第七章、联立方程模型

1、2022-2-161第七章、联立方程模型孟祥兰2022-2-162一、联立方程模型联立方程模型（multi-equations models) ，又称同时方程模型，它是利用多个方程表达经济变量之间复杂关系的模型。2022-2-163例如，让我们设想以下苹果的供给与需求关系 的模型。 （需求函数）ttttYPQ1210（7.1） （供给函数）ttttYPQ2210（7.2） （内生变量）Qt: 苹果的数量 Pt: 苹果的市场价格 （外生变量）Yt: 需求者收入 Tt：日照时间 2022-2-164n在这个联立方程模型中，Qt与Pt的取值是由模型内部相互关系所决定的，因此称为内生变量。n而Yt与T

2、t的取值是由模型外部所决定的，因此称为外生变量。n外生变量影响内生变量，但是外生变量不受内生变量的影响2022-2-165n此外，还有一些在上述模型中没有表示的变量，例如，Qt-1、Pt-1这样的内生变量，由于这些变量的值在t期中是被决定的，因此被称为先决内生变量（滞后内生变量）。n外生变量与先决内生变量合在一起称为先决变量。2022-2-166 内生变量 经济变量 外生变量 先决变量 先决内生变量 2022-2-167n内生变量与外生变量的区分并没有绝对的标准，往往是根据分析的目的或者模型涵盖的经济活动范围，由分析者自己决定。但是，需要注意的是，变量的这种区分也是基于经济理论的一种常识。20

3、22-2-168二、结构型与诱导型n所谓结构型（structural form,s.f) ，是按原样记述由经济理论推导出来的经济变量之间的关系，反映了经济的结构，所以称为结构型。n上述苹果的供给模型（7.1,7.2）式就称为结构型。n结构型中各种关系式称为结构方程式。2022-2-169n所谓诱导型（reduced form,R.F），是指内生变量仅仅由外生变量、先决内生变量、误差项来表现，由于它是由结构型推导出来的，因此称为诱导型。n诱导型中的各种关系式称为诱导方程式，只有内生变量需要设定。2022-2-1610n结构型与诱导型的分类也没有绝对的标准，而是根据分析的目的、范围，由分析者自己决

4、定。n下面，我们从结构型方程式（7.1）、（7.2），推导关于内生变量Qt与Pt的诱导型方程式。2022-2-1611ttttTYQ1121110 (7.3) ttttTYP2222120 (7.4) 式中， 11100110 111211 112112 110020 11221 11221 111211ttt 11212ttt 2022-2-1612诱导方程中的参数222120121110, 称为诱导型参数； 结构方程中的参数210210,称为 结构参数。 2022-2-1613三、间接最小二乘法n如果对（7.1）（7.2）这样的结构方程式直接应用普通最小二乘法（OLS）估计出来的参数会出现

5、偏差，理想的统计性质无偏性、一致性都得不到保证。n这种偏差叫做“联立方程偏差” 。n由于它是哈维莫（Havelmo，1989年诺贝尔经济学奖得主）首先提出的，由此又称为“哈维莫偏差“。2022-2-1614n联立方程偏差产生的原因在于，由于解释变量中包含内生变量，解释变量与误差项之间出现相关。n因此，如果只用外生变量、先决内生变量来解释左边的内生变量，也就是说只推导诱导方程式，并且对其使用ols估计，联立方程偏差不会发生，问题可以得到解决。2022-2-1615n所谓间接最小二乘法（indirect least squares methods,ILS）就是根据这种思想来估计联立方程式的方法。n

6、间接最小二乘法的步骤如下：n步骤一：由结构型推导诱导型。n步骤二：对推导出来的各诱导方程式应用ols分析，并估计诱导型参数。n步骤三：根据诱导型参数，对原先的结构参数进行逆运算。2022-2-1616n上述这种利用OLS估计出来的诱导型参数、间接地计算结构参数的方法，就称为间接最小二乘法。n估计出来的诱导型参数，同时满足无偏性与一致性。与此相应的结构参数，不满足无偏性，只满足一致性。2022-2-1617n上述“步骤三”中，根据诱导型参数不仅限于计算一个结构参数，有时还要计算两个以上的参数（过剩识别的情况），这是间接最小二乘法的一个较大的弱点。也就是说，间接最小二乘法，只是在研究对象结构方程存

7、在适度识别（参见下一节）的情形下，才有可能利用，因此在实际运用中存在一定的局限性。2022-2-1618例题 1：利用下表中的数据，对苹果的供求模型 （7.1） （7.2）进行间接最小二乘法估计。 年序号 t 数量（千个） Q 市场价格（日元） P 需求者收入 （万日元）Y 日平均 日照时间 （小时）T 1 57 78 28 7. 0 2 55 96 29 4. 1 3 66 87 32 7. 2 4 65 98 33 5. 4 5 71 104 35 5. 8 6 74 105 36 6. 7 7 71 110 36 5. 0 8 77 113 38 6. 3 2022-2-1619解答：

8、步骤一：由结构方程式（7.1） 、 （7.2）推导 诱导方程式（7.3） 、 （7.4） 。 步骤二：对诱导方程式（7.3） 、 （7。4）应用 OLS 法，并估计诱导型参数。 tttTYQ51150. 113142. 21105.13 (-7.274) (44. 618) (9. 546) 004. 2,9968. 02DWR tttTYP77983. 406024. 31196.25 (3. 156) (140506) (-6. 836) 080. 2,9720. 02DWR 2022-2-1620步骤三：由估计出的诱导参数，求结构参数 210210,。 1671. 5222012100

9、0991. 3,31622. 011222112222121 69649. 0,606.3021111212011100 8406. 4212211122 2022-2-1621整理间接最小二乘法的结果，得到如下的苹果 供求模型（结构型） 需求函数：tttYPQ0991. 331622. 01671. 5 供给函数：tttTPQ8406. 469649. 0606.30 估计出的结构参数的符号也得到满足，可见是良好的 估计结果 2022-2-1622四、识别问题n所谓识别问题（identification problem) ，是指根据诱导型参数能否求出结构参数的问题。n关于识别共有下面三种情形

10、：n（1）适度识别（just-identifiable）n是指根据诱导型参数只计算一个结构参数的情形。可以应用间接最小二乘法和下面将要介绍的二阶段最小二乘法。2022-2-1623n（2）过剩识别（over-identifiable）n是指根据诱导型参数计算两个以上结构参数的情形。n间接最小二乘法不适用，二阶段最小二乘法适用。2022-2-1624n（3）无法识别（not-identifiable）n是指根据诱导型参数不能计算一个结构参数的情形。n间接最小二乘法和二阶段最小二乘法均不适用。2022-2-1625n各结构方程式是否可以识别的判别条件，分为作为必要条件的阶条件（order cond

11、ition）和作为充分必要条件的秩条件（rank condition）。n本章只介绍阶条件，而秩条件由于需要行列式的计算，略去不讲。2022-2-1626用于识别的阶条件可以整理如下：nK模型中先决变量（外生变量、先决内生变量）的个数nJ结构方程式中先决变量的个数nH结构方程式中内生变量的个数n（1）K-J=H-1适度识别n（2）K-J大于H-1过剩识别n（3）K-J小于H-1无法识别2022-2-1627n识别问题不是关于估计方法的问题，而是关于建模的问题，如果发现无法识别的结构方程式，为了使其能够识别，需要重新建立模型。2022-2-1628例题 2： 下面 ad 的结构模型中，利用阶条件

12、分别 考虑各结构方程式的识别可能性。这里 Y（与下标 无关）为内生变量，X 为先决变量，,为结构 参数，为误差项。 a、1122101XYY （1） 21102XY （2） b、123122101XXYY（1） 21102XY （2） 2022-2-1629C.123122101XXYY (1) 23423121102XXXYY(2) d.12211301XXYY (1) 234231231102XXXYYY(2) 3433221203XXXYY (3) 2022-2-1630解答：设模型中的先决变量数为K，结构式中的先决变量数为J，结构方程式中的内生变量数为H。na（1）K-J=1-1=0n

13、 H-1=2-1=1n K-J小于H-1n因此，（1）式无法识别n（2）K-J=1-1=0n H-1=1-1=0n K-J=H-1n因此，（2）适度识别2022-2-1631nb, (1)K-J=2-2=0n H-1=2-1=0n K-J小于H-1n因此，（1）式无法识别。n（2）K-J=2-1=1n H-1=1-1n K-J大于H-1n因此，（2）过剩识别。2022-2-1632nc、（1）K-J=3-2=1n H-1=2-1=1n K-J=H-1n因此，（1）适度识别n（2）K-J=3-3=0n H-1=2-1=1n K-J小于H-1n因此，无法识别2022-2-1633nd、（1）K-J

14、=4-2=2n H-1=2-1=1n K-J大于H-1n因此，（1）过剩识别n （2）K-J=4-3=1n H-1=3-1=2n K-J小于H-1n因此，（2）无法识别2022-2-1634n（3）K-J=4-3=1n H-1=2-1=1n K-J=H-1n因此，（3）适度识别2022-2-1635五、二阶段最小二乘法n上面学习的间接最小二乘法，只能适用于结构方程式适度识别的情形，在过剩识别的情况下，如果要计算两个以上的结构参数，就无法适用。n因此，利用泰尔（H.Theil）提出的二阶段最小二乘法（two-stage least squares method,2SLS,TSLS），即使在过剩识

15、别的情形下，也可以只计算一个结构参数。2022-2-1636n当然，在适度识别的情形中也可以应用，在这种情况下，二阶段最小二乘法与间接最小二乘法的估计值是一致的。根据二阶段最小二乘法作出的估计值，满足一致性，不满足无偏性。n下面，我们再一次利用苹果的供求模型，说明二阶段最小二乘法的步骤。2022-2-1637步骤一：从结构方程式（7.1） 、 （7.2）推导 出诱导方程式（7.3） 、 （7.4） ttttTYQ1121110 (7.3) ttttTYP2222120 (7.4) 步骤二： 对诱导方程式（7.4）使用 OLS 法，并估计诱导型参数。 这时， （7.3）式没有必要进行估计（参照下

16、面的步骤） 。 步骤三： 对结构方程式中称为解释变量的内生变量，计算其理 论值。因此，利用步骤二中的估计结果，求 Pt 的理论值 tP。这里，由于 Qt 没有称为结构方程式中的解释变量， 没有必要计算其理论值。 2022-2-1638步骤四： 用tP代替 Pt，对结构方程式（7.1） 、 （7.2）进行 OLS 估计。即对下面的方程进行 OLS 估计。 ttttYPQ1210 (7.9) ttttTPQ2210 (7.10) 根据这一步计算，tP与tt21,不相关，因而满足 OLS 中重要的假设“解释变量与误差项不相关” 。 这样，由于使用了两次 OLS，因而称为二阶段最小 二乘法。 2022

17、-2-1639例题 3：对例题 1 中的苹果供求模型， 进行二阶段最小二乘法（2SLS）估计。 解答：步骤一和步骤二已经由例题 1 计算。 步骤三： 求 Pt 的理论值tP（见下表） t. tP. 1 77. 3476 2 94. 2694 3 88. 6326 4 100. 2966 5 104. 5051 6 103. 2635 7 111. 3892 8 111. 2959 2022-2-1640步骤四： 用tP代替 Pt，对结构方程式（7.9） 、 （7.10） 进行 OLS 估计，需求函数： tttYPQ0991. 331622. 01671. 5 (-1. 779) (-5. 25

18、5) (15. 634) 293. 2,9893. 02DWR 供给函数： tttYPQ8406. 469649. 0606.30 (-4. 583) (14. 335) (9. 125) 895. 1,9691. 02DWR 2022-2-1641由此可见，本例的估计结果与例题1用间接法估计的结果是一致的。n补充：n需要注意的是，二阶段最小二乘法中的决定系数、t值等，与OLS中不同，它们并不严密反映模型的适合程度、参数的显著性，只是表示模型的一些近似的相关指标。2022-2-1642例题 4、下面是由两个方程构成的结构型， 它是 A 国消费函数的模型，下表是用于估计该 模型的数据。 消费函数

19、：ttttCYC1210（7.11） 定义式：tttZCY (7.12) 内生变量：Ct：消费支出；Yt：国内总生产； 先决变量：Zt：投资等（其他支出） ；Ct-1： （t-1）期消费支出 （1）利用阶条件，考察结构方程式（7.11）的识别可能性。 （2）利用二阶段最小二乘法对结构方程式（7.11）进行估计。 2022-2-1643 A 国的宏观经济数据 单位：10 亿美元 年份 t 国内总产值 Yt 消费支出 Ct 投资等 Zt 1984 - 70 - 1985 100 76 24 1986 108 82 26 1987 110 84 26 1988 117 87 30 1989 116 87 29 1990 124 91 33 1991 131 95 36 1992 136 98 38 1993 134 97 37 1994 142 102 40 1995 149 105 44 说明：按 1990 年价格 2022-2-1644n解答：由于模型的先决变量数K为2,结构方程式7.11中的先决变量数J为1,内生变量数H为2,即nK-J=2-1=1nH-1=2-1=1n因此，K-J=H-1n7.11式为适度识别。2022-2-1645（2）步骤一： 根据方程式 7.11、7.12 推导诱导方程式。 ttttCZC11121110 (7.