[金融工程][第9章][布莱克休尔斯莫顿期权定价模型]

1、 1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black& Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格，在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立地提出了一个更为一般化的模型。舒尔斯和默顿由此获得了1997年的诺贝尔经济学奖。在本章中，我们将循序渐进，尽量深入浅出地介绍布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型），并由此导出衍生证券定价的一般方法。 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产收益的情况

2、下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期权价格的最根本因素。 因此，要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。 在下面几节中我们会用数学的语言来描述这种定价的思想。2 布朗运动（Brownian Motion）起源于英国植物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的描述。 标准布朗运动两大特征：特征特征1 (正态分布正态分布)特征特征2：对于任何两个不同时间间隔 ， 的值相互独立。(独立增量独立增量） zzt 3维纳过程的性质z (T ) z (0)也是正态分布均值等于 0方差等于T标准差

3、等于方差可加性TniitzTz1)0()(为何使用布朗运动？4正态分布的使用：经验事实证明，股票价格的连续复利收益率近似地服从正态分布数学上可以证明，具备特征1 和特征2的维纳过程是一个马尔可夫随机过程维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分（Quadratic Variation）不为零的性质，与股票收益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的 1965年，法玛（Fama）提出了著名的效率市场假说。该假说认为，证券价格对新的市场信息的反应是迅速而准确的，证券价格能完全反应全部信息。1、弱式效率市场假说2、半强式效率市场假说3、强式效率市场假说 根据众多学者的实证研究，发达国家的证券市场大体符

4、合弱式效率市场假说。一般认为，弱式效率市场假说与马尔可夫随机过程（Markov Stochastic Process）是内在一致的。因此我们可以用数学来刻画股票的这种特征。有效市场三个层次5 标准布朗运动的扩展：普通布郎运动，令漂移率为a，方差率为b2，： or: x(t)=x0+at+bz(t) 遵循普通布朗运动的变量x是关于时间和dz的动态过程：adt为确定项，意味着x的漂移率是每单位时间为a；bdz是随机项，代表着对x的时间趋势过程所添加的噪音，使变量x围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪音是由维纳过程的b倍给出的。bdzadtdx6普通布朗运动的离差形式为 ，显然，x也具有正态分布特征

5、，其均值为 ，标准差为 ，方差为tbtaxtatb tb 2 1、在任意时间长度T后x值的变化也具有正态分布特征，其均值为aT，标准差为 ，方差为b2T。 2、标准布朗运动为普通布朗运动的特例。 Tb 普通布朗运动假定漂移率和方差率为常数，若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数，我们就可以得到 这就是伊藤过程（Ito Process）。其中，dz是一个标准布朗运动，a、b是变量x和t的函数，变量x的漂移率为a，方差率为b2。 dztxbdttxadx),(),(7ttbdzdsaxtx000)( 在伊藤过程的基础上，数学家伊藤（K.Ito）进一步推导出：若变量x遵循伊藤过程，则变量

6、x和t的函数G将遵循如下过程： bdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222 其中，dz是一个标准布朗运动。这就是著名的伊藤引理。 泰勒展开式GGxxGttGxxGx txtGtt 22222228忽略比 t高阶的项在常微分中，我们得到在随机微分中我们得到：因为最后一项的阶数为tGGGxtxt 2221()2GGGGxtxxtx 22222222(0,1)()0()()1()1 () 12EEEEEttttGGGGxtbtxtx 由 于因 此而的 方 差 与同 阶 ， 可 以 忽 略 ， 因 此将x代入2222 = + xatbttGGGGxtbtxtx 将代 入 最 后 一 项 ，并 忽

7、 略 比高 阶 的 项 ,则92t 取极限Taking limits Substituting We obtain This is Itos LemmadGGxdxGtdtGxb dtdxa dtb dzdGGxaGtGxb dtGxb dz22222210伊藤引理的运用 如果我们知道x遵循的随机过程，通过伊藤引理 可以推导出G (x, t )遵循的随机过程。由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函数，因此随机过程在衍生产品分析中扮演重要的角色。 一般来说，金融研究者认为证券价格的变化过程可以用漂移率为S、方差率为 S2的伊藤过程（即几何布朗运动）来表示： 2dSSdtSdz 之所以采用几何布

8、朗运动其主要原因有两个： 一是可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问题，二是几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态分布，这与实际较为吻合。 11*随机微积分与非随机微积分的差别lndSdSS案例案例11.1 运用伊藤引理推导运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程所遵循的随机过程假设变量S服从其中和都为常数，则lnS遵循怎样的随机过程？由于和是常数，S显然服从 ， 的伊藤过程，我们可以运用伊藤引理推导lnS所遵循的随机过程。令 ，则代入式 我们就可得到 所遵循的随机过程为 由于dlnS是股票的连续复利收益率，得出的公式说明股票的连续复利收益率服从期望值 ，方差为 的正态分布。dSSd

9、tSdz( , )a S tS( , )b S tSSGln0,1,1222tGSSGSSGbdzxGdtbxGtGaxGdG)21(222SGln2ln()2dGdSdtdz2()2dt2dt12 从案例11.1我们已经知道，如果股票价格服从几何布朗运动，则有 1. 从自然对数的定义域可知，S不能为负数。2 .股票价格的对数服从普通布朗运动，股票价格和连续复利收益率服从对数正态分布2ln()2dGdSdtdz22222()22()()lnln()(),lnln()(),()var()1TTTtTTtTtTSSTtTtSSTtTtE SSeSS ee133. Tt期间年化的连续复利收益率可以表

10、示为 ，可知随机变量 服从正态分布 是股票连续复利收益率的年化标准差，它也被称为股票价格的波动率（Volatility）4. 百分比收益率与连续复利收益率。lnlnTSSTt22(),Tt:1、几何布朗运动中的期望收益率。 2、根据资本资产定价原理， 取决于该证券的系统性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身就较复杂。然而幸运的是，我们将在下文证明，衍生证券的定价与标的资产的预期收益率 是无关的。 3 、较长时间段后的连续复利收益率的期望值等于 ，这是因为较长时间段后的连续复利收益率的期望值是较短时间内收益率几何平均的结果，而较短时间内的收益率则是算

11、术平均的结果。 2/2141、证券价格的年波动率，又是股票价格对数收益率的年标准差 2、一般从历史的证券价格数据中计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标准化，得到年标准差，即为波动率的估计值。在计算中，一般来说时间距离计算时越近越好；时间窗口太短也不好；一般来说采用交易天数计算波动率而不采用日历天数。 当股票价格服从几何布朗运动时，由于衍生证券价格G是标的证券价格S和时间t的函数G(S,t)，根据伊藤引理，衍生证券的价格G应遵循如下过程： 比较（9.1）和（9.11）可看出，衍生证券价格G和股票价格S都受同一个不确定性来源dz的影响，这点对于以后推导衍生证券的定价公式很重要。SdzSdtdS

12、SdzSGdtSSGtGSSGdG)21(222215假设：1、证券价格遵循几何布朗运动，即 和 为常数；2、允许卖空标的证券；3、没有交易费用和税收，所有证券都是完全可分的；4、衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付；5、存在无风险套利机会；6、证券交易是连续的，价格变动也是连续的；7、衍生证券有效期内，无风险利率r为常数。 由于证券价格S遵循几何布朗运动，因此有：其在一个小的时间间隔 中，S的变化值 为： 在一个小的时间间隔中，f的变化值 为：zStSSSdzSfdtSSftfSSfdf)21(2222zSSftSSftfSSff)21(2222 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定

13、是S和t的函数，根据伊藤引理可得： SdzSdtdSStf16 为了消除风险源 ，可以构建一个包括一单位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组合。令 代表该投资组合的价值，则： zSfffSx 在 时间后，该投资组合的价值变化 为：ffSS t代入和可得fStSSftf)21(2222tSSftf)21(2222中不含任何风险源，因此组合必须获得无风险收益，即tr代入上式可得tSSffrtSSftf)()21(2222化简为rfSfSSfrStf222221*这就是著名的布莱克舒尔斯微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。17观察布莱克舒尔斯微分方程，我们可以发现，受制

14、于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着，无论风险收益偏好状态如何，都不会对f的值产生影响。因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作的假设：在对衍生证券定价时，在对衍生证券定价时，所有投资者对于所有投资者对于dz所蕴涵的风险都是风险中性的。所蕴涵的风险都是风险中性的。在所有投资者对dz都是风险中性的条件下（有时我们称之为进入了一个关于dz的“风险中性世界”），所有风险源为dz的证券的预期收益率都等于无风险利率r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性条件下，所有风险源为dz的现金流都应该使用无风险利率进行贴现求得现

15、值。这就是风险中性定价原理。 假设一种不支付红利股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。 由于欧式期权不会提前执行，其价值取决于3个月后股票的市价。若3个月后该股票价格等于11元，则该期权价值为0.5元；若3个月后该股票价格等于9元，则该期权价值为0。 风险中性定价原理的应用风险中性定价原理的应用18 为了找出该期权的价值，我们可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合。若3个月后该股票价格等于11元时，该组合价值等于( 11 0.5)元；若3个月后该股票价格等

16、于9元时，该组合价值等于9 元。为了使该组合价值处于无风险状态，我们应选择适当的 值，使3个月后该组合的价值不变，这意味着： 11 0.5=9 =0.25 因此，一个无风险组合应包括一份看涨期权空头和0.25股标的股票。无论3个月后股票价格等于11元还是9元，该组合价值都将等于2.25元。 假设现在的无风险年利率等于10%，则该组合的现值应为： 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0.25单位股票多头，而目前股票市场为10元，因此： 这就是说，该看涨期权的价值应为0.31元，否则就会存在无风险套利机会。 从该例子可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要知道股票价格上涨到11元的概率和下降到9元的

17、概率。但这并不意味着概率可以随心所欲地给定。事实上，只要股票的预期收益率给定，股票上升和下降的概率也就确定了。例如，在风险中性世界中，无风险利率为10%，则股票上升的概率P可以通过下式来求：元19. 225. 225. 01 . 0e元31. 019. 225. 010ff190.1 0.2510119(1)ePPP=62.66%。20 又如，如果在现实世界中股票的预期收益率为15%，则股票的上升概率可以通过下式来求：0.15 0.2510119(1)ePPP=69.11%。 可见，投资者厌恶风险程度决定了股票的预期收益率，而股票的预期收益率决定了股票升跌的概率。然而，无论投资者厌恶风险程度如

18、何，从而无论该股票上升或下降的概率如何，该期权的价值都等于0.31元。21 在风险中性的条件下，无收益资产欧式看涨期权到期时（T时刻）的期望值为：)0 ,max(XSET其中， 表示风险中性条件下的期望值。根据风险中性定价原理，欧式看涨期权的价格c等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值，即： )0 ,max()(XSEecTtTrE()max(,0)r T tTceESX从可以解得：)()(2)(1dNXedSNctTrtTdtTtTrXSdtTtTrXSd12221)(2/()/ln()(2/()/ln( N（x）为标准正态分布变量的累计概率分布函数(即这个变量小于x的概率)，根据标准正

19、态分布函数特性，我们有 。 )(1)(xNxN 这就是无收益资产欧式看涨期权的定价公式。2223222lnlnln2lnln22lnmax(,0)max(,0) ()() ()0 ()() (ln)ln() ()1()21ln2TTTTTXTTTTTXSTTXsW mX msWsW mX mX mssW ssmX msESXSXh SdSSX h SdSh SdSeX hSdSeX h W dWeedWXh W dWmXeedWXNs222ln22ln2lnln22smX mssr T tSrTtXeh W dWXNTtSSrTtrTtXXSeNXNTtTt 24 25无收益资产的欧式看跌期权

20、的定价公式 根据欧式看涨期权和看跌期权之间存在平价关系，可以得到无收益资产欧式看跌期权的定价公式：)()(12)(dSNdNXeptTr无收益资产美式看涨期权的定价公式 在标的资产无收益情况下，美式看涨期权提前执行是不合理的，因此C=c，无收益资产美式看涨期权的定价公式同样是：()12()()r T tCSN dXeN d有收益资产的欧式期权的定价公式 对于有收益标的资产的欧式期权，在收益已知情况下，我们可以把标的证券价格分解成两部分：期权有效期内已知现金收益的现值部分和一个有风险部分。当期权到期时，这部分现值将由于标的资产支付现金收益而消失。因此，我们只要用S表示有风险部分的证券价格。表示风

21、险部分遵循随机过程的波动率，就可直接套用公式:分别计算出有收益资产的欧式看涨期权和看跌期权的价值。 因此，当标的证券已知收益的现值为I时，我们只要用（SI）代替S即可求出固定收益证券欧式看涨和看跌期权的价格。 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收益率q（单位为年）时，我们只要将 代替S就可求出支付连续复利收益率证券的欧式看涨和看跌期权的价格。 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权。其中，欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为r的资产的欧式期权；股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率，外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国的无风险利率。)

22、()(12)(dSNdNXeptTr)()(2)(1dNXedSNctTr26)(tTqSe有收益资产的美式看涨期权的定价 当标的资产有收益时，美式看涨期权就有提前执行的可能，因此有收益资产美式期权的定价较为复杂，布莱克提出了一种近 似处理方法。该方法是先确定提前执行美式看涨期权是否合理，若不合理，则按欧式期权处理；若在 提前执行可能是合理的，则要分别计算在T时刻和时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数情况下，这种近似效果都不错。 ntnt27美式看跌期权的定价 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存在精确的平

23、价关系，因此我们一般通过数值方法来求美式看跌期权的价值。 我们已经知道，B-S-M期权定价公式中的期权价格取决于下列五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到期期限、无风险利率和标的资产价格波动率（即标的资产收益率的标准差）。在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动率则需要通过一定的计算求得估计值。（一）估计无风险利率在发达的金融市场上，很容易获得无风险利率的估计值，但在实际应用时仍然需要注意几个问题。首先，要选择正确的利率。要注意选择无风险的即期利率（即零息票债券的到期收益率），而不能选择附息票债券的到期收益率，并且要转化为连续复利的形式，才可以在B-S-M公式中应用。一般来说，在美国人们大多选择美国国库券利率作为无风险利率的估计值，在中国