7. 静质量为，电量为的粒子，在垂直于均匀磁场的平面内作轨道半径为的匀速圆周运动，求粒子速度大小的表达式。解： 电子的运动方程为： 因为粒子作匀速圆周运动，故不变, 8设有两根互相平行的尺,在各自静止的参考系中的长度均为,它们以相同速率相对于某一参考系运动,但运动方向相反,且平行于尺子求站在一根尺上测量另一根尺的长度解：设沿x方向运动的尺位于上,则已知另一把尺相对于的速度为故这把尺相对于的速度为 上的观察者测得另一把尺的长度为9在坐标系中,有两个物体都以速度u沿X轴运动,在系看来,它们一直保持距离L不变.今有一观察者以速度v沿X轴运动,他看到此二物体的距离是多少？解：在系看两个物体的距离为、运动速度,则有, 即, 将建立在以速度沿x轴正方向运动的观察者上, 则两物体相对于速度为 10静止长度为的车厢,以速度相对于地面S作匀速直线运动,车厢的后壁以速度(相对于车)向前推出一个小球,求地面观察者看到小球从后壁到前壁的运动时间解： 解法1：已知 (3分) 解法2：小球相对于车厢速度为, 相对于地面S的速度为: ；地面