第六章 模糊设计

1、第6章 模糊设计6.1 模糊集合与隶属函数1965年，Zadeh教授发表了模糊集合论论文，提出用“隶属函数”这个概念来描述现象差异的中间过渡，扎德创立的模糊集合是模糊数学的基础，它是以逻辑真值O，1的模糊逻辑为基础的，它是对经典集合的开拓。模糊数学又称Fuzzy数学，“模糊”二字译自英文“Fuzzy”一词。 需要指出的是，随机性和模糊性尽管都是对事物不确定性的描述，但二者是有区别的。概率论研究和处理随机现象，所研究的事件本身有着明确的含意，只是由于条件不充分，使得在条件与事件之间不能出现决定性的因果关系，这种在事件出现与否上表现出的不确定性称为随机性。在0，1上取值的概率分布函数就描述了这种随

2、机性。模糊数学是研究和处理模糊现象的，所研究的事物的概念本身是模糊的，即一个对象是否符合这个概念难以确定，这种由于概念外延的模糊而造成的不确定性称为模糊性(fuzziness)。在0，1上取值的隶属函数就描述了这种模糊性。 模糊集合人们要表达一个概念，通常有两种方法，一种是指出概念的内涵即内涵法；另一种是指出概念的外延，即外延法。实际上，概念的形成总是要联系到集合论，从集合论的角度看，内涵就是集合的定义，而外延则是组成该集合的所有元素。由此不难看出，内涵和外延是描述概念的两个方面。 在人们的思维中，有许多没有明确外延的概念，即模糊概念。表现在语言上有许多模糊概念的词，如以人的年龄为论域，那么“

3、年青”、“中年”、“老年”都没有明确的外延。或者以人的身高为论域，那么“高个子”、“中等身材”、“矮个子”也没有明确的外延。再如以某炉温为论域，那么“高温”、“中温”、“低温”等也没有明确的外延。诸如此类的概念都是模糊概念。 模糊概念不能用经典集合加以描述，这是因为不能绝对地区别“属于”或“不属于”，就是说论域上的元素符合概念的程度不是绝对的0或1，而是介于0和1之间的一个实数。(1) 模糊集合的定义这里给出Zadeh在1965年对模糊集合（或称模糊子集）的定义。 设给定论域，到O，1闭区间的任一映射：O，1 （6-1）都确定的一个模糊子集，称为模糊子集的隶属函数，称为对于的隶属度。上述定义表

4、明，论域上的模糊子集由隶属函数来表征，取值范围为闭区间0，1，的大小反映了对于模糊子集的从属程度。的值接近于1，表示从属于的程度很高；的值接近于0，表示从属的程度很低。可见，模糊子集完全由隶属函数所描述。 当的值域=0，1时，蜕化成一个经典子集的特征函数，模糊子集便蜕化成一个经典子集。由此可以看出，经典集合是模糊集合的特殊形态，模糊集合是经典集合概念的推广。 模糊集合的表达方式有以下几种。1) 当论域为有限集时，通常有如下三种方式。 Zadeh表示法 (6-2)式中，并不表示“分数”，而是表示论域中的元素与其隶属度之间的对应关系，符号“+”也不表示求和，而是表示模糊集合在论域上的整体。序偶表示

5、法 该方法将模糊集合用论域中的元素与其隶属度构成的序偶表示，即 (6-3)此种表示方法隶属度为0的项可不写入。向量表示法 对模糊集合，论域中的元素为，其隶属度为，采用向量表示法如下： (6-4)在向量表示法时，隶属度为0的项不能省略。在上述三种表示法中，经常采用的是第一种方法，即Zadeh表示法。 2) 当是连续论域时，Zadeh给出如下记法： (6-5)同样，也不表示”分数”，而表示论域上的元素与其隶属度之间的对应关系；“”既不表示“积分”，也不是“求和”记号，而是表示论域上的元素与其隶属度对应关系的一个总括。(2)模糊集合的运算下面给出模糊集合的定义及其运算性质。 1) 模糊子集的包含和相

6、等关系 设、为论域上的两个模糊子集，对于中每一个元素，都有，则称包含，记作。 如果，且，则说与相等，记作。由于模糊集合的特征是它的隶属函数，所以两个模糊子集相等也可用隶属函数来定义。若对所有元素，都有，则。 2) 模糊子集的并、交、补运算 设、为论域上的两个模糊子集，规定、的隶属函数分别为、，并且对于的每一个元素，都有 (6-6) (6-7) (6-8)上述三式分别为与的并集、交集和的补集。式中“”表示取大运算，“”表示取小运算，称其为Zadeh算子。因此两个模糊子集的并、交可写成 (6-9) (6-10) 模糊子集、并集的隶属函数取及中的最大值；而、交集的隶属函数取及中的最小值。模糊集合的并

7、、交运算可以推广到任意个模糊集合。3) 模糊子集的代数运算代数积 称为模糊集合和的代数积，的隶属函数为 (6-11)代数和 称为模糊集合和的代数和，的隶属函数为 (6-12) 环和 称为模糊集合和的环和，的隶属函数为 (6-13)4) 模糊子集运算的基本性质幂等律 交换律 结合律 分配律 吸收律 同一律 复原律 对偶律 上述性质模糊集合与经典集合是相同的，但须指出，模糊集合不再满足互补律，其原因是模糊子集没有明确的边界，也无明确的边界。(3) 模糊集合与经典集合的联系模糊集合是通过隶属函数来定义的，如果要问模糊集合究竟由哪些元素组成，那么必须对隶属度取一定的阈值，即约定当对于的隶属度达到或超过

8、者就算做的成员，那么模糊集合就变成了经典子集。例如，“高个子”是个模糊集合，而“身高1.75m以上的人”却是个经典集合，这里有一个概念叫“截集”。 1) 截集设为论域上的模糊集合,对任意，当称为的截集，它是一个经典集合，称为水平。当称为的强截集。 截集与强截集具有如下性质：，若，且，则有：， 2) 分解定理设为论域上的模糊集合，为的截集，则有如下分解式成立 （6-14）式中表示的一个模糊子集，称为与的“乘积”，其隶属函数如图6-1所示，隶属函数定义为： （6-15）图6-1 的隶属函数 图6-2 分解定理的图示图6-2给出了分解定理的直观说明，图中画出了不同水平的的图形。当取遍0，1区间所有值

9、时，按模糊集合求并运算法则，即取各点隶属函数的最大值，再连成一条曲线，这自然与线重合，分解定理说明的就是这个道理。 分解定理提供了用经典集合构造模糊集合的可能性，它沟通了模糊集合与经典集合的联系。3) 扩张原理设映射： ，那么可以扩张成为： （6-16）这里，叫做的扩张。通过映射映射成时，规定它的隶属函数的值保持不变。在不产生误解的情况下，可记作。 分解定理和扩张原理是模糊数学的理论支柱。分解定理是联系模糊数学和普通数学的纽带，而扩张原理是把普通的数学方法扩展到模糊数学中的有力工具。 隶属函数 正确地确定隶属函数，是运用模糊集合理论解决实际问题的基础。隶属函数是对模糊概念的定量描述。我们遇到的

10、模糊概念不胜枚举，然而准确地反映模糊概念的模糊集合的隶属函数，却无法找到统一的模式。 在模糊数学中，隶属度是建立模糊集合论的基石，隶属函数是描述模糊性的关键。尽管统计学为隶属函数的确定提供了较简捷和较科学的方法，但它们的确定仍然是实际工作者感到棘手的问题。一个模糊集合在给定某种特性之后，就必须建立反映这种特性所具有的程度函数即隶属函数。 模糊性的根源，在于客观事物的差异之间存在着中介过渡，存在着亦此亦彼的现象。但是，在亦此亦彼之中依然存在着差异，依然可以相互比较，在上一层次中是亦此亦彼的东西，在下一层次中可能又是非此即彼的。这些便在客观上对隶属函数进行了某种限定，使得隶属函数不能主观任意地捏造

11、，它仍然具有一定的客观规律性。 当然，对于同一个模糊概念，不同的人会建立不完全相同的隶属函数，尽管形式不完全相同，只要能反映同一模糊概念，在解决和处理实际模糊信息的问题中仍然殊途同归。事实上，也不可能存在对任何问题、任何人都适用的确定隶属函数的统一方法。(1) 隶属函数的确定原则 以下是确定隶属函数的一般原则： 1) 隶属函数的确定过程，本质上是客观的，但又容许一定的人为技巧，有时这种人为技巧对问题的解决起决定作用。值得注意的是，人为技巧应该是合乎情理的，不能有悖于客观实际； 2) 在某些场合，隶属函数可以通过模糊统计试验加以确定。一般来说，这种方法多是较为有效的； 3) 在某些场合，可以用概

12、率统计的结果予以推理而确定其隶属函数； 4) 在某些场合，可以用二元对比排序法确定隶属函数的大致形状，根据形状可以选用适当的隶属函数的模型； 5) 在一定条件下，隶属函数可以作为推理的产物； 6) 某些模糊集合的隶属函数可以经过模糊运算求得； 7) 在模糊数学的许多应用领域中，隶属函数可以通过“学习”而不断完善。实践效果是检验和调整隶属函数的依据； 8) 隶属函数的确定也可以通过专家的经验来确定，目前在许多基于知识的专家系统中都是这样来确定隶属函数的。当论域为实数时，可以根据问题的性质选用某种典型的函数形式，并利用隶属函数所要满足的条件来确定函数中所包含的参数。(2)常用的模糊分布 以实数域为

13、论域时，称隶属函数为模糊分布。常见的模糊分布有以下四种： 1) 正态型 这是最主要也是最常见的一种分布，表示为， 其分布曲线如图6-3所示。 2) 型 其中，。 当即时，隶属度为1，其分布曲线如图6-4所示。 图6-3 正态型隶属函数 图6-4 型隶属函数3) 戒上型 其中，其分布曲线如图6-5所示。 4) 戒下型 其中，其分布曲线如图6-6所示。 图6-5戒上型隶属函数 图6-6戒下型隶属函数(3)常用的隶属函数 这里给出28种常用隶属函数，分为4组，处理实际问题时可从中选用一种，具体参数由实际问题决定。 1) 偏小型(戒上型) 论域均为正值，适用于很小的隶属函数。降半矩形分布降半型分布其中

14、，。降半正态分布 其中，。降半梯形分布 降半凹(凸)分布降半柯西分布其中，。降半岭形分布2) 偏大型(戒下型) 论域也为正值，适用于较大的隶属函数。升半矩形分布升半型分布其中，。升半正态分布其中，。升半梯形分布升半凹(凸)分布升半柯西分布其中，。升半岭形分布3) 中间对称型 适用于较小的隶属函数。矩形分布尖型分布正态分布其中，。柯西分布其中，为正偶数。梯形分布岭形分布对升凹(凸)分布 4) 中间对称型 适用于较大的隶属函数。其中，。其中，。其中，。6.2模糊优化设计基本概念概述模糊优化设计包括建立数学模型和应用计算机优化程序求解数学模型两方面的内容。如何从实际问题中抽象出正确的数学模型，是工程

15、模糊优化设计的关键之一，也是工程设计人员进行模糊优化设计的首要任务。同其它常规优化设计一样，目标函数、约束条件和设计变量是模糊优化设计数学模型的三要素。1) 目标函数 目标函数是衡量设计方案优劣的某一个指标或某几个指标。寻找优化设计方案的目的，就是追求可靠性最高，造价、维修费用最小或其它性能指标最优。由于设计方案的“优”与“劣”本身就是一个模糊概念，没有明确的界限和标准，特别是对于多目标优化问题，往往只能得到满意解。因此，一般地说，目标函数是模糊的，记为。2) 约束条件 设计中并非所有方案都是可行的，可行方案必须满足设计规范和标准中所规定的条件或其它条件。这些条件大致上可分为三类：几何方面的约

16、束，如尺寸约束、形状约束、位移约束等；性能方面的约束，如应力约束、频率约束、稳定性约束，如果承受交变应力，还要考虑疲劳强度约束等；人文因素方面的约束，如经济政策约束、管理水平和环境因素约束等。这些约束条件，特别是性能约束和人文因素约束中，包含了大量的模糊因素。我们通常所讲的模糊优化设计，大多数是具有模糊约束的优化设计。模糊约束条件可表达为： (6-17)式中，代表应力、位移、尺寸、频率等物理量，是所允许的范围，式(6-17)表示模糊量在模糊的意义下落入模糊允许区间，这种约束称为“广义模糊约束”。当为非模糊量时，式(6-17)可写成， (6-18)式(6-18)称为“普通模糊约束”。3) 设计变

17、量 建立优化设计数学模型的一个难点是：哪些参数应该定为设计变量，哪些参数取为常量。虽然从理论上说，各种参数都可以按设计变量处理，但实际上这样做有时是不合理的，甚至是不可能的。过去都把设计变量视为确定性的或随机性的，但严格说来，设计变量大多具有不同程度的模糊性，因此从理论上说，均应视为模糊变量。当目标函数、约束条件和设计变量都具有模糊性时，模糊优化设计的数学模型可表述为设计变量： 目标函数： 约束条件： 根据模糊目标函数与模糊约束函数的关系，模糊优化数学模型可分为对称和非对称两种。在对称模型中，目标和约束的地位及作用是同等的、对称的，并且可以互换位置。在非对称模型中，目标和约束所起的作用是不同等

18、的、非对称的，即要在满足约束的前提下，寻求最优的目标，满足约束是首要的。模糊优化设计的若干概念模糊目标集：模糊目标集是指论域上的模糊集合，记为。模糊约束集：模糊约束集是指论域上的模糊集合，记为。交模糊判决：交模糊判决是指模糊目标集和模糊约束集的交集，它由下式给出： (6-19)凸模糊判决：凸模糊判决是指论域上的一个模糊集合，它由下式给出： (6-20)式中，且有。积模糊判决：积模糊判决是指论域上的一个模糊集合，它由下式给出： (6-21)模糊最优解：设为论域上的元素，如果它使模糊判决的隶属函数取最大值，即 (6-22)则称为模糊最优解。模糊最优集：所有模糊最优解的集合 (6-23)称为模糊最优

19、集。 模糊优化问题求解的基本思想求解模糊优化问题的基本途径，就是把模糊优化问题转化为非模糊优化问题，再用各种普通优化方法求解。模糊优化问题解法的核心，就是从模糊到非模糊的转化。不同的转化方法便产生不同的模糊优化解，模糊优化问题的解不是唯一的，由所谓模糊判决给出。解的不唯一性是模糊优化的特点。实现这种转化及其求解，目前主要有以下几种基本思路:1) 最优水平截集法从工程实际出发，在事物模糊性(模糊集合)的中间过渡状态中，截取一系列水平截集(即给出了一系列不同置信水平下的设计方案)，并从中获取一最优水平截集，得到一个确定性的解，这样便把一个原来模糊优化问题，转化为相应的普遍优化问题。虽然最优水平截集

20、法也能给出一系列可供选择的解及最优的解，但这种方法在求解过程之前就将模糊优化问题转化为非模糊性的优化问题，过早地失掉了问题描述的模糊性，这是最优水平截集法值得研究和改进的地方。由于该法简单，思路明确，考虑了事物中介过渡性质，所以仍是目前模糊优化中普遍采用的一种方法。2）近似模糊集合法用一个普通集合去近似一个模糊集合，并使两者之差在允许的精度范围之内，从而把一个模糊优化问题转化为普通优化问题。国内外均有从事模糊理论研究的学者提出这样一个新观点：一个模糊优化问题应该得到一个模糊解。即发展一种方法，使其在优化之前不失掉问题的模糊性，带着模糊性进行求解，最后结果能用模糊集表示。这既是一个工程技术问题，

21、更是一个模糊数学的理论问题，近似模糊集合法还有待于进一步深入研究和探索。 对称模糊优化设计求解对称模糊优化设计的基本思想是：目标和所有的约束在优化问题中是同等重要的，把目标和约束分别表示为同一论域或不同论域上的两个模糊子集，然后通过模糊目标集和模糊约束集的交集，寻求既能最大限度地达到目标，又能最大限度地满足约束的优化方案。对称模糊优化数学模型形式为：在论域上，给出模糊目标集和模糊约束集，求使 (6-24)不难看出，对称模糊优化模型将给出模糊优化问题的一个特定的清晰解。对称模糊优化模型的直接解法对称条件下的模糊最优判决准则为：在最优点处模糊判决的隶属函数取得它的最大值。根据这个准则，可直接构造如

22、下常规优化问题： (6-25) 上述问题等价于: (6-26)此不等式约束极值问题应满足如下KuhnTucker条件(简称KT条件)：， 应用常规不等式约束优化方法即可求得式(6-26)的最优解。 对称模糊优化模型的迭代解法1) 迭代解法的理论基础定理1 设模糊约束的水平截集为则交模糊判决的最大值为 （6-27）证明：利用分解定理将模糊约束表示为其中为的特征函数，即因此，交模糊判决可表示为交模糊判决的最大值可表示为 而因此，证得 由于随水平截集的不同而变化，也即随值的不同而变化，因此为了讨论方便，现将视为的函数，即令显然，函数具有如下性质：；若，则。定理2 若函数在闭区间O，1上连续，则存在唯

23、一的，使。 定理3 若函数在闭区间O，1上连续，则。 根据定理2和定理3，模糊优化问题可转化为求 （6-28）的问题。若已求得，则在普通约束下极大化，便可求得模糊优化问题的最优解。 定理4 若函数在闭区间O，1上连续，则 （6-29）其中，。由定理4可知，当函数连续时，模糊优化问题可转化为如下的常规优化问题：定理5 若模糊约束为严格凸模糊集合，则函数连续。定理2，3，4，5的证明详见参考文献9。2) 对称模糊优化模型的迭代解法由式（6-28）得 （6-30）式(6-30)为迭代解法提供了基本方程。由于是唯一的，故只有当为时，式(6-30)才成立，否则将不等于零。因此可将式(6-30)作为一个准

24、则，把寻求和最优解的过程，归结为使逐渐趋于零的过程。这样，对称模糊优化问题的迭代求解步骤如下: 任给一及收敛精度，令；作的水平截集 ；求解常规优化问题求s.t. 解得和；计算，如果，转，否则转； 计算，且应使；令,转； 输出最优解 。 对称模糊优化模型迭代解法的计算框图如图6-7所示。 图6-7 对称模糊优化模型迭代解法的计算框图上述迭代求解过程的第步是一个常规优化问题，可用常规约束优化方法求解。其约束条件（）保证了优化是在水平截集上进行的。为预先给定的收敛精度，通常取。本解法由于需多次求解常规优化问题，因此其计算效率有待改进。模糊约束清晰目标函数极值问题的求解方法对于对称模糊优化模型，要求目

25、标函数和约束函数都是模糊的。如果实际问题的目标函数是非模糊的，为了刻画函数在模糊约束下的优化问题，引入函数的模糊极大集和模糊极小集的概念。令在论域上的模糊极大集定义为一模糊子集，其隶属函数为 （6-31）由式(6-31)可知，模糊极大集是函数经过一定的线性变换后得到的，函数的极大点和极小点对模糊极大集的隶属度分别为l和O。具有函数的保序性质，即 在论域上的模糊极小集是一个模糊子集，其隶属函数定义为 （6-32）由式(6-31)和(6-32)可推导出即有也就是说，模糊极小集是模糊极大集的补集。 求解目标函数在模糊约束()下的条件极值的步骤如下： 1) 求的模糊极大集，将看成是模糊目标集；2) 求

26、交模糊判决，即求；3) 按最大隶属原则求，使得就是所求的条件极大点，就是在模糊约束()下的条件极大值。将换成，即可求得条件极小点和条件极小值。6.3 模糊可靠性设计6.3.1模糊可靠性设计的基本概念(1)模糊可靠度与模糊失效概率在普通可靠性设计中产品的强度、干涉变量、寿命、运行时间等均为随机变量。现在考虑到事物的模糊性，因此需要以模糊事件的概率来度量，通常模糊可靠度和模糊失效概率有以下几种情况及其表达式。1) 应力为模糊变量，强度为随机变量 设控制失效应力为应力论域中的一个模糊子集，如“应力大约为某值”这一模糊事件，则对任一应力隶属于控制失效应力集的可能性程度用隶属函数值来表征，故可以把看作一

27、种失效判据，可称为模糊失效判据。若强度的概率密度函数为，则在这种模糊失效判据控制下，失效是一模糊事件，根据模糊事件的概率定义4，可得模糊失效概率 (6-33)而成功的概率，即模糊可靠度 (6-34)2) 应力为随机变量，强度为模糊变量 设控制强度为应力论域中一个模糊子集，如“强度大约为某值”这一模糊事件，任一应力隶属于的隶属函数为，应力的概率密度函数为，则在这种控制强度下，由模糊事件的概率定义，可得模糊可靠度 (6-35)而模糊失效概率 (6-36)3) 干涉变量()为模糊变量设干涉变量为论域上一个模糊子集，干涉变量的隶属函数为，概率密度函数为，同样可得模糊可靠度 (6-37) 4) 寿命模糊

28、地大于运行时间 若产品寿命的概率密度函数为，“模糊地大于”的隶属函数为，则同样根据模糊事件的概率计算公式，有 (6-38) 上式可解决“寿命基本上大于时刻”、“寿命差不多大于时刻”等情况时求可靠度问题。 式(6-34)、式(6-35)、式(6-36)、式(6-37)物理意义不同，但数学形式是等价的。只要知道它们右边的隶属函数和概率分布，求可靠度的问题就不难解决了。所求出的概率可以引入系统的可靠性计算中去，如串、并联系统可靠性计算等。但是，这里所定义的模糊可靠度毕竟与普通可靠度的物理意义有所不同，它带有设计者的经验、智能判断和推理成分。设产品(零件)的寿命服从指数分布，即有 ，取“寿命差不多大于

29、时刻”时的隶属函数为升半正态型，则有将，代入式(6-38)，于是求得模糊可靠度 (6-39)现列出相应的普通可靠度作为对照由此可见，随着的增大，模糊可靠度越来越接近普通可靠度，即模糊事件越来越接近清晰事件，隶属函数越来越接近特征函数(升半矩形分布)。从这里可以看到，模糊可靠度的确在各种程度上描绘了系统的可靠状况，此外当，即普通可靠度可作为模糊可靠度的极限情况来看待，模糊可靠度可看作普通可靠度的推广。(2)模糊失效率与模糊平均寿命根据普通可靠性设计中失效率与平均寿命的定义，可定义模糊失效率为 （6-40）模糊平均寿命定义为 （6-41）将式(6-39)代入式（6-40）和（6-41），可分别导出

30、 （6-42） （6-43） 由上式可见，。这表明，普通可靠性指标是模糊可靠指标的极限情况，是模糊可靠性指标的一个特例。用同样的思路和方法，我们还可以定义模糊维修度、模糊有效度、模糊维修率等可靠性指标。(3)系统的模糊可靠度 1) 串联系统的模糊可靠度 对于由个相互独立单元构成的串联系统，若按上面方法求出每个单元的模糊可靠度，则串联系统的模糊可靠度为 （6-44） 2) 并联系统的模糊可靠度 对于由个相互独立单元构成的并联系统，单元模糊可靠度，同样可求得并联系统模糊可靠度为 （6-45） 按上面相同的方法，不难写出表决系统和开关系统的模糊可靠度，这里不再列出。 值得注意的是，上面所讨论的模糊可

31、靠度和模糊失效概率等参数作为事件本身是模糊的，而概率值是普通数值，称为模糊事件的概率，这是模糊可靠性设计中最常见的情况。模糊数学中还给出了另两类情况，一类是事件本身明确，但概率是模糊的，称为事件的模糊概率；另一类则是事件和概率都是模糊的，称为模糊事件的模糊概率。此外，上面所讨论的论域为连续变量，即有连续的随机变量概率密度函数和连续型模糊变量隶属函数。下面讨论论域为离散型的情况。设是离散型随机变量，其取值的集合为，上的模糊集表示模糊事件，则该模糊事件的概率定义为 （6-46）式中 取值的概率，；对的隶属度。有关模糊可靠性设计的内容，尚有多状态系统的可靠性分析与评价、系统的可靠性模糊预测与模糊最优

32、分配，以及模糊失效模式和效应分析(FMEA)、模糊故障树分析(FTA)、模糊故障诊断、模糊寿命估计等。但是应用模糊数学处理可靠性问题只是近几年发展起来的一个新学科，其中有些理论与方法已趋成熟，有的仍处在探索阶段。在机械设计中,如何应用模糊可靠性理论与方法解决常规可靠性设计难以解决的问题，人们对此寄予了很大期望。6.3.2 机械零件的耐磨性模糊可靠度机械零件表面的摩擦磨损是一个相当复杂的物理、化学过程，也是一个动态的随机过程，其影响因素很多。表征零件耐磨性或磨损寿命的设计变量存在两种非确定性，一种为设计变量取值的分散所表现的随机性，要根据实验数据运用概率论和数理统计的方法进行研究；另一种表现为模

33、糊性，要靠人的智能、知识和经验来估计、判断这类模糊事物，用模糊数学进行研究和处理。(1)耐磨性普通可靠度的计算机械零件在磨损过程中，由于所观测的磨损量是分散的，概率设计将过程磨损量和允许磨损量均处理成随机变量，它们服从一定的分布规律。随着工作时间的变化，当零件运行至时间时，过程磨损量分布与允许磨损量分布发生干涉，如图6-8（阴影部分）所示。发生干涉时将可能产生失效，此时零件的耐磨性失效概率，即不可靠度为 （6-47）而安全概率，即可靠度为 （6-48）式中 过程磨损量的概率密度函数；允许磨损量的概率密度函数。设计中可假设过程磨损量与允许磨损量均服从正态分布，由联接方程可得到零件耐磨性可靠性指数

34、图6-8 耐磨性失效概率计算模型 （6-49）它与可靠度一一对应，因此 （6-50）式中 标准正态分布函数；允许磨损量的均值；允许磨损量的标准差；过程磨损量的均值；过程磨损量的标准差。当已知正态分布的过程磨损量和允许磨损量的分布参数、，由式(6-49)可求得可靠性指数，按标准正态分布表便可查得相应的，即可靠度，使之大于或等于规定的目标可靠度。工程中有时先规定目标可靠度，这时可按标准正态分布表查出可靠性指数，再由式(6-49)求得所需要的设计参数，如零件的允许磨损量、磨损寿命等。(2) 耐磨性模糊可靠度的计算 从零件耐磨性设计角度考虑，未来某一时刻零件的磨损量是随机变量，但是测定的某个磨损量，对

35、不同机器、不同工况条件，是否导致零件失效，则往往是模糊的，如判定某零件磨损量25m时为磨损失效状态，显然不能说当磨损量为24.5m时，绝不会失效。这表明“多大磨损量才会引起失效”是一个模糊概念。因此，零件耐磨性设计时，没有必要追究过程磨损量到底是何具体数值，只要掌握过程磨损量大约为某值时零件的安全裕度是多少，或耐磨性的可靠度是多少。 设零件磨损量为论域，则“过程磨损量大约为某值”为上的模糊子集合，可以用一个从到实区间0,1的函数来表示，称为的隶属函数，函数值代表磨损量对集合的隶属度。当，表示中的百分之百不属于；，则中的百分之百属于，其余的磨损量对的隶属度为介于0和1之间的实数，越接近1表示属于

36、的程度就越大。由于的隶属函数定量地刻画了某一磨损量属于控制失效的过程磨损量的集合的可能性程度，故可以把看作一种失效判据。若过程磨损量为连续模糊变量，控制失效的允许磨损量为连续随机变量，则在这种模糊失效判据下，根据式(6-33)，可以得到过程磨损量大约为某值时的模糊失效概率 （6-51）因此，安全概率即可靠度 （6-52）图6-9 正态型隶属函数 根据实践中零件磨损量大约为某值的模糊信息和专家的经验，知道磨损量偏离某值的可能性程度通常具有某种对称性质，且随着偏离程度加大，这个可能性将不断减小。因此，“过程磨损量大约为某值”的隶属函数可采用正态型描述。正态型隶属函数如图6-9所示。由正态型分布隶属

37、函数可得 （6-53） 式中各参数的意义为：假定当“过程磨损量为25m 左右”的情况下，25m；而是一个任选参数，它反映了过程磨损量在值左右摆动的可能性程度大小，值决定了过程磨损量以25m为中心可能会“左右”到什么程度。由图6-9可见，当时，附近值()的隶属度，也就是说值越大，过程磨损量左右摆动的可能性程度也越大。值的选择可根据过程磨损量的离散程度，使式(6-53)描述的过程磨损量符合设计者经验中的过程磨损量可能的状况为准则。若零件的工况条件较恶劣，影响磨损的诸因素波动大，且信息又较模糊，则取大值，反之取小值。 若允许磨损量为正态分布，并将式(6-53)代入式(6-51)中，可得磨损量大约为时

38、零件耐磨性模糊失效概率 （6-54）而耐磨性模糊可靠度 （6-55）式中 标准正态分布函数。 （6-56）图6-10 不同时磨损量的集合其中为过程磨损量的定义域，可以按以下方法确定：根据零件的磨损工况对“过程磨损量大约为某值”进行适当的划分，即对隶属度取一定的“阈值” ()，除去所对应的磨损量，而由所对应的磨损量的集合构成“过程磨损量大约为某值”模糊量的截集,如图6-10所示，因此，由式(6-53)可得 （6-57）即定义域为 6.3.3 结构断裂模糊失效概率(1)断裂因素的不确定性 结构断裂是由于内部含有缺陷及运行中的交变应力、腐蚀、辐照等原因，致使裂纹萌生、扩展直至断裂的累积过程。传统的断

39、裂力学将影响断裂的各种因素，如材料抗力、载荷、裂纹形状、尺寸等都处理成一个确定的值，这与实际情况是不符的。事实上，这些因素存在着两种不确定性：一种为检测结果的离散性，这是由于外界条件，检验设备，检测误差等多种偶然因素所造成的随机性，这种不确定性必须根据一定数量的实验数据，运用概率论和数理统计的方法进行分析研究。另一种表现为模糊不确定性，这种不确定性是由于裂纹的萌生、扩展直至断裂过程的复杂性，致使其间界限的不分明性；以及检测、探伤等客观条件的限制和不完备，往往不得不依靠工程技术人员的知识、经验来判断这类界限不清晰的现象。这种模糊性，形式上表现为评定事物的标准或定义没有明确的界限，或表现为陈述上是

40、模糊的，如“小裂纹”、“较大裂纹”、“大裂纹”、“浅裂纹”、“深裂纹等，又如“裂纹长度约为3 mm”，“失稳断裂的裂纹临界值为6 mm左右”等等均属此类，这类模糊现象必须运用模糊数学加以描述和运算。图6-11 结构断裂失效概率计算模型(2)断裂随机失效概率的计算结构断裂的失效判据可以用裂纹尺寸表示。在概率断裂设计中，裂纹尺寸处理成随机变量，服从一定的分布规律，图6-11表示了裂纹尺寸与失稳断裂裂纹长度的临界值随时间而变化的分布模式。当结构运行至某一时刻时，与的分布曲线发生干涉，这时结构可能产生失稳断裂，其随机失效概率为 （6-58）式中 裂纹尺寸的概率密度函数；临界裂纹尺寸的概率密度函数。从而

41、可计算出结构断裂的安全概率，即可靠度为 （6-59）裂纹尺寸与临界裂纹尺寸可用对数正态分布描述，即 （6-60） （6-61）式中 、分别为和的均值；、分别为和的标准差。由联结方程知断裂随机失效概率为 （6-62）式中 标准正态分布函数，可由标准正态分布表直接查用。(3)断裂模糊失效概率的计算 对于结构断裂尺寸为离散型模糊变量时，其“断裂尺寸大约为某值”的模糊集合为 对于断裂尺寸为连续型模糊变量，其模糊集合为 以上两式中的称为模糊集合的隶属函数，其取值区间为。它表示断裂尺寸对模糊集合(断裂尺寸大约为某值)的一种“满足度”，因此，可视为一种断裂模糊失效判据。 “断裂尺寸大约为某值”的隶属函数可用

42、正态型分布表示3，因此可表示为 （6-63）式中 断裂尺寸集中的位置，即“断裂尺寸大约为某值”的那个尺寸；断裂尺寸以为中心左右摆动的可能性程度大小的参数。 当断裂尺寸为模糊变量，服从正态分布，其隶属函数由式(6-63)确定，临界断裂尺寸为随机变量，其概率密度函数由式(6-61)确定，这两种分布如图6-12所示。图6-12中，两种分布发生相互干涉，此时由式(6-33)可得到断裂模糊失效概率为图6-12断裂尺寸与临界断裂尺寸发生干涉 (6-64）式（6-64）中，()为标准正态分布函数，其值可在正态分布函数表查取，可由下式确定：（6-65） 式中 断裂尺寸的定义域。图6-13 断裂尺寸隶属函数的截

43、集 裂纹模糊尺寸的定义域由结构断裂的实际工况和工程技术人员的经验来划定。通常将取一定的阈值（），再把的裂纹尺寸挑选出来作为设计依据，组成如图6-13所示截集。截集可表达为： 将上式代人式(6-63)得 (6-66) 6.3.4 机械系统可靠性指标的模糊决策与分配 在产品进行可靠性设计时，首先要确定系统预期的可靠性指标，如可靠度，然后将其合理地分配给系统各个零件，以便在设计、制造中切实地加以保证。我国有关部门已陆续颁布了一些机电产品可靠性指标试行标准(草案)。但是，一方面尚有许多产品可靠性指标仍未确定；另一方面已确定的可靠性指标在许多情况下也只是一个范围，因而可靠性指标的具体数值仍需在设计时确定

44、。下面介绍运用模糊决策的方法来确定系统的可靠性指标，并进行可靠度的最优化分配。(1)系统可靠性指标的确定 大多数机械系统或其子系统都属于串联系统，即处于载荷传递路线上任一单元(如轴、齿轮等)失效，都将引起系统功能丧失，停止运转。这里将以齿轮、轴、轴承、键等类型零件组成的机械系统为对象，其中每一类零件数目可能不只一个。如上所述的简化的串联系统的可靠性框图如图6-14所示。图6-14机械传动系统串联可靠性框图下面运用二级模糊综合决策的方法来确定系统的可靠性指标。值得注意的是，这里一级模糊决策是根据各因素对系统可靠性水平的影响确定系统对可靠性水平的要求；二级模糊决策是根据系统对可靠性水平的要求，确定

45、系统的可靠度指标，具体的决策过程如下。 1）确定可靠性指标的备择集例如取可靠度指标集为 2）确定影响系统可靠性水平的因素集例如，取因素集为=(系统原有的可靠性水平，重要程度，成本，任务情况) 3）确定评语集例如，取评语集为(高，较高，一般，较低，低) 4）确定权重集 权重表示各因素对系统可靠性水平的影响程度，反映了各因素在综合决策中所占有的地位与作用，直接影响到决策的结果，权重通常是凭经验或请专家打分用统计方法给出。例如，取权向量并作归一化处理有 5) 建立模糊关系矩阵对于某一因素，需要找出其在评语集中的隶属函数，以便确定该因素对各评语等级的隶属度。隶属函数及隶属度的确定与人的主观因素有关，现

46、根据实际情况推理因素集中元素与评语集中元素之间的模糊关系，即确定第个因素对各评语等级的隶属度，为一模糊子集，例如=(0.00，0.01，0.84，0.21，0.00)，类似地分别确定各因素对各评语等级的隶属度，可得模糊关系矩阵为 矩阵第行第列个元素表示第个因素对个评语等级的隶属度。 同样，对于某一评语等级，需要找出其在可靠度指标集中的隶属函数，以便确定该评语等级对各可靠度指标备择元的隶属度。于是又可确定一模糊关系矩阵 矩阵中第行第列个元素表示第个评语等级对个可靠度指标备择元的隶属度。 6) 模糊决策根据模糊变换原理，得一级模糊决策二级模糊决策 这里为综合考虑各因素对决策结果的影响，取模糊算子为

47、(，+)，即普通矩阵的乘法加法运算，比用“”运算精细。于是得到一级模糊决策的结果为 二级模糊决策的结果为 7) 确定系统可靠性指标。根据模糊决策结果，可用两种方法确定系统可靠性指标。 最大隶属度法(最大隶属度原则)取系统的可靠性指标为相对应的可靠度指标备择元，即 加权平均法 为了突出占优势等级的作用，以的幂作为权数，对()进行加权平均，所得的值作为系统的可靠度指标，即 (6-67)一般取，于是将上面有关数据代人得 这两种方法中，加权平均法用得较多。最大隶属度法仅仅考虑了一个指标的贡献，它没有充分利用决策结果的全部信息，若备择元较多，误差可能较大；另外如果的分量中有两个或两个以上的分量相等时，则

48、此种方法失效。而加权平均法从整体出发，综合考虑了所有指标的贡献，可得到令人满意的结果。(2)系统的可靠度分配 机械系统的可靠度分配的过程，实际上是一个比较各个零件对可靠性水平要求高低程度的过程，一个零件可靠性水平要求的程度越高，则分配给它的可靠度就应越高。而零件对可靠性水平要求的高低，受许多因素的影响，如技术水平、重要程度、任务情况等等。而这些因素大多是一些非确定的模糊因素，因而需根据这些因素的情况，使用模糊决策的方法来确定各零件对可靠性水平的要求，进而用常规方法对可靠度进行分配，下面以图6-14所示的系统为例子说明可靠度分配的过程。 1) 确定影响零件可靠性水平的因素集取因素集=(原可靠性水

49、平，重要程度，复杂程度，成本，维修费用)。 2) 确定因素的权重集取权向量。 3) 确定零件集即找出组成系统的各类零件，图6-14所示零件类的集合为=(齿轮，轴，轴承，键)。 4) 确定因素的评语指标集及各评语指标对可靠性要求的隶属度取评语指标集(极低，很低，低，较低，一般，较高，高，很高，极高)=(0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，0.6，0.7，0.8，0.9)。 5) 确定每一类零件对各个因素的评语指标，并以各评语指标以可靠性要求的隶属度代入，于是可得一模糊关系矩阵为齿轮 轴 轴承 键6) 根据模糊变换原理，并取模糊算子(，+)，作出模糊决策 7) 分配系统的可靠度决策结果值反映了各零件对可靠性水平要求的相